十七世纪数学的认识论根源

张俊青

（长治学院 数学系，山西 长治 046011）

十七世纪的欧洲由于受文艺复兴思潮的冲击以及对外扩张和探险的影响而成为近代科学与技术的发源地。航海大发现使人们对自己生活的地球有了新的认识，同时也带来了一系列新的天文学问题。此外诸如军事、船舶制造、机械生产等方面的一些技术问题也已无法用初等数学的知识来解决，数学迫切需要融入新的血液。这种形势促使数学家关注对变量的研究，解析几何的创立标志着近代数学的序幕开启。以此为基础，通过对当时一系列实际问题的算法的抽象总结，牛顿和莱布尼兹创立了微积分。

解析几何和微积分的创立使数学突破传统常量研究范围，开始了数学发展史上由常量数学进入变量数学的一个崭新时代。从此数学进入用运动、发展和联系的观点来分析把握研究对象的时期，人们对数学的认识也提升到了一个新的高度，对后来的数学乃至科学的发展都产生了深远的影响。人们对数学的这些认识植根于当时这个时代的哲学、宗教和科学思想中，并在相互交织中逐渐演进。

1 哲学视野中的数学

由于科学和技术的巨大进步，近代西方哲学关注的中心由本体论转向认识论，以笛卡尔身心二元论哲学思想为标志，哲学家的注意力开始聚焦于认识主体与客体的关系方面，形成了经验论和唯理论两个派别。

经验论坚持人的一切认识最初都来自感觉和经验，但他们不否定理性，而是把理性当作解释和阐明经验事实的涵义，以及对由经验提供的基本前提进行逻辑推演的重要思维基础来看待。由此，培根提出了新的科学方法——归纳法，通过搜集事实，提出假说，实验验证、归纳概括，就可以在事实的基础上建立起科学理论。在数学上，经验主义者与亚里士多德一脉相承，认为数学概念与知识来自于经验，是从经验对象的性质中归纳总结出来的，数学专注于这些概念之间的区别与联系。比如，数字3的概念是对所有包含3个对象的集合的抽象，而三角形概念来自于对经验世界中所有三角形的总结[1]71-73。

与之相对的唯理论则认为，就根源和基础来看认识应是先天的、与生俱来的、依存于理性的，虽然认识中也存在感觉经验的因素，但这是后天的、是以先天理性为前提的。在这个意义上，唯理论被称为先验论，其代表人物便是笛卡尔。笛卡尔认为，感性只能提供模糊不清的东西，只有理性才能提供清楚而明白的观念，也只有通过理性才能得到真正的知识。他也不否认经验在人的认识中所处的地位，但认为来源于经验的知识是不可靠的，必须经过理性的加工。用理性标准来审视已有知识，我们所学的一切知识都可能是错误的、值得被怀疑的。解决这个问题的最好办法是用理性的思维怀疑一切，然后再用一种可靠的方法将其一一证明。这就促使其寻找一种在一切领域都可验证真理的普遍方法。数学是理性能够清楚明白地理解的，所以笛卡尔将数学的方法视为验证真理的普遍方法，并以用此方法找出的一些最根本的真理作为哲学的基础。经过分析古代已有的几何学和当时已有的代数学知识，他发现相对于抽象的希腊几何，有规则和公式约束的代数更具有作为一门普遍科学方法的潜力。他认为一切问题都可转化为数学问题、一切数学问题又可转化为代数问题。在这种思想的推动下，他确立了坐标几何学，即解析几何学的基础。从这里我们可看出，哲学观引导着人们对数学的重视和研究,也引导着人们对数学真理的确认[2]。在笛卡尔思想的影响下，绝大部分唯理论者都视数学为绝对真理，他们以数学为知识范本，以证明数学定理的方式来证明哲学的真理，并把这种演绎方法作为其哲学的基本方法。

十七世纪由于理性主义与经验主义的联手，使数学突破了柏拉图主义的传统束缚，导致许多全新的数学思想与数学成果的产生。数学一方面从天文学、物理学和技术实践中吸取灵感，创造了对数、三角，微积分等优秀成果，另一方面，数学中的理性主义精神和逻辑力量也在其它学科中发挥了重要的作用。

2 宗教视野中的数学

宗教一方面阻碍了数学的发展，但另一方面也不得不承认其在数学研究中的积极作用。近代数学不仅继承了古希腊数学的优秀成果,而且也是基督教文化孕育下的产物。基督教文化有两个最基本的共识，一是自然界有着严格的秩序，当然这个秩序是上帝设计的；二是关于人的作用，认为人的职责是利用理性和逻辑的力量去发现和论证这些秩序和规律。由此，数学的传统精神与基督教教义不谋而合，以欧几里得《几何原本》为代表的数学因其确定性和严谨性而受到了宗教信徒的推崇，并作为秩序和理性的典范而被基督教思想所接纳。在他们看来，数学被上帝作为设计自然的方式是上帝意志的集中体现,宗教活动的一个重要内容就是以虔诚的心去探求自然界的数学法则。十七世纪数学的发展在很大程度上受益于宗教观念的转变，这种转变一方面更加强化了数学在人类知识中的地位和作用，另一方面也促使人们为满足强烈的宗教动机而去研究数学，从而为数学研究提供了不竭的精神动力。数学家们以研究上帝的秘密和上帝安排宇宙的方案为动机，积极投身于探索大自然的数学规律中，开普勒、伽利略、笛卡儿、惠更斯、牛顿等近代科学和数学理论的开拓着们，都将数学研究看作是展示上帝智慧的方式，视其为神圣的宗教使命。在科学研究中他们不断地验证了天体和地面物体的运动可以用数学定律得到很好的解释，从而反过来使他们更加确信上帝用数学方式创造了自然界。

十七世纪的科学家大部分都是宗教信仰者，牛顿是其中最具影响力的代表，也是当时最著名的物理学家和数学家。他将他的理论命名为《自然哲学的数学原理》，表明他的研究强调定量的数学描述而不是物理学解释[3]45-47。在他的天体力学体系中，万有引力是核心概念，而这个概念说明两个物体不管相距多远都具有相互的吸引力，这是完全超越人们经验的，更不用说用物理学术语去解释了。

基督教精神中的数学情怀说到底只是一种信仰，不可能是事实，但在那个宗教占统治地位的时代，这种信仰却使研究者把寻求自然界的数学规律作为一个宗教信徒的神圣使命而不懈追求。更为有趣的是，数学本来是作为理性与秩序的典范而被基督教所垂青，其严谨的逻辑推理方式还被用来编写庞大的教义体系，但另一个意想不到的结果却是数学从此走上了经验主义的研究道路。伽利略等人认为创世主已在他创造自然时将数学规律蕴含其中，所以人类必须通过研究现象世界、以对自然的经验或实验来达到对数学的理解，数学研究就与物理世界、实践活动相互结合。这种观点不仅使古代数学知识走上复兴之路，而且将数学研究引向经验主义的方向，并由伽利略发展出不同于传统的现象描述和经验总结的数学实验法，为数学在十七、十八世纪的绽放奠定了基础[4]。

没有古希腊数学就没有近现代数学，这一点谁也不会怀疑，但基督教精神的滋养与哺育也是近代数学思想的重要源泉，由此而兴起的通过数学与科学实验方法相结合去探求自然法则的思想,使数学在十八世纪大放异彩。

3 科学视野中的数学

数学在基督教文化中获得了至高无上的地位，人们将数学研究作为虔诚的宗教活动，这更多地体现在观念上，是隐性的。在实际情况中，当这种数学成果被揭示得越来越多的时候，人们往往会不自觉地形成一种认识，认为研究数学的目的就是解决物理或自然界的问题，数学只是解决这些问题的工具。工具论的思想在十八世纪的法国盛行，这时的数学被认为是解决自然科学问题的工具，它只有在解决实际问题时才是有用的，因此被归于自然科学的一个门类[5]。事实上，十七世纪的数学虽然在物理、天文学研究中被作为理论取舍的标准，但在另一方面，数学也已经被看作是科学研究的工具，因为这个时代的数学家几乎都是科学家，这种思想在数学内部就体现在数学研究中重算法轻演绎，重结果轻推导的风气。这个时期的解析几何、微积分、代数等学科就明显地体现了数学的算法特征。

从古希腊以来，几何学一直占统治地位，一个复杂的几何难题的解决往往要靠天才的想法或绝妙的构思，并必须借助于直观的图形。笛卡尔认为，这种几何学的研究方法过于抽象，也过于死板，不利于几何学的发展。人的空间想象能力是有限的，而代数推理能力则可以走得更远一些，并且比几何方法具有更为一般的普适性。因此他在几何学中建立了坐标系，将几何图形代数化，从而将几何问题转化为代数问题来解决，由此创立了解析几何。笛卡尔哲学研究的目的是寻求自然的规律，为此必须先找到达到这个目的的统一的方法，而这个方法只有算术。笛卡尔认为，自然界任何问题都可以转化成数学问题，而数学问题总可以转化为代数计算问题，这也包括纯粹几何。笛卡尔将他的解析几何思想作为他的《方法论》的附录，体现了其主要目的就是要实现他的这一哲学论断。由于引入了代数方法，使得几何问题的证明成为可以按照固定的法则运算的算术过程，这才是解析几何真正的宗旨与目的。

微积分的创立也体现了强烈的算法特征。十七世纪的数学和物理学家专注于寻求实际问题的算法，著名的如开普勒求旋转体的体积、卡瓦列里用不可分量法求图形的面积、笛卡尔用“圆法”求曲线的切线、费马求函数的极大极小值、巴罗用“微分三角形”求曲线的切线等。这些问题在当时都被作为不同类型的问题处理，但在算法上却具有相似的地方。牛顿和莱布尼兹从这些不同的问题当中敏锐地抓住了它们在算法上的共同之处，将它们中的共性抽象出来，总结为微分和积分两种算法，并指出了二者之间互逆的运算关系。

十七世纪的代数研究主要是两个方面，即对数和方程。由于在许多领域如天文学、航海学、工程和军事技术中需要大量的数值计算，而且对计算的速度和准确性的要求也与日俱增，英国天才数学家耐皮尔在这个时候发明了对数算法。这种算法的优越性在于，它能将复杂的乘除法运算转化为较为简单的加减法运算，拉普拉斯认为这项发明因减少了运算量而大大延长了天文学家的寿命[6]233-237。在方程方面，数学家仍然关注三次及以上方程的求解，并致力于给出各种不同角度的求解公式或是一般方程的通用解法。对于较为复杂的方程，在给不出通用解或是解的形式过于复杂的情况下，数学家也从实用的角度去寻求一种求解近似解的方法。牛顿迭代法就是很典型的在实数或复数域上求方程近似解的方法，它使用方程所对应函数的泰勒级数的前几项来求方程的近似解，其最大的优点是能通过反复迭代将非线性方程的求解转化为线性方程的求解，而且在一般情况下收敛性较好，计算量较小。

总之，由于受当时将数学作为工具学科的科学观的影响，这个时期的数学研究注重数值计算和寻求通用算法，没有形成严格的理论体系。

4 结语

十七世纪的数学发展与文艺复兴后人们对数学认识的改变密切相关，不管是从哲学、宗教还是从科学的角度来看，有关观念的转变都造成当时人们对数学认识的新变化。数学一方面高高在上成为人们的宗教信仰并通过数学研究揭示上帝的秘密，另一方面也冲破了传统柏拉图主义数学观的束缚，开始将数学研究与科学研究紧密结合，并使数学成为一种解决实际问题的工具。这些观念的转变使这个时期的数学研究开辟了许多新的研究方向和领域，成为数学发展史上最富有成果的时期之一，从而也十八世纪数学的繁荣奠定了基础。

［1］斯图尔特·夏皮罗.数学哲学［M］.郝兆宽,杨睿之译.上海:复旦大学出版社,2010.71-73.

［2］李铁安,王青建.笛卡儿解析几何思想的文化内涵［J］.自然辩证法通讯,2007,(4):74-80.

［3］M·克莱因.数学:确定性的丧失［M］.李宏魁译.长沙:湖南科学技术出版社,2001.45-47.

［4］王幼军.近代数学兴起中的宗教因素［J］.上海师范大学学报(哲学社会科学版),2008,(3):23-29.

［5］杨静,程小红.17 世纪数学发展的算法倾向［J］.西北大学学报,2008,38(5):851-854.

［6］H·伊夫斯.数学史概论［M］.欧阳降译.哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2009.233-237.