探究——发现在解决教学重点难点中的应用

杨东兴

教学目标：

1.经历探索平方差公式的过程.

2.会推导平方差公式，运用公式进行简单的计算.

3.在计算中发现规律，并用符号表示，体会数学的简洁美.

教学重点：平方差公式的推导和应用.

教学难点：理解平方差公式并灵活运用平方差公式进行简单的计算，并能判断在何种情况下可以利用公式.

教学过程：

一、教师引领 自主探究

问题1：（算一算）

师：我们学习过了整式的乘法，知道了两个多项式相乘的法则.今天我们要继续学习某些特殊情形下的多项式相乘.请大家应用所学的知识，自己来完成下面的问题：

（1）（x+1）（x-1）=

（2） （m+2）（m-2）=

（3）（2x+1）（2x-1）=

师：谁说说各题的结果？

生1：（x+1）（x-1）=x2 -1

（m+2）（m-2）= m2 -4

（2x+1）（2x-1）= 4x2 -1

师：在（m+2）（m-2）= m2 -4等式中，4可以写成几平方？

生：2的平方.

师:也就是说（m+2）（m-2）= m2 -22

（2x+1）（2x-1）= （2x）2 -12

问题2：（猜一猜）

师：大家结合上面的计算结果，不计算，通过观察、比较，你来猜一下下面式子的结果.

（1）（x+6）（x-6）=

（2）（a+2）（a-2）=

（3）（x+y）（x-y）=

师：谁大胆猜猜各题的结果？说出你猜想的依据.

生：根据（m+2）（m+2）= m2 -22 这个式子的特点，我的猜想结果是这样的:

（1）（x+6）（x-6）= x2 -62 = x2 -36

（2）（a+2）（a-2）= a2 -22 = a2 -4

（3）（x+y）（x-y）= x2 -y2

师：大家说他回答得好吗？

生：很好.

师：生3同学善于观察、善于思考、善于发现，回答得很精彩.大家要向他学习.

问题3：（说一说）

师：从上面的运算中大家发现了什么规律？

生: （a+b）（a-b）= a2 -b2.

师：请王小明同学用自己的语言叙述所发现的规律.

生:两个数的和乘以两个数的差，等于两个数的平方差.

师:方才王小明同学表述得很流利.大家仔细分析一下，他表述的符合这个等式的含义吗？如不符合，应该怎样说？

生:不对呀，应该表述成：两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差，就差一个字.

师：你说得真有道理，你表述得也太科学了.一字之差，有时就会导致错误.可见科学来不得半点差错，一定认真思考、斟酌.

师:大家看一下这个等式结构特征.等式左边意思是？

生：两个数的和乘以这两个数的差.

师：等式右边的意思是？

生：这两个数的平方差.

师：大家说得都对.这个等式就叫平方差公式.是本节课学习的重点.大家一定要理解记忆.

问题4：（数形结合，推理论证）

师：你能用下面的几何图形来解释平方差公式吗？

生：左边阴影部分面积等于右边阴影部分图形的面积.即（a+b）（a-b）= a2 -b2 .

师：很好，根据几何图形面积相等也论证了（a+b）（a-b）= a2 -b2 这个规律是正确的.

师：这个内容就是我们今天要研究的内容.（板书课题：平方差公式.）

请学生快速记住公式，以便遇到类似形式的多项式相乘时就可以直接运用公式进行计算.在此基础上，让学生用自己语言叙述公式.师生共同得出相同项的平方减去不同项绝对值的平方.

二、师生互动，应用提升

师：现在我来解决一下课前的简算问题，你们现在知道该如何简算了吧，15秒内抢答.

生：（快速进行计算，并得出结果.）

第一小组：3999999.

第三小组:999996.

下面请同学们一起练习几道题，看你们是否能很快地做出来呢？

例1：运用平方差公式计算：

（1）（5x+7）（5x-7）

（2）（x+5y）（x-5y）

师：这两个题目是否符合平方差公式特征？（学生回答后，教师板书解题过程.）

师：下面我们再巩固一下，请大家试一试，口算：

练一练：（1）（x+y）（x-y）

（2）（x+2）（x-2）

（3）（ab+c）（ab-c）

（4）（m+3n）（m-3n）

生：各小组抢答（准确率很高）.

例2：计算（1） （5m+2y）（5m-2y）

（2） （3y-2）（2-3y）

（3） （-3+x）（-3-x）

教师引导学生分析题目条件是否符合平方差公式特征，并让学生说出本题中a，b分别表示什么.（巡视学生解题情况.）

师：哪组同学愿意把你的计算结果展示给大家？

生：（1）题能运用平方差公式，5m相当于a，2y相当于b.

师：大家判断得很准确，第（2）题呢？

生：不可以运用平方差进行计算，3y与-3y是互为相反数，2与-2也是互为相反数，所以，不能用平方差公式进行计算，运用多项式乘法计算.

师：这道题只能运用多项式乘法来进行计算了.同学们考虑一下（3）题呢？

生：能运用平方差公式计算，-3相当于a，x相当于b.

师：很好！大家掌握得非常扎实.

三、展示交流，突破难点（大屏幕打出）

1. 判断下列多项式的乘法是否能用平方差公式计算.若能，请计算出结果；若不能，请说明理由.

（1）（a+5）（a-5） （2）（2a+3b）（3a-2b）

（3）[1+（x+y）][1-（x+y）] （4）（a-x）（-a-x）

2. 用平方差公式计算：

（1）（a+3）（a-3） （2）（2a+3b）（2a-3b）

（3）（a+5b）（a-5b） （4）（-5y-4x）（4x-5y）

让学生在练习本上计算，教师巡视各小组解题情况，每题让不同小组学生进行板演.

3. 用简便方法计算：

（1）102×98 （2）201×199

4. 街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，东西要加长两米，而南北要缩短两米，问改造后的面积是多少？（教师巡视学生练习情况，请各小组不同解法的学生，或发生错误的学生板演，教师和学生一起分析解法.）

四、反思总结，质疑求学

师：我们能不能总结一下利用平方差公式计算应注意什么？学生发言后，小结:

（1）公式中的字母a、b 可以表示数，也可以表示数的单项式，多项式即整式.

（2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式.

（3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形就能应用公式.

师：这节课你有什么收获和体会？（学生以小组为单位，谈一谈通过本节课的学习你有哪些收获？）

生：（谈收获和体会.）

师：1. 什么是平方差公式？

2. 运用公式要注意什么？

五、布置作业，拓展新知

1. 运用平方差公式计算：

（1）（2a-3b）（3b+2a） （2）（-1+3x）（-1-3x）

2. 计算：

（1）（x+y）（x-y）+（2x+y）（2x+y）

（2）（2a-b）（2a+b）-（2b-3a）（3a+2b）

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教学目标：

1.经历探索平方差公式的过程.

2.会推导平方差公式，运用公式进行简单的计算.

3.在计算中发现规律，并用符号表示，体会数学的简洁美.

教学重点：平方差公式的推导和应用.

教学难点：理解平方差公式并灵活运用平方差公式进行简单的计算，并能判断在何种情况下可以利用公式.

教学过程：

一、教师引领 自主探究

问题1：（算一算）

师：我们学习过了整式的乘法，知道了两个多项式相乘的法则.今天我们要继续学习某些特殊情形下的多项式相乘.请大家应用所学的知识，自己来完成下面的问题：

（1）（x+1）（x-1）=

（2） （m+2）（m-2）=

（3）（2x+1）（2x-1）=

师：谁说说各题的结果？

生1：（x+1）（x-1）=x2 -1

（m+2）（m-2）= m2 -4

（2x+1）（2x-1）= 4x2 -1

师：在（m+2）（m-2）= m2 -4等式中，4可以写成几平方？

生：2的平方.

师:也就是说（m+2）（m-2）= m2 -22

（2x+1）（2x-1）= （2x）2 -12

问题2：（猜一猜）

师：大家结合上面的计算结果，不计算，通过观察、比较，你来猜一下下面式子的结果.

（1）（x+6）（x-6）=

（2）（a+2）（a-2）=

（3）（x+y）（x-y）=

师：谁大胆猜猜各题的结果？说出你猜想的依据.

生：根据（m+2）（m+2）= m2 -22 这个式子的特点，我的猜想结果是这样的:

（1）（x+6）（x-6）= x2 -62 = x2 -36

（2）（a+2）（a-2）= a2 -22 = a2 -4

（3）（x+y）（x-y）= x2 -y2

师：大家说他回答得好吗？

生：很好.

师：生3同学善于观察、善于思考、善于发现，回答得很精彩.大家要向他学习.

问题3：（说一说）

师：从上面的运算中大家发现了什么规律？

生: （a+b）（a-b）= a2 -b2.

师：请王小明同学用自己的语言叙述所发现的规律.

生:两个数的和乘以两个数的差，等于两个数的平方差.

师:方才王小明同学表述得很流利.大家仔细分析一下，他表述的符合这个等式的含义吗？如不符合，应该怎样说？

生:不对呀，应该表述成：两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差，就差一个字.

师：你说得真有道理，你表述得也太科学了.一字之差，有时就会导致错误.可见科学来不得半点差错，一定认真思考、斟酌.

师:大家看一下这个等式结构特征.等式左边意思是？

生：两个数的和乘以这两个数的差.

师：等式右边的意思是？

生：这两个数的平方差.

师：大家说得都对.这个等式就叫平方差公式.是本节课学习的重点.大家一定要理解记忆.

问题4：（数形结合，推理论证）

师：你能用下面的几何图形来解释平方差公式吗？

生：左边阴影部分面积等于右边阴影部分图形的面积.即（a+b）（a-b）= a2 -b2 .

师：很好，根据几何图形面积相等也论证了（a+b）（a-b）= a2 -b2 这个规律是正确的.

师：这个内容就是我们今天要研究的内容.（板书课题：平方差公式.）

请学生快速记住公式，以便遇到类似形式的多项式相乘时就可以直接运用公式进行计算.在此基础上，让学生用自己语言叙述公式.师生共同得出相同项的平方减去不同项绝对值的平方.

二、师生互动，应用提升

师：现在我来解决一下课前的简算问题，你们现在知道该如何简算了吧，15秒内抢答.

生：（快速进行计算，并得出结果.）

第一小组：3999999.

第三小组:999996.

下面请同学们一起练习几道题，看你们是否能很快地做出来呢？

例1：运用平方差公式计算：

（1）（5x+7）（5x-7）

（2）（x+5y）（x-5y）

师：这两个题目是否符合平方差公式特征？（学生回答后，教师板书解题过程.）

师：下面我们再巩固一下，请大家试一试，口算：

练一练：（1）（x+y）（x-y）

（2）（x+2）（x-2）

（3）（ab+c）（ab-c）

（4）（m+3n）（m-3n）

生：各小组抢答（准确率很高）.

例2：计算（1） （5m+2y）（5m-2y）

（2） （3y-2）（2-3y）

（3） （-3+x）（-3-x）

教师引导学生分析题目条件是否符合平方差公式特征，并让学生说出本题中a，b分别表示什么.（巡视学生解题情况.）

师：哪组同学愿意把你的计算结果展示给大家？

生：（1）题能运用平方差公式，5m相当于a，2y相当于b.

师：大家判断得很准确，第（2）题呢？

生：不可以运用平方差进行计算，3y与-3y是互为相反数，2与-2也是互为相反数，所以，不能用平方差公式进行计算，运用多项式乘法计算.

师：这道题只能运用多项式乘法来进行计算了.同学们考虑一下（3）题呢？

生：能运用平方差公式计算，-3相当于a，x相当于b.

师：很好！大家掌握得非常扎实.

三、展示交流，突破难点（大屏幕打出）

1. 判断下列多项式的乘法是否能用平方差公式计算.若能，请计算出结果；若不能，请说明理由.

（1）（a+5）（a-5） （2）（2a+3b）（3a-2b）

（3）[1+（x+y）][1-（x+y）] （4）（a-x）（-a-x）

2. 用平方差公式计算：

（1）（a+3）（a-3） （2）（2a+3b）（2a-3b）

（3）（a+5b）（a-5b） （4）（-5y-4x）（4x-5y）

让学生在练习本上计算，教师巡视各小组解题情况，每题让不同小组学生进行板演.

3. 用简便方法计算：

（1）102×98 （2）201×199

4. 街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，东西要加长两米，而南北要缩短两米，问改造后的面积是多少？（教师巡视学生练习情况，请各小组不同解法的学生，或发生错误的学生板演，教师和学生一起分析解法.）

四、反思总结，质疑求学

师：我们能不能总结一下利用平方差公式计算应注意什么？学生发言后，小结:

（1）公式中的字母a、b 可以表示数，也可以表示数的单项式，多项式即整式.

（2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式.

（3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形就能应用公式.

师：这节课你有什么收获和体会？（学生以小组为单位，谈一谈通过本节课的学习你有哪些收获？）

生：（谈收获和体会.）

师：1. 什么是平方差公式？

2. 运用公式要注意什么？

五、布置作业，拓展新知

1. 运用平方差公式计算：

（1）（2a-3b）（3b+2a） （2）（-1+3x）（-1-3x）

2. 计算：

（1）（x+y）（x-y）+（2x+y）（2x+y）

（2）（2a-b）（2a+b）-（2b-3a）（3a+2b）

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教学目标：

1.经历探索平方差公式的过程.

2.会推导平方差公式，运用公式进行简单的计算.

3.在计算中发现规律，并用符号表示，体会数学的简洁美.

教学重点：平方差公式的推导和应用.

教学难点：理解平方差公式并灵活运用平方差公式进行简单的计算，并能判断在何种情况下可以利用公式.

教学过程：

一、教师引领 自主探究

问题1：（算一算）

师：我们学习过了整式的乘法，知道了两个多项式相乘的法则.今天我们要继续学习某些特殊情形下的多项式相乘.请大家应用所学的知识，自己来完成下面的问题：

（1）（x+1）（x-1）=

（2） （m+2）（m-2）=

（3）（2x+1）（2x-1）=

师：谁说说各题的结果？

生1：（x+1）（x-1）=x2 -1

（m+2）（m-2）= m2 -4

（2x+1）（2x-1）= 4x2 -1

师：在（m+2）（m-2）= m2 -4等式中，4可以写成几平方？

生：2的平方.

师:也就是说（m+2）（m-2）= m2 -22

（2x+1）（2x-1）= （2x）2 -12

问题2：（猜一猜）

师：大家结合上面的计算结果，不计算，通过观察、比较，你来猜一下下面式子的结果.

（1）（x+6）（x-6）=

（2）（a+2）（a-2）=

（3）（x+y）（x-y）=

师：谁大胆猜猜各题的结果？说出你猜想的依据.

生：根据（m+2）（m+2）= m2 -22 这个式子的特点，我的猜想结果是这样的:

（1）（x+6）（x-6）= x2 -62 = x2 -36

（2）（a+2）（a-2）= a2 -22 = a2 -4

（3）（x+y）（x-y）= x2 -y2

师：大家说他回答得好吗？

生：很好.

师：生3同学善于观察、善于思考、善于发现，回答得很精彩.大家要向他学习.

问题3：（说一说）

师：从上面的运算中大家发现了什么规律？

生: （a+b）（a-b）= a2 -b2.

师：请王小明同学用自己的语言叙述所发现的规律.

生:两个数的和乘以两个数的差，等于两个数的平方差.

师:方才王小明同学表述得很流利.大家仔细分析一下，他表述的符合这个等式的含义吗？如不符合，应该怎样说？

生:不对呀，应该表述成：两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差，就差一个字.

师：你说得真有道理，你表述得也太科学了.一字之差，有时就会导致错误.可见科学来不得半点差错，一定认真思考、斟酌.

师:大家看一下这个等式结构特征.等式左边意思是？

生：两个数的和乘以这两个数的差.

师：等式右边的意思是？

生：这两个数的平方差.

师：大家说得都对.这个等式就叫平方差公式.是本节课学习的重点.大家一定要理解记忆.

问题4：（数形结合，推理论证）

师：你能用下面的几何图形来解释平方差公式吗？

生：左边阴影部分面积等于右边阴影部分图形的面积.即（a+b）（a-b）= a2 -b2 .

师：很好，根据几何图形面积相等也论证了（a+b）（a-b）= a2 -b2 这个规律是正确的.

师：这个内容就是我们今天要研究的内容.（板书课题：平方差公式.）

请学生快速记住公式，以便遇到类似形式的多项式相乘时就可以直接运用公式进行计算.在此基础上，让学生用自己语言叙述公式.师生共同得出相同项的平方减去不同项绝对值的平方.

二、师生互动，应用提升

师：现在我来解决一下课前的简算问题，你们现在知道该如何简算了吧，15秒内抢答.

生：（快速进行计算，并得出结果.）

第一小组：3999999.

第三小组:999996.

下面请同学们一起练习几道题，看你们是否能很快地做出来呢？

例1：运用平方差公式计算：

（1）（5x+7）（5x-7）

（2）（x+5y）（x-5y）

师：这两个题目是否符合平方差公式特征？（学生回答后，教师板书解题过程.）

师：下面我们再巩固一下，请大家试一试，口算：

练一练：（1）（x+y）（x-y）

（2）（x+2）（x-2）

（3）（ab+c）（ab-c）

（4）（m+3n）（m-3n）

生：各小组抢答（准确率很高）.

例2：计算（1） （5m+2y）（5m-2y）

（2） （3y-2）（2-3y）

（3） （-3+x）（-3-x）

教师引导学生分析题目条件是否符合平方差公式特征，并让学生说出本题中a，b分别表示什么.（巡视学生解题情况.）

师：哪组同学愿意把你的计算结果展示给大家？

生：（1）题能运用平方差公式，5m相当于a，2y相当于b.

师：大家判断得很准确，第（2）题呢？

生：不可以运用平方差进行计算，3y与-3y是互为相反数，2与-2也是互为相反数，所以，不能用平方差公式进行计算，运用多项式乘法计算.

师：这道题只能运用多项式乘法来进行计算了.同学们考虑一下（3）题呢？

生：能运用平方差公式计算，-3相当于a，x相当于b.

师：很好！大家掌握得非常扎实.

三、展示交流，突破难点（大屏幕打出）

1. 判断下列多项式的乘法是否能用平方差公式计算.若能，请计算出结果；若不能，请说明理由.

（1）（a+5）（a-5） （2）（2a+3b）（3a-2b）

（3）[1+（x+y）][1-（x+y）] （4）（a-x）（-a-x）

2. 用平方差公式计算：

（1）（a+3）（a-3） （2）（2a+3b）（2a-3b）

（3）（a+5b）（a-5b） （4）（-5y-4x）（4x-5y）

让学生在练习本上计算，教师巡视各小组解题情况，每题让不同小组学生进行板演.

3. 用简便方法计算：

（1）102×98 （2）201×199

4. 街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，东西要加长两米，而南北要缩短两米，问改造后的面积是多少？（教师巡视学生练习情况，请各小组不同解法的学生，或发生错误的学生板演，教师和学生一起分析解法.）

四、反思总结，质疑求学

师：我们能不能总结一下利用平方差公式计算应注意什么？学生发言后，小结:

（1）公式中的字母a、b 可以表示数，也可以表示数的单项式，多项式即整式.

（2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式.

（3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形就能应用公式.

师：这节课你有什么收获和体会？（学生以小组为单位，谈一谈通过本节课的学习你有哪些收获？）

生：（谈收获和体会.）

师：1. 什么是平方差公式？

2. 运用公式要注意什么？

五、布置作业，拓展新知

1. 运用平方差公式计算：

（1）（2a-3b）（3b+2a） （2）（-1+3x）（-1-3x）

2. 计算：

（1）（x+y）（x-y）+（2x+y）（2x+y）

（2）（2a-b）（2a+b）-（2b-3a）（3a+2b）

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