一题多解拓展思路

许维发

摘要：在数学教学中，通常学生解题只会一种方法，而如果让其换一种方法来解，多数学生都无法解出。所以为了拓宽学生思路，特通过此文举例来启发学生，使学生学会一题多解。

关键词：方法；思路；几何

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）11-262-01

在平面直角坐标系中直线l的参数方程为 (t为参数)，若以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为sin( )。求直线l被曲线C所截得的弦长。

解：方法1——通法

【思路】分别将所给的参数方程和极坐标方程化为普通方程和直角坐标方程，然后联立解方程组得两曲线的交点，最后由两点间距离公式即可得到所求弦长。

【过程】将直线l的参数方程化为普通方程得

…①

将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程得

②

由①、②联立解方程组，得

和

即直线l与曲线C的两交点分别为

A 、B

由两点间的距离公式，得

｜AB｜=

【评注】此法思路简单，容易想到，但计算繁琐。

方法2——几何法

【思路】由“弦长”可联想到平面几何中的“圆”，进而想到“垂径定理”。 将曲线C的直角坐标方程化为圆的标准方程，然后由点到直线的距离公式可求出弦心距，最后由垂径定理即可求得弦长。

【过程】将直线l的参数方程化为普通方程得

将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程得

即

即曲线C为圆心是 、半径是 的圆

由点到直线的距离公式，得

弦心距=

由垂径定理，得

弦长=

【评注】此法关键是联想到“垂径定理”，计算最简。

方法3——参数法

【思路】由直线l的参数方程可联想到参数的几何意义，于是可采用参数的几何意义来解。先将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，再与直线l的参数方程联立消去x和y得到关于t的一元二次方程，最后据韦达定理及公式即可求得弦长。

【过程】将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程得

将直线l的参数方程代入上式，得

即

若直线l与曲线C的交点分别为A、B，且它们对应的参数分别为 、 ，则

由参数的几何意义，得

【评注】此法关键是联想到参数的几何意义，计算较简。