实验探究一道中考平面几何题的题源

安徽省歙县中学 (邮编：245200)

1 问题展示

问题如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是边BC上一动点，过P作PM∥AB交AF于点M，作PN∥CD交DE于点N，

(1)①∠MPN=________°；

②求证：PM+PN=3a；

(2)如图2，点O为线段AD的中点，连接OM、ON，求证：OM=ON；

(3)如图3，点O为线段AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊的四边形，并说明理由．

这是2014年安徽省初中毕业学业考试数学试题．其中“PM+PN=3a”的题源是非常明显的：将正六边形还原成为正三角形，就可发现“PM+PN为定值(边长)”就是等腰三角形的性质：过等腰△ABC底边BC上任意一点P作两腰的平行线，与两腰分别相交于M、N两点，则PM+PN为定值(腰长)．

在各类中考试题中，还经常用到下列题源：

(ⅰ)若点P在等腰△ABC底边BC两端的延长线上，则|PM-PN|为定值(腰长)；

(ⅱ)等腰△ABC底边BC所在直线上任意一点P到两腰的距离之和(或差)为定值(腰上的高)．

为了方便后续探究，下面仅给出一种证明方法：如图4，连接BE交PM于H点，在正六边形ABCDEF中，PN∥CD,又BE∥CD∥AF，所以BE∥PN∥AF.

又PM∥AB，所以四边形AMHB、四边形HENP均为平行四边形，△BPH为等边三角形.

故PM+PN=MH+HP+PN=AB+BH+HE=AB+BE=3a.

事实上，原中考题(2)是(3)(判断四边形OMGN是否为菱形)的一个步骤，因此，下面重点实验探究问题(3)的真正源头在哪里？

2 实验探究△PMN“心” 的性质

在《几何画板》中，通过实验容易发现△PMN的下列“心”的性质：

性质1△PMN的外心为定点(正六边形的中心O),且∠MON=120°.

证明如图2，由于正六边形ABCDEF的边AB、CD的中垂线交点就是该正六边形的中心O，又由于等腰梯形上下两底的中垂线重合，所以PM、PN的中垂线的交点也是O点，即△PMN的外心为O点．

由于∠MPN=60°，由(1)可知∠MON=2∠MPN=120°(同弧所对的圆心角是圆周角的两倍)；

原考题第(2)小题正是这条性质．

性质2△PMN的重心G1始终在定直线AD上(如图5).

由三角形相似知识可得G2G3=

故G1与G2重合且在AD上.

性质3△PMN的垂心始终在定直线AD上.

证明由于任意三角形的外心、重心、垂心共线(即所谓的欧拉线)，所以△PMN的垂心一定在直线AD上．

性质4△PMN的内心在某定二次函数上移动(如图6).

(由于证明过程会用到高中知识，限于篇幅，这里仅给出实验结果图)

3 实验探究△OMN“心” 的性质

同上，通过数学实验容易发现△OMN的下列“心”性质(如图7)：

性质1△OMN的外心的轨迹就是线段EF.

性质2△OMN的垂心H的轨迹就是线段BC.

性质3△OMN的重心G1始终在平行于AD的定直线上.

性质4△OMN的内心I始终在平行于AD的定直线上.

性质5△OMN的外心、内心、重心、垂心在过O点的同一直线上.

先证性质1在图7中，设MN的中垂线与EF相交于点G．则只要证GM=GN=GO；由于OG垂直平分

则只要证：OM=OG；

连接OE、OF，由∠AOF=∠MOG=60°可得∠AOM=∠FOG，因此△AOM≅△FOG(ASA)，所以OM=OG．

从上述证明可得，若OG平分∠MON，则四边形OMGN为菱形．

这正是原中考试题的第(3)小题所要证明的结论．

再证性质2在图7中，设MN的中垂线与BC边相交于点H．连接HM、HN，要证H为△MON的垂心，只要证：△HMN为正三角形．

因为OP=OM=ON=OG(已证)，又由正六边形的对称性可得OH=OG，

所以P、M、G、N、H五点都在以O为圆心的圆上．

又因∠MPN=60°,故∠MHN=60°，

又HM=HN，故△HMN为正三角形．

性质3、4的证明与△PMN“心”的性质2的证明类似，限于篇幅，具体过程这里略去．

证明性质5因为△MON为等腰三角形，所以其“四心”都在顶角MON的平分线上，即在过O点的同一直线上．

4 关于原考题(3)“源”的探究

将考题(3)的图形简化成等腰梯形，就变成“判断等腰梯形内接菱形”的问题：

题源探究1如图8，等腰梯形ABCD的底角∠A=60°，AB为其外接圆的直径，若AM=CN，O为AB的中点，OG平分∠MON，则四边形OMGN为菱形．

简证连接OC、OD．易推△OAM≅△OCN,则∠MON=∠AOC=120°，又∠MOG=∠AOD=60°，则∠MOA=∠GOD,于是△MOA≅△GOD，故OM=OG，从而△MOG为正三角形，故四边形OMGN为菱形．

由此可见，上述等腰梯形的内接菱形OMGN有无穷多个，且“AM=CN，O为AB的中点”是它的一个充分条件．我们自然要问，这个条件是“四边形OMGN为菱形”的充要条件吗？

题源探究2如图9，等腰梯形ABCD的底角∠A=60°，AB为其外接圆的直径，若四边形OMGN为菱形，求证：(1)AM=CN；(2)O为AB的中点．

简证(1)过点M作BC的平行线，交AB于I点，则MA=MI．又OMGN,OI∥GC，可得△OMI≅△GNC，故CN=MI=AM；

(2)假设O不是AB的中点，取AB的中点O′，由(1)得AM=CN，则四边形O′MG′N为菱形，故MN有两条中垂线OG、O′G′，此为矛盾．所以O为AB的中点．

综上所述，“AM=CN，O为AB的中点”是“四边形OMGN为菱形”的充要条件．

至此，我们还会有疑问，在什么样的等腰梯形中，上述充要条件还成立吗？

题源探究3如图10，等腰梯形ABCD中，AM=CN，O为AB的中点，若四边形OMGN为菱形，探究等腰梯形ABCD应满足什么条件？

解过M作AB的平行线交BC于M′，取BC的中点K，易推BM′=AM=CN,OM′=OA，则KM′=KN,OM′=ON，故OK垂直平分BC，于是OB=OC，即AB为等腰梯形ABCD外接圆的直径．

于是得到：等腰梯形ABCD中，AB为其外接圆的直径，OG平分∠MON，则“四边形OMGN为菱形”的充要条件为“AM=CN，O为AB的中点”.

证明过程与上述探究雷同，这里略去(也可参考后面更一般的情形)．

可见，原中考题(3)是∠A=60°的特殊情形．

但是，我们又有新的疑问，在一般等腰梯形中，“四边形OMGN为菱形”的充要条件是什么？

题源探究4如图11，等腰梯形ABCD中，AM=CN，MN的中垂线与两底分别相交于E、F，求证：(1)四边形EMFN为菱形；(2)直线EF过定点(等腰梯形ABCD外接圆的圆心O．)

证明(1)过M作BC的平行线交AB于G，连CG，则MA=MGCN，即平行四边形CNGM．则CG经过MN的中点H，故H为CG的中点，于是H为EF的中点，即MN垂直平分EF,从而四边形EMFN为菱形；

(2)在图11中，连OA、OB、OC、OD、OM、ON，因AD=BC,故∠AOD=∠BOC,故∠MAO=∠NOC,易推△MAO≅△NOC．

故OM=ON,即点O在MN的中垂线上，即直线EF过定点O．

反过来：如图11，若等腰梯形ABCD有内接菱形EMFN，求证：(1)AM=CN；(2)直线EF过定点(等腰梯形ABCD外接圆的圆心O)．

证明(1)连CH并延长与AB相交于G点，连MG，

因为H为MN的中点，所以H为CG的中点，易推MGCN且MG=MA，故AM=CN；

(2)因为AM=CN，由前面证明结论可知，直线EF过定点O．

可见“AM=CN”是“四边形MFNG为菱形”的充要条件，且内接菱形作法是：①在腰AD、BC上分别取M、N，使得AM=CN；②作MN的中垂线．

原中考问题(3)是上述结论的非常特殊的情形．

4 一般梯形内接菱形的充要条件是什么？

同上，我们利用数学实验可以得到下列结论：

证明过C、N作AD的平行线，分别交AB于K、G,连DG．

则DMNG，得平行四边形DMGN，

故DG过MN的中点H，易推H也为EF的中点，即MN是EF的中垂线，

故四边形MFNE为菱形

证明延长DH与AB交于G,作CK∥AD交AB于K．

因H为EF的中点，故H为DG的中点,又因H为MN的中点，得平行四边形DMGN.

所以DMNG，故于是可得

这样，我们实验探究得到了原中考问题(3)的最原始的源头！