浅谈数学教学中的数学思想

杨瑞晋

数学是集科学性、思想性、方法性和知识性于一体的一门基础性学科，其思想方法蕴藏着深刻的哲理内涵，它是数学学科的精髓，是分析和解决问题的理论基础，也是求解数学问题的一种重要思想方法。下面就诸多数学思想方法中的几种典型方法谈谈其在解题中的应用。

一、数形结合思想

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识、数形结合的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体。通过“形”往往可以解决用“数”很难解决的问题。关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：（1）要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；（2）恰当设参，合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；（3）正确确定参数的取值范围。我们以函数与图象解题为例：

注：利用函数图象不仅可以直观地讨论函数的性质，而且可以解决与函数有关的问题，如，它在解不等式、方程中的应用显然体现的是一种创新意识，同时也体会到了数学的简明性，这正如庞加莱所说的“数学的优美感，不过是问题的解答适合我们的心灵需要而产生的一种满足感”。

例2.解不等式x2-x-6>0。

分析：求一元二次不等式的解集，只要联想对应的二次函数的图象，确定抛物线的开口方向和与x轴的交点情况，便可直观地看出所求不等式的解集。我们可先联想对应的二次函数y=x2-x-6的图象（如右图），从x2-x-6=0解得：x1=-2，x2=3，知该抛物线与x轴交点坐标为（-2，3），当x取交点两侧的值时，即x<-2或x>3时，y>0，即x2-x-6>0，故可得原不等式的解集为{x|x<-2或x>3} 。

注：以“形”代算，技巧性很强，通过图形的直观显现，答案直接跃然纸上。

恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合是数学中的一种基本思维方法，要养成从数、形两个方面去思考问题的习惯，这对数学的学习是极为有益的。

二、函数与方程思想

函数思想就是利用运动与变化的观点，分析研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出来，从而达到解决问题的目的。若把表示函数关系的解析式看作方程，通过解方程的手段或对方程的研究，使問题得以解决，这便是方程思想。

在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。

三、分类讨论思想

分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的思想方法，同时也是一种重要的解题策略，就是当问题不能进行统一研究时，我们就需要对研究的对象按照某种标准进行分类，然后对每种分类研究得出每一类的结论，进而综合各种结论得到整个问题的解答。实质上分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略。进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”，下面我们以解不等式为例：

例4.解关于x的不等式：ax2-（a+1）x+1<0。

分析：这是一个含参数a的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a分类：（1）a≠0；（2）a=0，对于（2）的不等式易解；对于（1）又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与■谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。

有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在数学中占有重要的位置。

四、换元思想

换元法又称变量替换法，即根据所要求解的式子的结构特征，巧妙地设置新的变量来替代原来表达式中的某些式子或变量，对新的变量求出结果后，返回去再求出原变量的结果。换元的目的是为了化繁为简、变未知为已知，使目标更加具体明确，继而解决问题。

五、转化与化归思想

所谓转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将那些待解决或难解决的问题，通过某种转化过程，归纳为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解决。

转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法。数学中一切问题的解决都离不开转化与化归，数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化。以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现，各种变换法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段，所以说转化与化归是数学思想方法的灵魂。

数学思想方法还有种种，但数学思想方法的自觉运用往往使我们运算简捷、推理机敏，是提高学生数学能力的必由之路。然而，“授之以鱼，不如授之以渔”，方法的掌握、思想的形成才会使学生受益终身。

（作者单位 山西省孝义市职业教育中心）

编辑 韩 晓