如何注重类比方法 体现教学难点突破策略

+陆杨

本节课的教学内容是人教版数学八年级上册14.2.1 平方差公式，主要探究平方差公式的过程及简单应用.重、难点是理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式进行简单的计算.采用“问题情景—探究交流—得出结论—强化训练”的模式展开教学.利用多媒体教学手段，增加教学过程的趣味性，强调学生的动手操作和主动参与，通过集体讨论、小组活动，以合作学习促进自主探究.课堂教学实录如下：

活动一：创设情境，凸显问题

师：同学们，我们刚刚学习了整式的乘法，知道了两个多项式相乘的算法，下面同学们应用你所学的知识，探究下面的问题：

问题1：用简便算法计算下面各题.

21×19=?103×97=?

问题2：同学们，你们想知道是如何计算的吗？

生：想.

师：今天我们就一起来探究简便计算这类问题的方法.（避开问题不去直接解答，意在唤起学生的好奇心，吸引其有意注意.）

活动二：类比发现，体验新知

问题1：下面请同学们观察下面的算式有什么特点?（大屏幕打出.）

（1）（m+2）（m-2）

（2）（2x+1）（2x-1）

（3）（x+5y）（x-5y）

生甲：每个因式都是两项.

生乙：都是两个数的和与差的积……

师：大家都非常善于观察，表现得很好，学习就需要这种仔细，认真的态度.（及时对学生的积极表现作出表扬，使学生保持良好的学习状态.）

问题2：同学们，试着计算一下，你还会有什么新的发现吗？（以小组为单位，进行计算，并且给一定的时间让学生一起讨论.）

一小组汇报：我们组通过计算发现（1）（2）结果是两个数平方的差.

二小组补充：（3）的结果变形后也是两个数的平方的差.

师：概括得很好！观察得很仔细，它们运算结果就是这两个数的平方的差.根据你们找出的规律，快速计算（a+b）（a-b）.

生：异口同声的说：a2-b2.

师：正确，我们来证明一下.（板书验证过程.）

问题3：能不能给我们发现的规律：（a+b）（a-b）= a2-b2起一个名字呢？最后的结果是这两个数的平方差，就叫它“平方差公式”怎么样？

生齐答：好.

师：这个内容就是我们今天要研究的内容.（板书课题：平方差公式，使学生体验获取知识后的成功与喜悦，进而激发学生的学习兴趣.）

活动三：追根溯源，巩固认知

师：你能计算出图1与图2的面积和吗？有哪几种方法？

生：（通过观察）我是这样计算的，图2和图3的面积相等，所以，图1与图2的面积和就是图形1与图3的面积和，而图1与图3是一个长方形，一边是（a+b），另一边是（a-b），所以面积是（a+b）（a-b）.

师：很好！还有没有其他方法？

生：图1与图2的面积和其实就是大的正方形面积减去小的正方形的面积，而大的正方形的边长为a，小的正方形的边长为b，所以面积为a2-b2.

师：很好！还有没有其他方法？

生：我先计算图1的面积，图1是一个长方形，长为a，宽为（a-b），面积为a（a-b），而图2的面积是b（a-b），所以，图1与图2的面积和为 （a+b）（a-b）.

师：非常好！大家想出了很多种计算方法，无论哪种方法其结果都是（a+b）（a-b）和a2-b2.所以，（a+b）（a-b）= a2-b2.

这样我们又从几何角度验证了平方差公式.

活动四：规律应用，提升认知

师：学习公式为了运算简便，现在看这样两道题.

例：运用平方差公式计算：

（1）（3x+2）（3x-2）

（2）(2a+5b2) (2a-5b2)

师：这两个题目条件是否符合平方差公式特征，你能说出本题中a，b分别表示什么吗？（学生回答后，教师板书解题过程.）

生：（异口同声）能.

活动五：突破难点，升华认知

问题：观察下面各式能否运用平方差公式计算; 如果能运用平方差公式,两个因式中的哪个数看做公式中的a,哪个数看做公式中的b; 计算结果是什么？

（1） （4y+3x）（3x-4y）

（2） （-5m2 +3n）（5m2 +3n）

（3） （2y-3）（3-2y）

（巡视学生解题情况.）

师：哪位同学愿意把你的计算结果展示给大家.

生：（1）题能运用平方差公式，把4y和3x调换一下位置，4y相当于a，3x相当于b.

师：大家判断的很准确，真是火眼金睛啊.第（2）题呢？

生：能运用平方差公式-5m2和3n和调换位置，和调换位置，5m和3n就变成（3n-5m2 ）（3n+5m2 ） =9n2 -25m4

师：有没有跟她的看法不同？

生：（-5m2+3n）（5m2+3n）=-（5m2-3n）（5m2+3n）=-[（5· m2 ）2-（3n）2]

师：看来真的把这节课内容学会了，太棒了.那第（3）题该如何做呢？

生：不可以运用平方差进行计算，2y与-2y是互为相反数，与-3也是互为相反数，所以，不能用平方差公式进行计算，运用多项式乘法计算.

师：这道题只能运用多项式乘法来进行计算了.以后，我们还会用另外一个乘法公式对它进行计算.

师：有些运算式很可能不能运用平方差公式进行计算，所以给出运算式后先看符合不符合公式，然后再找公式中的a，公式中b，最后计算结果，从前面例题和练习题看，大家对公式掌握的已经很好了.下面我们小结以下本节主要内容（略）.

活动六：分层作业，各有所获

必做题：1.课本 P108练习第1、2题.

2. 课本P112习题14.2第1~3题.

选做题：计算：（a+b+c）（a+b-c）

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本节课的教学内容是人教版数学八年级上册14.2.1 平方差公式，主要探究平方差公式的过程及简单应用.重、难点是理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式进行简单的计算.采用“问题情景—探究交流—得出结论—强化训练”的模式展开教学.利用多媒体教学手段，增加教学过程的趣味性，强调学生的动手操作和主动参与，通过集体讨论、小组活动，以合作学习促进自主探究.课堂教学实录如下：

活动一：创设情境，凸显问题

师：同学们，我们刚刚学习了整式的乘法，知道了两个多项式相乘的算法，下面同学们应用你所学的知识，探究下面的问题：

问题1：用简便算法计算下面各题.

21×19=?103×97=?

问题2：同学们，你们想知道是如何计算的吗？

生：想.

师：今天我们就一起来探究简便计算这类问题的方法.（避开问题不去直接解答，意在唤起学生的好奇心，吸引其有意注意.）

活动二：类比发现，体验新知

问题1：下面请同学们观察下面的算式有什么特点?（大屏幕打出.）

（1）（m+2）（m-2）

（2）（2x+1）（2x-1）

（3）（x+5y）（x-5y）

生甲：每个因式都是两项.

生乙：都是两个数的和与差的积……

师：大家都非常善于观察，表现得很好，学习就需要这种仔细，认真的态度.（及时对学生的积极表现作出表扬，使学生保持良好的学习状态.）

问题2：同学们，试着计算一下，你还会有什么新的发现吗？（以小组为单位，进行计算，并且给一定的时间让学生一起讨论.）

一小组汇报：我们组通过计算发现（1）（2）结果是两个数平方的差.

二小组补充：（3）的结果变形后也是两个数的平方的差.

师：概括得很好！观察得很仔细，它们运算结果就是这两个数的平方的差.根据你们找出的规律，快速计算（a+b）（a-b）.

生：异口同声的说：a2-b2.

师：正确，我们来证明一下.（板书验证过程.）

问题3：能不能给我们发现的规律：（a+b）（a-b）= a2-b2起一个名字呢？最后的结果是这两个数的平方差，就叫它“平方差公式”怎么样？

生齐答：好.

师：这个内容就是我们今天要研究的内容.（板书课题：平方差公式，使学生体验获取知识后的成功与喜悦，进而激发学生的学习兴趣.）

活动三：追根溯源，巩固认知

师：你能计算出图1与图2的面积和吗？有哪几种方法？

生：（通过观察）我是这样计算的，图2和图3的面积相等，所以，图1与图2的面积和就是图形1与图3的面积和，而图1与图3是一个长方形，一边是（a+b），另一边是（a-b），所以面积是（a+b）（a-b）.

师：很好！还有没有其他方法？

生：图1与图2的面积和其实就是大的正方形面积减去小的正方形的面积，而大的正方形的边长为a，小的正方形的边长为b，所以面积为a2-b2.

师：很好！还有没有其他方法？

生：我先计算图1的面积，图1是一个长方形，长为a，宽为（a-b），面积为a（a-b），而图2的面积是b（a-b），所以，图1与图2的面积和为 （a+b）（a-b）.

师：非常好！大家想出了很多种计算方法，无论哪种方法其结果都是（a+b）（a-b）和a2-b2.所以，（a+b）（a-b）= a2-b2.

这样我们又从几何角度验证了平方差公式.

活动四：规律应用，提升认知

师：学习公式为了运算简便，现在看这样两道题.

例：运用平方差公式计算：

（1）（3x+2）（3x-2）

（2）(2a+5b2) (2a-5b2)

师：这两个题目条件是否符合平方差公式特征，你能说出本题中a，b分别表示什么吗？（学生回答后，教师板书解题过程.）

生：（异口同声）能.

活动五：突破难点，升华认知

问题：观察下面各式能否运用平方差公式计算; 如果能运用平方差公式,两个因式中的哪个数看做公式中的a,哪个数看做公式中的b; 计算结果是什么？

（1） （4y+3x）（3x-4y）

（2） （-5m2 +3n）（5m2 +3n）

（3） （2y-3）（3-2y）

（巡视学生解题情况.）

师：哪位同学愿意把你的计算结果展示给大家.

生：（1）题能运用平方差公式，把4y和3x调换一下位置，4y相当于a，3x相当于b.

师：大家判断的很准确，真是火眼金睛啊.第（2）题呢？

生：能运用平方差公式-5m2和3n和调换位置，和调换位置，5m和3n就变成（3n-5m2 ）（3n+5m2 ） =9n2 -25m4

师：有没有跟她的看法不同？

生：（-5m2+3n）（5m2+3n）=-（5m2-3n）（5m2+3n）=-[（5· m2 ）2-（3n）2]

师：看来真的把这节课内容学会了，太棒了.那第（3）题该如何做呢？

生：不可以运用平方差进行计算，2y与-2y是互为相反数，与-3也是互为相反数，所以，不能用平方差公式进行计算，运用多项式乘法计算.

师：这道题只能运用多项式乘法来进行计算了.以后，我们还会用另外一个乘法公式对它进行计算.

师：有些运算式很可能不能运用平方差公式进行计算，所以给出运算式后先看符合不符合公式，然后再找公式中的a，公式中b，最后计算结果，从前面例题和练习题看，大家对公式掌握的已经很好了.下面我们小结以下本节主要内容（略）.

活动六：分层作业，各有所获

必做题：1.课本 P108练习第1、2题.

2. 课本P112习题14.2第1~3题.

选做题：计算：（a+b+c）（a+b-c）

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本节课的教学内容是人教版数学八年级上册14.2.1 平方差公式，主要探究平方差公式的过程及简单应用.重、难点是理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式进行简单的计算.采用“问题情景—探究交流—得出结论—强化训练”的模式展开教学.利用多媒体教学手段，增加教学过程的趣味性，强调学生的动手操作和主动参与，通过集体讨论、小组活动，以合作学习促进自主探究.课堂教学实录如下：

活动一：创设情境，凸显问题

师：同学们，我们刚刚学习了整式的乘法，知道了两个多项式相乘的算法，下面同学们应用你所学的知识，探究下面的问题：

问题1：用简便算法计算下面各题.

21×19=?103×97=?

问题2：同学们，你们想知道是如何计算的吗？

生：想.

师：今天我们就一起来探究简便计算这类问题的方法.（避开问题不去直接解答，意在唤起学生的好奇心，吸引其有意注意.）

活动二：类比发现，体验新知

问题1：下面请同学们观察下面的算式有什么特点?（大屏幕打出.）

（1）（m+2）（m-2）

（2）（2x+1）（2x-1）

（3）（x+5y）（x-5y）

生甲：每个因式都是两项.

生乙：都是两个数的和与差的积……

师：大家都非常善于观察，表现得很好，学习就需要这种仔细，认真的态度.（及时对学生的积极表现作出表扬，使学生保持良好的学习状态.）

问题2：同学们，试着计算一下，你还会有什么新的发现吗？（以小组为单位，进行计算，并且给一定的时间让学生一起讨论.）

一小组汇报：我们组通过计算发现（1）（2）结果是两个数平方的差.

二小组补充：（3）的结果变形后也是两个数的平方的差.

师：概括得很好！观察得很仔细，它们运算结果就是这两个数的平方的差.根据你们找出的规律，快速计算（a+b）（a-b）.

生：异口同声的说：a2-b2.

师：正确，我们来证明一下.（板书验证过程.）

问题3：能不能给我们发现的规律：（a+b）（a-b）= a2-b2起一个名字呢？最后的结果是这两个数的平方差，就叫它“平方差公式”怎么样？

生齐答：好.

师：这个内容就是我们今天要研究的内容.（板书课题：平方差公式，使学生体验获取知识后的成功与喜悦，进而激发学生的学习兴趣.）

活动三：追根溯源，巩固认知

师：你能计算出图1与图2的面积和吗？有哪几种方法？

生：（通过观察）我是这样计算的，图2和图3的面积相等，所以，图1与图2的面积和就是图形1与图3的面积和，而图1与图3是一个长方形，一边是（a+b），另一边是（a-b），所以面积是（a+b）（a-b）.

师：很好！还有没有其他方法？

生：图1与图2的面积和其实就是大的正方形面积减去小的正方形的面积，而大的正方形的边长为a，小的正方形的边长为b，所以面积为a2-b2.

师：很好！还有没有其他方法？

生：我先计算图1的面积，图1是一个长方形，长为a，宽为（a-b），面积为a（a-b），而图2的面积是b（a-b），所以，图1与图2的面积和为 （a+b）（a-b）.

师：非常好！大家想出了很多种计算方法，无论哪种方法其结果都是（a+b）（a-b）和a2-b2.所以，（a+b）（a-b）= a2-b2.

这样我们又从几何角度验证了平方差公式.

活动四：规律应用，提升认知

师：学习公式为了运算简便，现在看这样两道题.

例：运用平方差公式计算：

（1）（3x+2）（3x-2）

（2）(2a+5b2) (2a-5b2)

师：这两个题目条件是否符合平方差公式特征，你能说出本题中a，b分别表示什么吗？（学生回答后，教师板书解题过程.）

生：（异口同声）能.

活动五：突破难点，升华认知

问题：观察下面各式能否运用平方差公式计算; 如果能运用平方差公式,两个因式中的哪个数看做公式中的a,哪个数看做公式中的b; 计算结果是什么？

（1） （4y+3x）（3x-4y）

（2） （-5m2 +3n）（5m2 +3n）

（3） （2y-3）（3-2y）

（巡视学生解题情况.）

师：哪位同学愿意把你的计算结果展示给大家.

生：（1）题能运用平方差公式，把4y和3x调换一下位置，4y相当于a，3x相当于b.

师：大家判断的很准确，真是火眼金睛啊.第（2）题呢？

生：能运用平方差公式-5m2和3n和调换位置，和调换位置，5m和3n就变成（3n-5m2 ）（3n+5m2 ） =9n2 -25m4

师：有没有跟她的看法不同？

生：（-5m2+3n）（5m2+3n）=-（5m2-3n）（5m2+3n）=-[（5· m2 ）2-（3n）2]

师：看来真的把这节课内容学会了，太棒了.那第（3）题该如何做呢？

生：不可以运用平方差进行计算，2y与-2y是互为相反数，与-3也是互为相反数，所以，不能用平方差公式进行计算，运用多项式乘法计算.

师：这道题只能运用多项式乘法来进行计算了.以后，我们还会用另外一个乘法公式对它进行计算.

师：有些运算式很可能不能运用平方差公式进行计算，所以给出运算式后先看符合不符合公式，然后再找公式中的a，公式中b，最后计算结果，从前面例题和练习题看，大家对公式掌握的已经很好了.下面我们小结以下本节主要内容（略）.

活动六：分层作业，各有所获

必做题：1.课本 P108练习第1、2题.

2. 课本P112习题14.2第1~3题.

选做题：计算：（a+b+c）（a+b-c）

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