一堂《几何概型》公开课的思考

谢刚

摘要：重视在实际情境中去体验和理解有关知识；注重过程，提倡在学习过程中学生的自主活动，培养发现规律、探求模式的能力。

关键词：几何概型；公开课；思考

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）13-186-01

最近笔者刚听完我校一位老师的公开课《几何概型的高三复习课》，有些许的想法愿和同大家一起分享。学生一般知道几何概型的概率计算公式，但是几何测度的选择却是模棱两可，容易混淆。为了突破这一难点因此我们需要辨析学生犯错的原因，从而促进学生理解几何概型的实质，准确解决几何概型问题。对此谈如下几点体会：

背景一：

授课教师先复习古典概型和几何概型各自的特点和区别，然后给出题组一：

1、在区间[1，4]上任意取一个整数 ，则 大于2的概率为： 。

2、在区间[1，4]上任意取一个实数 ，则 大于2的概率为： 。

反思：从学生熟悉并且容易解决的一个古典概型问题，稍加修改，转变成为一个几何概型的问题，进一步从等可能性、无限性两方面来区别古典概型与几何概型，深化学生对几何概型意义的体会，同时在学生的思维里呈现长度这一几何测度。

背景二：

接着授课教师给出题组二：

1、△ABC中，三条边的长度分别为3、4、5，一只小蚂蚁在三角形的三条边上爬，求小蚂蚁到三角形三个顶点的距离分别大于1的概率。

2、△ABC中，三条边的长度分别为3、4、5，一只小蚂蚁在三角形及其内部里爬，求小蚂蚁到三角形三个顶点的距离分别大于1的概率。

授课教师设计上面两个同例变式，我估计是想通过解决2个具体问题，形成梯度，分散难点，逐一呈现公式中的两个几何测度：面积与体积，让学生在测度的选取上产生了认知冲突，从而突破测度选择的教学难点。可是教师给出两个问题后，直接就交给学生了，两位学生上台画图，一位学生利用长度之比，一位利用面积之比，虽然学生表述上有些问题，答案都对了，后面教师也没有抓住学生的回答进行针对性的提问和进行辨析总结。

反思：我不知道是不是大部分学生是否真的都懂了，但我觉得这个地方是不是可以分解下本题组的两个难点。难点一是总事件和基本事件构成的区域的确定，难点二是几何测度的优化选择。因为总事件和基本事件会影响到几何测度的选择。这两道题基本事件都是“蚂蚁的位置”，转化为数来刻画就是点，只不过第一个问题中，总事件的区域是在三条边上的点，构成三条线段，因此可以用长度作为测度，而第二个问题中，总事件的区域是在三角形的内部的点，构成区域，因此可以用面积作为测度。否则以后遇到下面的例子，学生就容易混淆。

例1、等腰Rt△ABC中，∠C=900，在直角边BC上任取一点M，求∠CAM<300的概率。

例2、等腰Rt△ABC中，∠C=900，在∠CAB内作射线交线段BC于点M，求∠CAM<300的概率。

分析：此题组中的两个问题，都是几何概型的问题，但是考察的测度不一样。例1基本事件是“在直角边BC上任取一点M”， 总事件的区域是在线段BC上的点，所以测度定性为线段长度，所以所求概率等于 。而例2基本事件是“在∠CAB内作射线AM”， 总事件的区域是从点A出发且在∠CAB内的射线，所以测度定性为角度，过点A作射线与线段CB相交，这样的射线有无数条，均匀分布在∠CAB内，∠CAB=450，故而所求概率等于 。这两个问题都是几何概型的问题，但是选取的测度不一样，结果也不一致。所以教师关键是要让学生能分清总事件构成的区域和基本事件的子区域，合理选择测度。

背景三：

接下来授课教师给出题组三：

1、某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.

2、甲、乙两人约定在晚上7时到8时之间会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，这时即可离去，那么两人见面的概率是多少？

反思：对于问题1有个学生回答可以用圆心角之比，得到答案是1/6。我估计学生是联想到了教室里的钟表了，根据钟表也许学生还可能会选择弧长、圆心角、甚至扇形面积等作为测度，当然问题都能得到解决，而当以角度作为变量时，弧长和面积均与角度成正比关系，故这三种测度的选择在本质上是相同的。

如果教室里是个电子钟呢？教师是不是现场可以点拨一下？这个时候学生更多会想是线段长之比，在数轴上画一条线段，因此我觉得可以通过教师的启发式教学，引导学生认识到弧长、角度、面积这些测度本质上就是时间区域的长度，从形到数的转变，实现了测度的优化选择，揭示出数学的本质，突破了难点。因为新课程强调：重视在实际情境中去体验和理解有关知识；注重过程，提倡在学习过程中学生的自主活动，培养发现规律、探求模式的能力。