如何注重类比方法 体现教学难点突破策略

2014-09-01 07:39陆杨
黑龙江教育·中学 2014年6期
关键词:平方差乘法正方形

+陆杨

本节课的教学内容是人教版数学八年级上册14.2.1 平方差公式,主要探究平方差公式的过程及简单应用.重、难点是理解平方差公式的结构特征,灵活应用平方差公式进行简单的计算.采用“问题情景—探究交流—得出结论—强化训练”的模式展开教学.利用多媒体教学手段,增加教学过程的趣味性,强调学生的动手操作和主动参与,通过集体讨论、小组活动,以合作学习促进自主探究.课堂教学实录如下:

活动一:创设情境,凸显问题

师:同学们,我们刚刚学习了整式的乘法,知道了两个多项式相乘的算法,下面同学们应用你所学的知识,探究下面的问题:

问题1:用简便算法计算下面各题.

21×19=?103×97=?

问题2:同学们,你们想知道是如何计算的吗?

生:想.

师:今天我们就一起来探究简便计算这类问题的方法.(避开问题不去直接解答,意在唤起学生的好奇心,吸引其有意注意.)

活动二:类比发现,体验新知

问题1:下面请同学们观察下面的算式有什么特点?(大屏幕打出.)

(1)(m+2)(m-2)

(2)(2x+1)(2x-1)

(3)(x+5y)(x-5y)

生甲:每个因式都是两项.

生乙:都是两个数的和与差的积……

师:大家都非常善于观察,表现得很好,学习就需要这种仔细,认真的态度.(及时对学生的积极表现作出表扬,使学生保持良好的学习状态.)

问题2:同学们,试着计算一下,你还会有什么新的发现吗?(以小组为单位,进行计算,并且给一定的时间让学生一起讨论.)

一小组汇报:我们组通过计算发现(1)(2)结果是两个数平方的差.

二小组补充:(3)的结果变形后也是两个数的平方的差.

师:概括得很好!观察得很仔细,它们运算结果就是这两个数的平方的差.根据你们找出的规律,快速计算(a+b)(a-b).

生:异口同声的说:a2-b2.

师:正确,我们来证明一下.(板书验证过程.)

问题3:能不能给我们发现的规律:(a+b)(a-b)= a2-b2起一个名字呢?最后的结果是这两个数的平方差,就叫它“平方差公式”怎么样?

生齐答:好.

师:这个内容就是我们今天要研究的内容.(板书课题:平方差公式,使学生体验获取知识后的成功与喜悦,进而激发学生的学习兴趣.)

活动三:追根溯源,巩固认知

师:你能计算出图1与图2的面积和吗?有哪几种方法?

生:(通过观察)我是这样计算的,图2和图3的面积相等,所以,图1与图2的面积和就是图形1与图3的面积和,而图1与图3是一个长方形,一边是(a+b),另一边是(a-b),所以面积是(a+b)(a-b).

师:很好!还有没有其他方法?

生:图1与图2的面积和其实就是大的正方形面积减去小的正方形的面积,而大的正方形的边长为a,小的正方形的边长为b,所以面积为a2-b2.

师:很好!还有没有其他方法?

生:我先计算图1的面积,图1是一个长方形,长为a,宽为(a-b),面积为a(a-b),而图2的面积是b(a-b),所以,图1与图2的面积和为 (a+b)(a-b).

师:非常好!大家想出了很多种计算方法,无论哪种方法其结果都是(a+b)(a-b)和a2-b2.所以,(a+b)(a-b)= a2-b2.

这样我们又从几何角度验证了平方差公式.

活动四:规律应用,提升认知

师:学习公式为了运算简便,现在看这样两道题.

例:运用平方差公式计算:

(1)(3x+2)(3x-2)

(2)(2a+5b2) (2a-5b2)

师:这两个题目条件是否符合平方差公式特征,你能说出本题中a,b分别表示什么吗?(学生回答后,教师板书解题过程.)

生:(异口同声)能.

活动五:突破难点,升华认知

问题:观察下面各式能否运用平方差公式计算; 如果能运用平方差公式,两个因式中的哪个数看做公式中的a,哪个数看做公式中的b; 计算结果是什么?

(1) (4y+3x)(3x-4y)

(2) (-5m2 +3n)(5m2 +3n)

(3) (2y-3)(3-2y)

(巡视学生解题情况.)

师:哪位同学愿意把你的计算结果展示给大家.

生:(1)题能运用平方差公式,把4y和3x调换一下位置,4y相当于a,3x相当于b.

师:大家判断的很准确,真是火眼金睛啊.第(2)题呢?

生:能运用平方差公式-5m2和3n和调换位置,和调换位置,5m和3n就变成(3n-5m2 )(3n+5m2 ) =9n2 -25m4

师:有没有跟她的看法不同?

生:(-5m2+3n)(5m2+3n)=-(5m2-3n)(5m2+3n)=-[(5· m2 )2-(3n)2]

师:看来真的把这节课内容学会了,太棒了.那第(3)题该如何做呢?

生:不可以运用平方差进行计算,2y与-2y是互为相反数,与-3也是互为相反数,所以,不能用平方差公式进行计算,运用多项式乘法计算.

师:这道题只能运用多项式乘法来进行计算了.以后,我们还会用另外一个乘法公式对它进行计算.

师:有些运算式很可能不能运用平方差公式进行计算,所以给出运算式后先看符合不符合公式,然后再找公式中的a,公式中b,最后计算结果,从前面例题和练习题看,大家对公式掌握的已经很好了.下面我们小结以下本节主要内容(略).

活动六:分层作业,各有所获

必做题:1.课本 P108练习第1、2题.

2. 课本P112习题14.2第1~3题.

选做题:计算:(a+b+c)(a+b-c)

endprint

本节课的教学内容是人教版数学八年级上册14.2.1 平方差公式,主要探究平方差公式的过程及简单应用.重、难点是理解平方差公式的结构特征,灵活应用平方差公式进行简单的计算.采用“问题情景—探究交流—得出结论—强化训练”的模式展开教学.利用多媒体教学手段,增加教学过程的趣味性,强调学生的动手操作和主动参与,通过集体讨论、小组活动,以合作学习促进自主探究.课堂教学实录如下:

活动一:创设情境,凸显问题

师:同学们,我们刚刚学习了整式的乘法,知道了两个多项式相乘的算法,下面同学们应用你所学的知识,探究下面的问题:

问题1:用简便算法计算下面各题.

21×19=?103×97=?

问题2:同学们,你们想知道是如何计算的吗?

生:想.

师:今天我们就一起来探究简便计算这类问题的方法.(避开问题不去直接解答,意在唤起学生的好奇心,吸引其有意注意.)

活动二:类比发现,体验新知

问题1:下面请同学们观察下面的算式有什么特点?(大屏幕打出.)

(1)(m+2)(m-2)

(2)(2x+1)(2x-1)

(3)(x+5y)(x-5y)

生甲:每个因式都是两项.

生乙:都是两个数的和与差的积……

师:大家都非常善于观察,表现得很好,学习就需要这种仔细,认真的态度.(及时对学生的积极表现作出表扬,使学生保持良好的学习状态.)

问题2:同学们,试着计算一下,你还会有什么新的发现吗?(以小组为单位,进行计算,并且给一定的时间让学生一起讨论.)

一小组汇报:我们组通过计算发现(1)(2)结果是两个数平方的差.

二小组补充:(3)的结果变形后也是两个数的平方的差.

师:概括得很好!观察得很仔细,它们运算结果就是这两个数的平方的差.根据你们找出的规律,快速计算(a+b)(a-b).

生:异口同声的说:a2-b2.

师:正确,我们来证明一下.(板书验证过程.)

问题3:能不能给我们发现的规律:(a+b)(a-b)= a2-b2起一个名字呢?最后的结果是这两个数的平方差,就叫它“平方差公式”怎么样?

生齐答:好.

师:这个内容就是我们今天要研究的内容.(板书课题:平方差公式,使学生体验获取知识后的成功与喜悦,进而激发学生的学习兴趣.)

活动三:追根溯源,巩固认知

师:你能计算出图1与图2的面积和吗?有哪几种方法?

生:(通过观察)我是这样计算的,图2和图3的面积相等,所以,图1与图2的面积和就是图形1与图3的面积和,而图1与图3是一个长方形,一边是(a+b),另一边是(a-b),所以面积是(a+b)(a-b).

师:很好!还有没有其他方法?

生:图1与图2的面积和其实就是大的正方形面积减去小的正方形的面积,而大的正方形的边长为a,小的正方形的边长为b,所以面积为a2-b2.

师:很好!还有没有其他方法?

生:我先计算图1的面积,图1是一个长方形,长为a,宽为(a-b),面积为a(a-b),而图2的面积是b(a-b),所以,图1与图2的面积和为 (a+b)(a-b).

师:非常好!大家想出了很多种计算方法,无论哪种方法其结果都是(a+b)(a-b)和a2-b2.所以,(a+b)(a-b)= a2-b2.

这样我们又从几何角度验证了平方差公式.

活动四:规律应用,提升认知

师:学习公式为了运算简便,现在看这样两道题.

例:运用平方差公式计算:

(1)(3x+2)(3x-2)

(2)(2a+5b2) (2a-5b2)

师:这两个题目条件是否符合平方差公式特征,你能说出本题中a,b分别表示什么吗?(学生回答后,教师板书解题过程.)

生:(异口同声)能.

活动五:突破难点,升华认知

问题:观察下面各式能否运用平方差公式计算; 如果能运用平方差公式,两个因式中的哪个数看做公式中的a,哪个数看做公式中的b; 计算结果是什么?

(1) (4y+3x)(3x-4y)

(2) (-5m2 +3n)(5m2 +3n)

(3) (2y-3)(3-2y)

(巡视学生解题情况.)

师:哪位同学愿意把你的计算结果展示给大家.

生:(1)题能运用平方差公式,把4y和3x调换一下位置,4y相当于a,3x相当于b.

师:大家判断的很准确,真是火眼金睛啊.第(2)题呢?

生:能运用平方差公式-5m2和3n和调换位置,和调换位置,5m和3n就变成(3n-5m2 )(3n+5m2 ) =9n2 -25m4

师:有没有跟她的看法不同?

生:(-5m2+3n)(5m2+3n)=-(5m2-3n)(5m2+3n)=-[(5· m2 )2-(3n)2]

师:看来真的把这节课内容学会了,太棒了.那第(3)题该如何做呢?

生:不可以运用平方差进行计算,2y与-2y是互为相反数,与-3也是互为相反数,所以,不能用平方差公式进行计算,运用多项式乘法计算.

师:这道题只能运用多项式乘法来进行计算了.以后,我们还会用另外一个乘法公式对它进行计算.

师:有些运算式很可能不能运用平方差公式进行计算,所以给出运算式后先看符合不符合公式,然后再找公式中的a,公式中b,最后计算结果,从前面例题和练习题看,大家对公式掌握的已经很好了.下面我们小结以下本节主要内容(略).

活动六:分层作业,各有所获

必做题:1.课本 P108练习第1、2题.

2. 课本P112习题14.2第1~3题.

选做题:计算:(a+b+c)(a+b-c)

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本节课的教学内容是人教版数学八年级上册14.2.1 平方差公式,主要探究平方差公式的过程及简单应用.重、难点是理解平方差公式的结构特征,灵活应用平方差公式进行简单的计算.采用“问题情景—探究交流—得出结论—强化训练”的模式展开教学.利用多媒体教学手段,增加教学过程的趣味性,强调学生的动手操作和主动参与,通过集体讨论、小组活动,以合作学习促进自主探究.课堂教学实录如下:

活动一:创设情境,凸显问题

师:同学们,我们刚刚学习了整式的乘法,知道了两个多项式相乘的算法,下面同学们应用你所学的知识,探究下面的问题:

问题1:用简便算法计算下面各题.

21×19=?103×97=?

问题2:同学们,你们想知道是如何计算的吗?

生:想.

师:今天我们就一起来探究简便计算这类问题的方法.(避开问题不去直接解答,意在唤起学生的好奇心,吸引其有意注意.)

活动二:类比发现,体验新知

问题1:下面请同学们观察下面的算式有什么特点?(大屏幕打出.)

(1)(m+2)(m-2)

(2)(2x+1)(2x-1)

(3)(x+5y)(x-5y)

生甲:每个因式都是两项.

生乙:都是两个数的和与差的积……

师:大家都非常善于观察,表现得很好,学习就需要这种仔细,认真的态度.(及时对学生的积极表现作出表扬,使学生保持良好的学习状态.)

问题2:同学们,试着计算一下,你还会有什么新的发现吗?(以小组为单位,进行计算,并且给一定的时间让学生一起讨论.)

一小组汇报:我们组通过计算发现(1)(2)结果是两个数平方的差.

二小组补充:(3)的结果变形后也是两个数的平方的差.

师:概括得很好!观察得很仔细,它们运算结果就是这两个数的平方的差.根据你们找出的规律,快速计算(a+b)(a-b).

生:异口同声的说:a2-b2.

师:正确,我们来证明一下.(板书验证过程.)

问题3:能不能给我们发现的规律:(a+b)(a-b)= a2-b2起一个名字呢?最后的结果是这两个数的平方差,就叫它“平方差公式”怎么样?

生齐答:好.

师:这个内容就是我们今天要研究的内容.(板书课题:平方差公式,使学生体验获取知识后的成功与喜悦,进而激发学生的学习兴趣.)

活动三:追根溯源,巩固认知

师:你能计算出图1与图2的面积和吗?有哪几种方法?

生:(通过观察)我是这样计算的,图2和图3的面积相等,所以,图1与图2的面积和就是图形1与图3的面积和,而图1与图3是一个长方形,一边是(a+b),另一边是(a-b),所以面积是(a+b)(a-b).

师:很好!还有没有其他方法?

生:图1与图2的面积和其实就是大的正方形面积减去小的正方形的面积,而大的正方形的边长为a,小的正方形的边长为b,所以面积为a2-b2.

师:很好!还有没有其他方法?

生:我先计算图1的面积,图1是一个长方形,长为a,宽为(a-b),面积为a(a-b),而图2的面积是b(a-b),所以,图1与图2的面积和为 (a+b)(a-b).

师:非常好!大家想出了很多种计算方法,无论哪种方法其结果都是(a+b)(a-b)和a2-b2.所以,(a+b)(a-b)= a2-b2.

这样我们又从几何角度验证了平方差公式.

活动四:规律应用,提升认知

师:学习公式为了运算简便,现在看这样两道题.

例:运用平方差公式计算:

(1)(3x+2)(3x-2)

(2)(2a+5b2) (2a-5b2)

师:这两个题目条件是否符合平方差公式特征,你能说出本题中a,b分别表示什么吗?(学生回答后,教师板书解题过程.)

生:(异口同声)能.

活动五:突破难点,升华认知

问题:观察下面各式能否运用平方差公式计算; 如果能运用平方差公式,两个因式中的哪个数看做公式中的a,哪个数看做公式中的b; 计算结果是什么?

(1) (4y+3x)(3x-4y)

(2) (-5m2 +3n)(5m2 +3n)

(3) (2y-3)(3-2y)

(巡视学生解题情况.)

师:哪位同学愿意把你的计算结果展示给大家.

生:(1)题能运用平方差公式,把4y和3x调换一下位置,4y相当于a,3x相当于b.

师:大家判断的很准确,真是火眼金睛啊.第(2)题呢?

生:能运用平方差公式-5m2和3n和调换位置,和调换位置,5m和3n就变成(3n-5m2 )(3n+5m2 ) =9n2 -25m4

师:有没有跟她的看法不同?

生:(-5m2+3n)(5m2+3n)=-(5m2-3n)(5m2+3n)=-[(5· m2 )2-(3n)2]

师:看来真的把这节课内容学会了,太棒了.那第(3)题该如何做呢?

生:不可以运用平方差进行计算,2y与-2y是互为相反数,与-3也是互为相反数,所以,不能用平方差公式进行计算,运用多项式乘法计算.

师:这道题只能运用多项式乘法来进行计算了.以后,我们还会用另外一个乘法公式对它进行计算.

师:有些运算式很可能不能运用平方差公式进行计算,所以给出运算式后先看符合不符合公式,然后再找公式中的a,公式中b,最后计算结果,从前面例题和练习题看,大家对公式掌握的已经很好了.下面我们小结以下本节主要内容(略).

活动六:分层作业,各有所获

必做题:1.课本 P108练习第1、2题.

2. 课本P112习题14.2第1~3题.

选做题:计算:(a+b+c)(a+b-c)

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