在数学教学中培养逆向思维能力助力学生成才

林彩金

摘 要：逆向思维能力是中学数学的重要解题能力之一。教师要从概念教学中的逆向思维能力的训练、解题教学中的逆向思维能力的训练这两个方面探讨逆向思维能力的培养。

关键词：逆向思维；能力培养；互逆运算

思维是人脑对客观事物的本质和规律的概括的和间接的反映过程。根据思维过程的指向性，可将思维分为常规思维（正向思维）和逆向思维两种方式。逆向思维是一种启发智力的方式，它有悖于通常人们的习惯，而正是这一特点，使得许多靠正常思维不能或难于解决的问题迎刃而解。一些正常思维虽能解决的问题，在它的参与下，过程可以大大简化，效率可以成倍提高。正思与反思就像分析的一对翅膀，不可或缺。习惯于正向思维的人一旦得到了逆向思维的帮助，就像战争的的统帅得到了一支奇兵！因此，教师在教学中要有意识地引导和培养学生的逆向思维意识和习惯，以助力学生成才。

一、概念教学中的逆向思维能力的训练

数学概念是推理论证和运算的基础，准确地理解概念是学好数学的前提。

（1）定义教学中的逆向思维能力的训练。作为定义的数学命题，其逆命题总是成立的，当学习一个新概念时，如果能让学生学从正逆两个方面去理解、运用定义，这不仅会加深概念的理解，而且能培养学生双向考虑问题的良好习惯。

例1 已知a、b是两个不相等且均大于1的整数，下列两个二次方程有一公共根：（a-1）x2-（a2+3）x+（a2+3a）=0，（b-1）x2-

（b2+3）x+（b2+3b）=0。试求a、b的值。

分析：直接利用方程根的定义，难于解决。设x0是上述两个方程的公共根，易知x0≠1（事实上若x0=1，即有a=b），将x0代入已知的两个方程，并分别改写为关于a、b的方程：（1-x0）a2+（x02+3）a-（x02+3x0）=0，（1-x0）b2+（x02+3）b-（x02+3x0）=0。从而可知a、b是方程（1-x0）y2+（x02+3）y-（x02+3x0）=0的两个相异的正整数根。

由韦达定理得a+b= ，ab= =3+ ，∴ab=3+a+

b。若a>b>1，则a≥3故b=1+ + <3，由此易求得a=5，b=2。同理若b>a>1，则有a=2，b=5。∴a=5，b=2或a=2，b=5。

（2）公式教学中的逆向思维能力的训练。学习数学离不开掌握计算公式，公式的使用是学习掌握公式过程的一个重要环节，是加深理解和巩固的阶段。公式的使用应该包括公式的正向使用、逆向使用以及变形使用，而学生往往习惯于正向使用，忽视了公式的逆向应用，如果能灵活地逆用公式，往往能起到化繁为简的效果。

例2 解方程 = 。

分析：由 联想到公式tan（？琢-？茁）= 及由 联想到公式tan2？琢= 的逆用，从而可设x=tan？琢，则方程可化为 = ，逆向应用公式可得tan（？琢-60°）=cot2？琢=tan（90°- 2？琢）。

下略，最后易得方程的解x=tan50°或tan110°或tan170°

由此可见，公式的逆用可以使公式处于动感状态。重视这一方面的训练，能使学生的思维更加活跃，不仅使学生达到深刻理解和灵活运用的目的，而且在知识的浅层深挖、渗透数学思维和培养能力等方面都是很重要的。

（3）法则教学中的逆向思维能力的训练。在解计算题或证明题时，经常需要数或式的变形后逆用运算法则计算问题，如分裂项变形、加减项变形、乘除项变形等。

例3 化简： + 。

解：∵ 1+2 + =（1+ ）+（ + ）， +2 +3=（ + ）（ +3），逆用公式加减法的运算法则 = ± ，易得原式=1。

（4）定理教学中逆向思维能力的训练。中学数学中有许多定理有它的逆定理，如勾股定理、三垂线定理等，在教学过程中除了强调原定理的重要性外，还应重视对它的逆定理的应用。

例4 已知a、b、c均为正实数，并且a2+b2=c2。证明：an+bn

分析：由条件a2+b2=c2的特征易联想到用勾股定理的逆定理。

解：可设a、b、c为一个△ABC的三边长，那么这个三角形为Rt△，并设sinA= ，cosA= 。

∵当n≥3时，sinnA

二、解题教学中的逆向思维能力的训练

（1）通过互逆运算，训练逆向思维。在中学数学中，每一种运算都有一个与之相反的运算为可逆运算。如加法与减法、乘法与除法、乘方与开方、指数与对数、幂与根式、三角与反三角、因式分解与整式乘法等，由于学生可逆思维能力相对较弱，对逆运算认识较缓慢、迟钝，所以在教学中要重视逆运算的引入和训练，用正运算的思维帮助学生建立逆运算的思维，从而逐渐使学生掌握逆运算。

例5 已知f（x8）=log3x，那么f（27）等于（ ）。

A.3， B. ， C.± ， D. 。

分析：令x8=27，根据乘方与开方互逆运算，有X= （∵X>0），故f（27）=log3 = ， 故选B。

（2）分析法。分析法是从求证出发追索到已知，或者说从未知到已知，这种思考方法叫作分析法。这种方法在证明题中用得较多，是逆向思维在数学解题中的具体运用。

例6 设a>0，b>0，a≠b，证明： > 。

分析：为了证明 > 成立，只要证明下面不等式成立：a+b>2 。由于a>0，b>0，即要证（a+b）2>4ab成立，展开这个不等式左边，即得a2+2ab+b2>4ab，两边减去4ab，得a2-2ab+b2>0，左边写成（a-b）2，得（a-b）2>0成立。由此倒推，即可证明 > 成立。

（3）反证法。反证法是通过确定与论题相矛盾的反论题的虚假，根据排中律，由假推真，来证明证题的真实性的一种论证方法。某些数学题，当我们从正面证明发生困难时，可用反证法来证明。

例7 求证： 不是有理数。

证明：假设 是有理数，那么可设 = （m、n为互质的正整数），两边平方从而可得2m2=n2，n2为偶数。由于奇数的平方仍然是奇数，所以n也是偶数。令n=2k（K∈N*），则2m2=4k2，所以m2=2k2，同理m也是偶数，这与题设m、n互质矛盾，所以 不是有理数。

综上所述，教师在数学教学中要根据问题的特点，在应用常规数学思维的同时注意逆向思维的应用，往往能使很多问题运算简化，对培养学生的数学思维，特别是培养学生思维的敏捷性，提高学生的解题能力和创新能力更有重要的意义。只要教师运用好了，就一定能助力学生成才。

参考文献：

[1]田万海.数学教育学[M].杭州：浙江教育出版社，1993.

[2]庄秀山.在数学教学中应注意逆向思维的培养[J].福建中学数

学，2003（11）.

（福建省莆田市涵江区青璜中学）

摘 要：逆向思维能力是中学数学的重要解题能力之一。教师要从概念教学中的逆向思维能力的训练、解题教学中的逆向思维能力的训练这两个方面探讨逆向思维能力的培养。

关键词：逆向思维；能力培养；互逆运算

思维是人脑对客观事物的本质和规律的概括的和间接的反映过程。根据思维过程的指向性，可将思维分为常规思维（正向思维）和逆向思维两种方式。逆向思维是一种启发智力的方式，它有悖于通常人们的习惯，而正是这一特点，使得许多靠正常思维不能或难于解决的问题迎刃而解。一些正常思维虽能解决的问题，在它的参与下，过程可以大大简化，效率可以成倍提高。正思与反思就像分析的一对翅膀，不可或缺。习惯于正向思维的人一旦得到了逆向思维的帮助，就像战争的的统帅得到了一支奇兵！因此，教师在教学中要有意识地引导和培养学生的逆向思维意识和习惯，以助力学生成才。

一、概念教学中的逆向思维能力的训练

数学概念是推理论证和运算的基础，准确地理解概念是学好数学的前提。

（1）定义教学中的逆向思维能力的训练。作为定义的数学命题，其逆命题总是成立的，当学习一个新概念时，如果能让学生学从正逆两个方面去理解、运用定义，这不仅会加深概念的理解，而且能培养学生双向考虑问题的良好习惯。

例1 已知a、b是两个不相等且均大于1的整数，下列两个二次方程有一公共根：（a-1）x2-（a2+3）x+（a2+3a）=0，（b-1）x2-

（b2+3）x+（b2+3b）=0。试求a、b的值。

分析：直接利用方程根的定义，难于解决。设x0是上述两个方程的公共根，易知x0≠1（事实上若x0=1，即有a=b），将x0代入已知的两个方程，并分别改写为关于a、b的方程：（1-x0）a2+（x02+3）a-（x02+3x0）=0，（1-x0）b2+（x02+3）b-（x02+3x0）=0。从而可知a、b是方程（1-x0）y2+（x02+3）y-（x02+3x0）=0的两个相异的正整数根。

由韦达定理得a+b= ，ab= =3+ ，∴ab=3+a+

b。若a>b>1，则a≥3故b=1+ + <3，由此易求得a=5，b=2。同理若b>a>1，则有a=2，b=5。∴a=5，b=2或a=2，b=5。

（2）公式教学中的逆向思维能力的训练。学习数学离不开掌握计算公式，公式的使用是学习掌握公式过程的一个重要环节，是加深理解和巩固的阶段。公式的使用应该包括公式的正向使用、逆向使用以及变形使用，而学生往往习惯于正向使用，忽视了公式的逆向应用，如果能灵活地逆用公式，往往能起到化繁为简的效果。

例2 解方程 = 。

分析：由 联想到公式tan（？琢-？茁）= 及由 联想到公式tan2？琢= 的逆用，从而可设x=tan？琢，则方程可化为 = ，逆向应用公式可得tan（？琢-60°）=cot2？琢=tan（90°- 2？琢）。

下略，最后易得方程的解x=tan50°或tan110°或tan170°

由此可见，公式的逆用可以使公式处于动感状态。重视这一方面的训练，能使学生的思维更加活跃，不仅使学生达到深刻理解和灵活运用的目的，而且在知识的浅层深挖、渗透数学思维和培养能力等方面都是很重要的。

（3）法则教学中的逆向思维能力的训练。在解计算题或证明题时，经常需要数或式的变形后逆用运算法则计算问题，如分裂项变形、加减项变形、乘除项变形等。

例3 化简： + 。

解：∵ 1+2 + =（1+ ）+（ + ）， +2 +3=（ + ）（ +3），逆用公式加减法的运算法则 = ± ，易得原式=1。

（4）定理教学中逆向思维能力的训练。中学数学中有许多定理有它的逆定理，如勾股定理、三垂线定理等，在教学过程中除了强调原定理的重要性外，还应重视对它的逆定理的应用。

例4 已知a、b、c均为正实数，并且a2+b2=c2。证明：an+bn

分析：由条件a2+b2=c2的特征易联想到用勾股定理的逆定理。

解：可设a、b、c为一个△ABC的三边长，那么这个三角形为Rt△，并设sinA= ，cosA= 。

∵当n≥3时，sinnA

二、解题教学中的逆向思维能力的训练

（1）通过互逆运算，训练逆向思维。在中学数学中，每一种运算都有一个与之相反的运算为可逆运算。如加法与减法、乘法与除法、乘方与开方、指数与对数、幂与根式、三角与反三角、因式分解与整式乘法等，由于学生可逆思维能力相对较弱，对逆运算认识较缓慢、迟钝，所以在教学中要重视逆运算的引入和训练，用正运算的思维帮助学生建立逆运算的思维，从而逐渐使学生掌握逆运算。

例5 已知f（x8）=log3x，那么f（27）等于（ ）。

A.3， B. ， C.± ， D. 。

分析：令x8=27，根据乘方与开方互逆运算，有X= （∵X>0），故f（27）=log3 = ， 故选B。

（2）分析法。分析法是从求证出发追索到已知，或者说从未知到已知，这种思考方法叫作分析法。这种方法在证明题中用得较多，是逆向思维在数学解题中的具体运用。

例6 设a>0，b>0，a≠b，证明： > 。

分析：为了证明 > 成立，只要证明下面不等式成立：a+b>2 。由于a>0，b>0，即要证（a+b）2>4ab成立，展开这个不等式左边，即得a2+2ab+b2>4ab，两边减去4ab，得a2-2ab+b2>0，左边写成（a-b）2，得（a-b）2>0成立。由此倒推，即可证明 > 成立。

（3）反证法。反证法是通过确定与论题相矛盾的反论题的虚假，根据排中律，由假推真，来证明证题的真实性的一种论证方法。某些数学题，当我们从正面证明发生困难时，可用反证法来证明。

例7 求证： 不是有理数。

证明：假设 是有理数，那么可设 = （m、n为互质的正整数），两边平方从而可得2m2=n2，n2为偶数。由于奇数的平方仍然是奇数，所以n也是偶数。令n=2k（K∈N*），则2m2=4k2，所以m2=2k2，同理m也是偶数，这与题设m、n互质矛盾，所以 不是有理数。

综上所述，教师在数学教学中要根据问题的特点，在应用常规数学思维的同时注意逆向思维的应用，往往能使很多问题运算简化，对培养学生的数学思维，特别是培养学生思维的敏捷性，提高学生的解题能力和创新能力更有重要的意义。只要教师运用好了，就一定能助力学生成才。

参考文献：

[1]田万海.数学教育学[M].杭州：浙江教育出版社，1993.

[2]庄秀山.在数学教学中应注意逆向思维的培养[J].福建中学数

学，2003（11）.

（福建省莆田市涵江区青璜中学）

摘 要：逆向思维能力是中学数学的重要解题能力之一。教师要从概念教学中的逆向思维能力的训练、解题教学中的逆向思维能力的训练这两个方面探讨逆向思维能力的培养。

关键词：逆向思维；能力培养；互逆运算

思维是人脑对客观事物的本质和规律的概括的和间接的反映过程。根据思维过程的指向性，可将思维分为常规思维（正向思维）和逆向思维两种方式。逆向思维是一种启发智力的方式，它有悖于通常人们的习惯，而正是这一特点，使得许多靠正常思维不能或难于解决的问题迎刃而解。一些正常思维虽能解决的问题，在它的参与下，过程可以大大简化，效率可以成倍提高。正思与反思就像分析的一对翅膀，不可或缺。习惯于正向思维的人一旦得到了逆向思维的帮助，就像战争的的统帅得到了一支奇兵！因此，教师在教学中要有意识地引导和培养学生的逆向思维意识和习惯，以助力学生成才。

一、概念教学中的逆向思维能力的训练

数学概念是推理论证和运算的基础，准确地理解概念是学好数学的前提。

（1）定义教学中的逆向思维能力的训练。作为定义的数学命题，其逆命题总是成立的，当学习一个新概念时，如果能让学生学从正逆两个方面去理解、运用定义，这不仅会加深概念的理解，而且能培养学生双向考虑问题的良好习惯。

例1 已知a、b是两个不相等且均大于1的整数，下列两个二次方程有一公共根：（a-1）x2-（a2+3）x+（a2+3a）=0，（b-1）x2-

（b2+3）x+（b2+3b）=0。试求a、b的值。

分析：直接利用方程根的定义，难于解决。设x0是上述两个方程的公共根，易知x0≠1（事实上若x0=1，即有a=b），将x0代入已知的两个方程，并分别改写为关于a、b的方程：（1-x0）a2+（x02+3）a-（x02+3x0）=0，（1-x0）b2+（x02+3）b-（x02+3x0）=0。从而可知a、b是方程（1-x0）y2+（x02+3）y-（x02+3x0）=0的两个相异的正整数根。

由韦达定理得a+b= ，ab= =3+ ，∴ab=3+a+

b。若a>b>1，则a≥3故b=1+ + <3，由此易求得a=5，b=2。同理若b>a>1，则有a=2，b=5。∴a=5，b=2或a=2，b=5。

（2）公式教学中的逆向思维能力的训练。学习数学离不开掌握计算公式，公式的使用是学习掌握公式过程的一个重要环节，是加深理解和巩固的阶段。公式的使用应该包括公式的正向使用、逆向使用以及变形使用，而学生往往习惯于正向使用，忽视了公式的逆向应用，如果能灵活地逆用公式，往往能起到化繁为简的效果。

例2 解方程 = 。

分析：由 联想到公式tan（？琢-？茁）= 及由 联想到公式tan2？琢= 的逆用，从而可设x=tan？琢，则方程可化为 = ，逆向应用公式可得tan（？琢-60°）=cot2？琢=tan（90°- 2？琢）。

下略，最后易得方程的解x=tan50°或tan110°或tan170°

由此可见，公式的逆用可以使公式处于动感状态。重视这一方面的训练，能使学生的思维更加活跃，不仅使学生达到深刻理解和灵活运用的目的，而且在知识的浅层深挖、渗透数学思维和培养能力等方面都是很重要的。

（3）法则教学中的逆向思维能力的训练。在解计算题或证明题时，经常需要数或式的变形后逆用运算法则计算问题，如分裂项变形、加减项变形、乘除项变形等。

例3 化简： + 。

解：∵ 1+2 + =（1+ ）+（ + ）， +2 +3=（ + ）（ +3），逆用公式加减法的运算法则 = ± ，易得原式=1。

（4）定理教学中逆向思维能力的训练。中学数学中有许多定理有它的逆定理，如勾股定理、三垂线定理等，在教学过程中除了强调原定理的重要性外，还应重视对它的逆定理的应用。

例4 已知a、b、c均为正实数，并且a2+b2=c2。证明：an+bn

分析：由条件a2+b2=c2的特征易联想到用勾股定理的逆定理。

解：可设a、b、c为一个△ABC的三边长，那么这个三角形为Rt△，并设sinA= ，cosA= 。

∵当n≥3时，sinnA

二、解题教学中的逆向思维能力的训练

（1）通过互逆运算，训练逆向思维。在中学数学中，每一种运算都有一个与之相反的运算为可逆运算。如加法与减法、乘法与除法、乘方与开方、指数与对数、幂与根式、三角与反三角、因式分解与整式乘法等，由于学生可逆思维能力相对较弱，对逆运算认识较缓慢、迟钝，所以在教学中要重视逆运算的引入和训练，用正运算的思维帮助学生建立逆运算的思维，从而逐渐使学生掌握逆运算。

例5 已知f（x8）=log3x，那么f（27）等于（ ）。

A.3， B. ， C.± ， D. 。

分析：令x8=27，根据乘方与开方互逆运算，有X= （∵X>0），故f（27）=log3 = ， 故选B。

（2）分析法。分析法是从求证出发追索到已知，或者说从未知到已知，这种思考方法叫作分析法。这种方法在证明题中用得较多，是逆向思维在数学解题中的具体运用。

例6 设a>0，b>0，a≠b，证明： > 。

分析：为了证明 > 成立，只要证明下面不等式成立：a+b>2 。由于a>0，b>0，即要证（a+b）2>4ab成立，展开这个不等式左边，即得a2+2ab+b2>4ab，两边减去4ab，得a2-2ab+b2>0，左边写成（a-b）2，得（a-b）2>0成立。由此倒推，即可证明 > 成立。

（3）反证法。反证法是通过确定与论题相矛盾的反论题的虚假，根据排中律，由假推真，来证明证题的真实性的一种论证方法。某些数学题，当我们从正面证明发生困难时，可用反证法来证明。

例7 求证： 不是有理数。

证明：假设 是有理数，那么可设 = （m、n为互质的正整数），两边平方从而可得2m2=n2，n2为偶数。由于奇数的平方仍然是奇数，所以n也是偶数。令n=2k（K∈N*），则2m2=4k2，所以m2=2k2，同理m也是偶数，这与题设m、n互质矛盾，所以 不是有理数。

综上所述，教师在数学教学中要根据问题的特点，在应用常规数学思维的同时注意逆向思维的应用，往往能使很多问题运算简化，对培养学生的数学思维，特别是培养学生思维的敏捷性，提高学生的解题能力和创新能力更有重要的意义。只要教师运用好了，就一定能助力学生成才。

参考文献：

[1]田万海.数学教育学[M].杭州：浙江教育出版社，1993.

[2]庄秀山.在数学教学中应注意逆向思维的培养[J].福建中学数

学，2003（11）.

（福建省莆田市涵江区青璜中学）