注重多题归一 提升思维能力

王新奇

在教学中，很多教师都有这样的困惑：讲了很多题目，为什么学生碰到类似的题目还是不会做？笔者以为：如果学生只是掌握一道道“孤立”的题目，不能对一类问题形成深刻的认识，把握一类问题的本质，碰到类似的问题不会做是正常的。教师要有意识地引导学生对相关的题目进行整理归类，要从千变万化的题目中找出共性，串在一起，使多道题目在本质上变成一类题目，做到多题归一，这样才能使学生看清题目的本质，从而提升思维能力。下文是笔者的课堂实践，愿和大家分享。

一、重温基础题，揭示“基本图形”的特征

笔者分别出示三道基础题。

问题1：如图1，在矩形ABCD中，点E是线段BC上一点，∠FEG=90°。（1）求证：△BFE∽△CEG；（2）若FB=a，GC=b，BE=c，EC=d，请写出比例式，并把比例式转化为等积式。

问题2：如图2，在等边△ABC中，点E是线段BC上一点，∠FED=60°。（1）求证：△BFE∽△CED；（2）若FB=a，DC=b，BE=c，EC=d，请写出比例式子，并把比例式转化为等积式。

问题3：如图3，在等腰直角△ABC中，点E是线段BC上一点，∠FED=45°。（1）求证：△BFE∽△CED；（2）若FB=a，DC=b，BE=c，EC=d，请写出比例式子，并把比例式转化为等积式。

师：观察以上3张图形，结合3个问题的解答，你有什么发现？

生1：这3张图是类似的，如果满足BC边上的3个角相等，这两个三角形形似。

生2：总有这样一个结论：两侧的两条线段的乘积等于BC边上两条线段的乘积。

师：你们说的很对！既然这3张图是类似的，同学们能否把3张图浓缩成一张图呢？

生齐答：能！

（在学生画的“基本图形”基础上，笔者顺势揭示“基本图形”图4。）

结论：如图4，若∠B=∠FED=∠C，总有△BFE∽△CED，且a·b=c·d。

（设计意图：为了引入“基本图形”，笔者选择了3道基础题，将这3道题放到一起进行比较，学生很容易发现3张图形的特点。笔者顺势提出问题：能否把3张图浓缩成一张图呢？这个问题既立足于学生已有的知识经验，又引领学生展开进一步的探究和总结，激发了学生的求知欲，恰到好处！这种问题情境的设计，让学生既感觉到熟悉，又充满新意，学生新的知识经验悄然生成，可谓“润物无声”。）

二、再现常规题，体验“基本图形”的魅力

笔者出示两道题，让学生自主练习。

师：观察这两张图，你们看到了什么？

生1：“基本图形”。不过需要添辅助线，才能看到“基本图形”。

师：怎么添？

生1：第4题需要连接OD和OC，第5题需要连接CP。

师：很好！这两道题的“基本图形”都不完整，需要我们构造第3个角。

（设计意图：这组常规题的设置，主要是提升学生对“基本图形”的认识，已知两个角，让学生构造第3个角，让学生在寻找“基本图形”的同时，学会简单的构造基本图形，进而加深学生对“基本图形”的理解和掌握，让学生初步形成解决问题的能力。）

三、立足能力题，提升思维能力

（1）请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由。

（2）连接AB，以AB为斜边在直线AB下方作等腰直角△ABG，则点G的坐标为 。

（首先出示第1问，让学生尝试画出图8。）

师：观察图8，你们看到了什么？

生齐答：“基本图形”。

生1：过点E作EG⊥OB，得到“基本图形”。

师：很好，请大家尝试求出F点的坐标。

师：现在有两种方法，是逐个计算还是进行取舍？

生2：第1种方法：利用基本结论做，数据中出现了4次方，数据很复杂，应该舍去。（其他同学也表示同意）

师总结：第1问，图形较为复杂，我们在复杂图形中观察并构造“基本图形”，第3组对应边的比值为我们寻找到了问题的突破口。回顾解题过程，我们要做到两个“勇敢”：当一个思路导致计算过分复杂时，我们要敢于取舍；对于■的运算，我们要敢于尝试。

（出示第2问，让学生尝试画出图9，并解决问题。）

师：当图中有两个角时，我们可以构造第3个角，得到“基本图形”。现在只有1个角，怎么办呢？

（过了一会儿，一名学生举手）

生6：过点G作x轴的平行线，再过B点作BH⊥GH，得到“基本图形”。

师：思路对的，可惜思路不够自然！

生7：题目中要求点G的坐标，可以先过点G作GH⊥y轴，这样就得到了两个角，由这两个角，我们只要再构造第3个角，便得到“基本图形”。

师：这个思路怎么样啊？（教室里一片掌声。）

（设计意图：本题选自苏州工业园区2011年初三数学一模试卷，笔者围绕“基本图形”的设计对试题进行了改编，并增设了第2问。本题对学生的能力提出了很高的要求：第1问，已知两个角，构造“基本图形”；第2问，已知1个角，构造“基本图形”，角的个数在减少，问题的难度在增加，对学生解决问题的能力是一次很好的锻炼。对于学生6的思路，笔者给出了“不够自然”的评价，引发了学生的热烈讨论，学生7精彩的回答足以证明学生思维能力的提升。）■

（作者单位：江苏省苏州工业园区星湾学校）

在教学中，很多教师都有这样的困惑：讲了很多题目，为什么学生碰到类似的题目还是不会做？笔者以为：如果学生只是掌握一道道“孤立”的题目，不能对一类问题形成深刻的认识，把握一类问题的本质，碰到类似的问题不会做是正常的。教师要有意识地引导学生对相关的题目进行整理归类，要从千变万化的题目中找出共性，串在一起，使多道题目在本质上变成一类题目，做到多题归一，这样才能使学生看清题目的本质，从而提升思维能力。下文是笔者的课堂实践，愿和大家分享。

一、重温基础题，揭示“基本图形”的特征

笔者分别出示三道基础题。

问题1：如图1，在矩形ABCD中，点E是线段BC上一点，∠FEG=90°。（1）求证：△BFE∽△CEG；（2）若FB=a，GC=b，BE=c，EC=d，请写出比例式，并把比例式转化为等积式。

问题2：如图2，在等边△ABC中，点E是线段BC上一点，∠FED=60°。（1）求证：△BFE∽△CED；（2）若FB=a，DC=b，BE=c，EC=d，请写出比例式子，并把比例式转化为等积式。

问题3：如图3，在等腰直角△ABC中，点E是线段BC上一点，∠FED=45°。（1）求证：△BFE∽△CED；（2）若FB=a，DC=b，BE=c，EC=d，请写出比例式子，并把比例式转化为等积式。

师：观察以上3张图形，结合3个问题的解答，你有什么发现？

生1：这3张图是类似的，如果满足BC边上的3个角相等，这两个三角形形似。

生2：总有这样一个结论：两侧的两条线段的乘积等于BC边上两条线段的乘积。

师：你们说的很对！既然这3张图是类似的，同学们能否把3张图浓缩成一张图呢？

生齐答：能！

（在学生画的“基本图形”基础上，笔者顺势揭示“基本图形”图4。）

结论：如图4，若∠B=∠FED=∠C，总有△BFE∽△CED，且a·b=c·d。

（设计意图：为了引入“基本图形”，笔者选择了3道基础题，将这3道题放到一起进行比较，学生很容易发现3张图形的特点。笔者顺势提出问题：能否把3张图浓缩成一张图呢？这个问题既立足于学生已有的知识经验，又引领学生展开进一步的探究和总结，激发了学生的求知欲，恰到好处！这种问题情境的设计，让学生既感觉到熟悉，又充满新意，学生新的知识经验悄然生成，可谓“润物无声”。）

二、再现常规题，体验“基本图形”的魅力

笔者出示两道题，让学生自主练习。

师：观察这两张图，你们看到了什么？

生1：“基本图形”。不过需要添辅助线，才能看到“基本图形”。

师：怎么添？

生1：第4题需要连接OD和OC，第5题需要连接CP。

师：很好！这两道题的“基本图形”都不完整，需要我们构造第3个角。

（设计意图：这组常规题的设置，主要是提升学生对“基本图形”的认识，已知两个角，让学生构造第3个角，让学生在寻找“基本图形”的同时，学会简单的构造基本图形，进而加深学生对“基本图形”的理解和掌握，让学生初步形成解决问题的能力。）

三、立足能力题，提升思维能力

（1）请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由。

（2）连接AB，以AB为斜边在直线AB下方作等腰直角△ABG，则点G的坐标为 。

（首先出示第1问，让学生尝试画出图8。）

师：观察图8，你们看到了什么？

生齐答：“基本图形”。

生1：过点E作EG⊥OB，得到“基本图形”。

师：很好，请大家尝试求出F点的坐标。

师：现在有两种方法，是逐个计算还是进行取舍？

生2：第1种方法：利用基本结论做，数据中出现了4次方，数据很复杂，应该舍去。（其他同学也表示同意）

师总结：第1问，图形较为复杂，我们在复杂图形中观察并构造“基本图形”，第3组对应边的比值为我们寻找到了问题的突破口。回顾解题过程，我们要做到两个“勇敢”：当一个思路导致计算过分复杂时，我们要敢于取舍；对于■的运算，我们要敢于尝试。

（出示第2问，让学生尝试画出图9，并解决问题。）

师：当图中有两个角时，我们可以构造第3个角，得到“基本图形”。现在只有1个角，怎么办呢？

（过了一会儿，一名学生举手）

生6：过点G作x轴的平行线，再过B点作BH⊥GH，得到“基本图形”。

师：思路对的，可惜思路不够自然！

生7：题目中要求点G的坐标，可以先过点G作GH⊥y轴，这样就得到了两个角，由这两个角，我们只要再构造第3个角，便得到“基本图形”。

师：这个思路怎么样啊？（教室里一片掌声。）

（设计意图：本题选自苏州工业园区2011年初三数学一模试卷，笔者围绕“基本图形”的设计对试题进行了改编，并增设了第2问。本题对学生的能力提出了很高的要求：第1问，已知两个角，构造“基本图形”；第2问，已知1个角，构造“基本图形”，角的个数在减少，问题的难度在增加，对学生解决问题的能力是一次很好的锻炼。对于学生6的思路，笔者给出了“不够自然”的评价，引发了学生的热烈讨论，学生7精彩的回答足以证明学生思维能力的提升。）■

（作者单位：江苏省苏州工业园区星湾学校）

在教学中，很多教师都有这样的困惑：讲了很多题目，为什么学生碰到类似的题目还是不会做？笔者以为：如果学生只是掌握一道道“孤立”的题目，不能对一类问题形成深刻的认识，把握一类问题的本质，碰到类似的问题不会做是正常的。教师要有意识地引导学生对相关的题目进行整理归类，要从千变万化的题目中找出共性，串在一起，使多道题目在本质上变成一类题目，做到多题归一，这样才能使学生看清题目的本质，从而提升思维能力。下文是笔者的课堂实践，愿和大家分享。

一、重温基础题，揭示“基本图形”的特征

笔者分别出示三道基础题。

问题1：如图1，在矩形ABCD中，点E是线段BC上一点，∠FEG=90°。（1）求证：△BFE∽△CEG；（2）若FB=a，GC=b，BE=c，EC=d，请写出比例式，并把比例式转化为等积式。

问题2：如图2，在等边△ABC中，点E是线段BC上一点，∠FED=60°。（1）求证：△BFE∽△CED；（2）若FB=a，DC=b，BE=c，EC=d，请写出比例式子，并把比例式转化为等积式。

问题3：如图3，在等腰直角△ABC中，点E是线段BC上一点，∠FED=45°。（1）求证：△BFE∽△CED；（2）若FB=a，DC=b，BE=c，EC=d，请写出比例式子，并把比例式转化为等积式。

师：观察以上3张图形，结合3个问题的解答，你有什么发现？

生1：这3张图是类似的，如果满足BC边上的3个角相等，这两个三角形形似。

生2：总有这样一个结论：两侧的两条线段的乘积等于BC边上两条线段的乘积。

师：你们说的很对！既然这3张图是类似的，同学们能否把3张图浓缩成一张图呢？

生齐答：能！

（在学生画的“基本图形”基础上，笔者顺势揭示“基本图形”图4。）

结论：如图4，若∠B=∠FED=∠C，总有△BFE∽△CED，且a·b=c·d。

（设计意图：为了引入“基本图形”，笔者选择了3道基础题，将这3道题放到一起进行比较，学生很容易发现3张图形的特点。笔者顺势提出问题：能否把3张图浓缩成一张图呢？这个问题既立足于学生已有的知识经验，又引领学生展开进一步的探究和总结，激发了学生的求知欲，恰到好处！这种问题情境的设计，让学生既感觉到熟悉，又充满新意，学生新的知识经验悄然生成，可谓“润物无声”。）

二、再现常规题，体验“基本图形”的魅力

笔者出示两道题，让学生自主练习。

师：观察这两张图，你们看到了什么？

生1：“基本图形”。不过需要添辅助线，才能看到“基本图形”。

师：怎么添？

生1：第4题需要连接OD和OC，第5题需要连接CP。

师：很好！这两道题的“基本图形”都不完整，需要我们构造第3个角。

（设计意图：这组常规题的设置，主要是提升学生对“基本图形”的认识，已知两个角，让学生构造第3个角，让学生在寻找“基本图形”的同时，学会简单的构造基本图形，进而加深学生对“基本图形”的理解和掌握，让学生初步形成解决问题的能力。）

三、立足能力题，提升思维能力

（1）请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由。

（2）连接AB，以AB为斜边在直线AB下方作等腰直角△ABG，则点G的坐标为 。

（首先出示第1问，让学生尝试画出图8。）

师：观察图8，你们看到了什么？

生齐答：“基本图形”。

生1：过点E作EG⊥OB，得到“基本图形”。

师：很好，请大家尝试求出F点的坐标。

师：现在有两种方法，是逐个计算还是进行取舍？

生2：第1种方法：利用基本结论做，数据中出现了4次方，数据很复杂，应该舍去。（其他同学也表示同意）

师总结：第1问，图形较为复杂，我们在复杂图形中观察并构造“基本图形”，第3组对应边的比值为我们寻找到了问题的突破口。回顾解题过程，我们要做到两个“勇敢”：当一个思路导致计算过分复杂时，我们要敢于取舍；对于■的运算，我们要敢于尝试。

（出示第2问，让学生尝试画出图9，并解决问题。）

师：当图中有两个角时，我们可以构造第3个角，得到“基本图形”。现在只有1个角，怎么办呢？

（过了一会儿，一名学生举手）

生6：过点G作x轴的平行线，再过B点作BH⊥GH，得到“基本图形”。

师：思路对的，可惜思路不够自然！

生7：题目中要求点G的坐标，可以先过点G作GH⊥y轴，这样就得到了两个角，由这两个角，我们只要再构造第3个角，便得到“基本图形”。

师：这个思路怎么样啊？（教室里一片掌声。）

（设计意图：本题选自苏州工业园区2011年初三数学一模试卷，笔者围绕“基本图形”的设计对试题进行了改编，并增设了第2问。本题对学生的能力提出了很高的要求：第1问，已知两个角，构造“基本图形”；第2问，已知1个角，构造“基本图形”，角的个数在减少，问题的难度在增加，对学生解决问题的能力是一次很好的锻炼。对于学生6的思路，笔者给出了“不够自然”的评价，引发了学生的热烈讨论，学生7精彩的回答足以证明学生思维能力的提升。）■

（作者单位：江苏省苏州工业园区星湾学校）