多值函数教学方法探讨

辛友明

（青岛科技大学数理学院，山东 青岛 266061）

对于单值复变函数引入引入函数极限概念，进而引入连续、可导、可微、积分的概念，建立微积分理论，这种方法是很自然，容易接受的。但是对于多值复变函数，由于具有多值性，显然不可能直接将函数极限的概念，建立多值函数的微积分理论需要采取一定的方法才行。一个自然的想法是，将多值函数分解为多个单值连续函数分支，然后引入微积分理论。

在一般的教材[1-3]中是直接将分解方法直接介绍出来，然后证明该方法可以将多值函数分解为多个单值连续函数分支。教材在给出多值函数支点、支割线的定义之后，展开方法的讨论。具体的方法是：首先，求出多值函数F（z）的支点；然后做出支割线K，得到函数的单值连续区域区域 D=CK；然后，在单值区域 D 内取点 z0，规定 F（z0）=f（z0），对任意z，在D内作连接z0到z的连续曲线C1，则当z沿曲线C1从z0连续变动到z时，函数 F(z)由值F（z0）连续变动为f(z)，可以证明 f(z)与曲线C1的选取无关，这样就得到F(z)的一个分支f(z)，改变F(z)在的z0取值，相应得到F(z)的其他分支。

上述方法就像一个算法，实现了多值函数分解为单值连续分支的要求。学生虽然也理解该方法的步骤及证明，但是学习上还是有一定的困惑：为什么采取这样的步骤，这些步骤之间有什么联系？

正是上述原因，使阐明多值函数的单值连续分支的分解原理显的非常重要。在明确分解原理后，可以推断支点、单值连续区域、支割线等概念的特征，明白为什么要如此定义，从而从更高的层次了解多值函数分解为单值连续函数的方法。以下，详细展开讨论。

首先讲述多值函数的分解原理。设E是多值函数F(z)的定义域内的一个区域，在E内任意取定点z1，z2,在区域E内任意作一条连接z1，z2的连续曲线，规定 F（z1）=f（z2），当 z 沿曲线 C1从 z1连续变动到 z2时，函数 F(z) 由值 f（z1）连续变动为 f（z2），若 f（z2）与曲线 C1的选取无关，那么，变动z2，我们便得到定义在区域E上的一个单值函数f(z)，可以证明f(z)在E上连续，从而得到了多值函数的一个单值连续分支，若改变F(z)在z1的取值，相应得到F(z)的其他单值连续分支，这时称区域E是多值函数的一个单值连续区域。

接下来，我们分析多值函数F(z)的单值连续区域E的特征。

问题 1：设 z0是区域 E 内的任意一点，U（z1，r）是区域 E 内z0的一个邻域，在 U（z1，r）内任意作一条包含z0的简单闭曲线C1，在 C1上取定一点 z1，规定 F（z1）=f（z1），对任意 z，当 z沿曲线 C1从 z1逆时针连续变动再回到到 z1时，函数 F(z)由值连续变动 f（z1）为 f*（z1），那么函数值有没有发生改变，即 f（z1）=f*（z1）？

分析：在曲线C1上任取不同于z1的z2点，将分为逆时针方向的两段弧线在因为当z沿弧段从z1连续变动到z2时，函数F(z) 由值 f（z1）连续变动为 f（z2），所以当 z 沿弧段反方向从z2连续变动到 z1时(，函数 F(z)由值 f（z2）连续变动为 f（z1）。 因为弧段反方向和弧段是连接z和z的区域E内两条不同的连续曲线，而E

21是多值函数F(z)的单值连续区域，因此，当z沿弧段从z2连续变动到 z1时，函数 F(z)由值 f（z2）连续变动为 f（z1），从而当 z沿曲线 C1从 z1逆时针连续变动再回到到z1时，函数值没有发生改变。

以上我们得到了单值连续区域点的特征。我们将不满足上述特征的点称为函数的支点，即z0是多值函数的支点，若在z0充分小的邻域内任意作一条包含z0的简单闭曲线C1，在C1上取定一点z1，规定F（z1）=f（z1），当 z沿曲线 C1从 z1逆时针连续变动再回到到 z1时，函数 F（z）的值有有发生变化。

例 1：ArgZ 的支点为 0，∞。

以下，我们分析如何得到多值函数的最大的单值连续区域。

问题2：在扩充复平面上剔除多值函数的所有支点并且多值函数有定义的区域G是多值函数的单值连续区域吗？

分析：若区域D区域内没有包含支ArgZ点的简单曲线，那么，由支点的特征，区域D就是一个单值连续区域。对于问题2中的区域G内仍有可能存在包含支点的简单曲线，因此G不是多值函数的单值连续区域。

例2：区域C{0}不是辐角函数ArgZ的单值连续区域。

由问题2的分析，我们可以得到如何求函数的最大单值连续区域，即用一条曲线K连接所有的支点，然后CK便是多值函数的单值连续区域。因此我们定义多值函数的支割线为：连接多值函数所有支点的曲线。

［1］余家荣.复变函数[M].4版.高等教育出版社.

［2］钟玉泉.复变函数论[M].3版.高等教育出版社.

［3］李锐夫，程其襄.复变函数论[M].高等教育出版社.

［4］陈先琪，宋忠生.关于初等多值解析函数支点和支割线的探讨[J].山东建筑工程学院学报，1995，2.