抓住特征类比探究

2014-08-09 03:08

中学教研(数学) 2014年4期

●

(衢州市教育局教研室浙江衢州 324002)

●汤智翔

(衢州高级中学浙江衢州 324006)

数学教学是数学活动的教学.一节课中教师设计的数学活动，必须紧紧抓住所提数学问题的主要特征，并遵循从特殊到一般的认知规律，引导学生类比探究，只有这样才能在课堂上点燃学生的“发现”之火、“探索”之火和“研究”之火，让学生的数学思维充分展开，才能上出浓厚的数学味.

以人教版《数学(选修2-2)》第2章阅读与思考“平面与空间中的余弦定理”的教学为例，考虑到“阅读与思考”的课型特征，笔者设计了课前、课内和课后阅读3个环节，并根据学生已掌握初步的类比思想方法的现状，从平面内的一个简单命题出发，循序渐进，通过类比探究，逐步得出空间四面体中的类似结论，使学生的数学思维得到一次高水平的训练.据此，本节课的整个教学流程设计为：

本节课的落脚点放在提高学生的类比探究能力上.在2013年10月举行的浙江省高中数学青年教师课堂教学评比中，按此流程设计的教学付诸课堂实践后的结果表明：结论的再发现是在引导学生类比猜想再猜想的基础上获得的，学生的探究不仅仅是对已有知识的简单应用，而是从平面到空间的类比探究，学生的思维始终处于“跳一跳就能够摘到桃子”的状态，学生的课堂注意力高度集中，兴趣高昂，不断品尝成功的快乐，不断提出具有较高思维含量的新的数学问题，把数学“冰冷的美丽”转化成为“火热的思考”，取得了非常好的教学效果.该设计的最大特色，是将“抓住特征类比探究”贯穿于整节课.笔者认为类比探究主要体现在如下5个方面：

1 利用数值特征引课

用具体的“勾三股四弦五”作为课题引入：

教学片断1

师：如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，有52=42+32.我国古代称短的直角边为“勾”，长的直角边为“股”，斜边为“弦”.勾三股四弦五，是我国数学家最先发现的.

图1 图2

师：如图2，过点A作直线AV⊥平面ABC，且AV=4，则∠VAB=∠VAC=∠BAC=90°.我们自然会想到的问题是：在直四面体V-ABC中，是否也有类似的数量关系存在？

师：想一想，围成三角形的元素是什么？

生：3条边.

师：那围成直四面体的元素又是什么？

生：4个面.

师：边有长度，面有面积，请同学们算一算4个面的面积.

生：在四面体V-ABC中，

师：根据计算结果，这4个面的面积之间是否存在着某种数量关系？

评注该设计从一个特定直角三角形3条边的数值特征出发，启发学生围绕一个具体的“直四面体4个面的面积”之间的数值特征进行探究，为勾股定理的空间推广作好铺垫.

2 利用关系特征作初步推广

教学片断2

师：对于一般的直角三角形，3条边之间存在平方关系a2=b2+c2，这是著名的勾股定理.在相应的直四面体中存在类似的关系吗？

师:直角三角形的3条边，对应于直四面体中的是什么？

生：4个面的面积.

师：直角三角形3条边的平方关系，对应于直四面体中的是什么关系？

教师板书如表1所示：

表1 Rt△ABC与直四面体V-ABC的对应关系

师：我们可称它为“直四面体的勾股定理”：在直四面体中,各个侧面积平方和等于其底面积的平方.这是勾股定理从二维空间到三维空间的推广.

生：类比的方法.

评注由平面内直角三角形的平方关系(勾股定理)，类比得到空间直四面体4个面的面积猜想，为进一步推出空间余弦定理埋下了伏笔.

3 利用图形特征作一般化推广

教学片断3

师：任意三角形在空间中对应的是任意的空间四面体.

师：如图3，在任意△ABC中有余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA.类比平面三角形的余弦定理，在空间四面体V-BCD(如图4)中存在什么样的结论呢？这是今天这节课我们要学习的.

教师出示课题：阅读与思考——平面与空间中的余弦定理．

图3 图4

探究类比三角形中的余弦定理，猜想空间四面体中的相应结论.

师生活动：完成以下表2.

表2 △ABC与四面体V-BCD的对应关系

师：在余弦定理中，是用2边及其夹角的余弦值来表示第3边的，类比到四面体中，能否用3个面的面积及其二面角的余弦表示第4个面的面积？

教师引导学生进行思考、猜想、相互讨论等活动，讨论后展示学生的猜想.

如图4，在四面体V-BCD中,不妨设二面角V-BC-D,V-CD-B,V-BD-C,C-VB-D,B-VC-D,B-VD-C的平面角依次为α1,α2,α3,β1,β2,β3.

师：根据图形特征，三角形中“夹角”是第3边的对应角，那四面体中第4个面的对应“角”是什么？

生：是二面角，3个二面角.

2S△VBCS△VCDcosβ2+2S△VCDS△VBDcosβ3+2S△VBCS△VBDcosβ1.

2S△VBCS△VCDcosβ2-2S△VCDS△VBDcosβ3-2S△VBCS△VBDcosβ1.

……

评注抓住三角形余弦定理相应的图形特征,引导学生作一般化推广，将“数”与“形”有机结合,直观地类比到四面体中，获得一系列的猜想，通过提示“再发现”了空间中的余弦定理.

4 利用命题特征排除错误猜想

教学片断4

师：这些猜想是否都正确？我们还要进行验证.

由于猜想要对任意的四面体都成立，能不能找到一个最特殊的四面体进行验证？

生：正四面体.

(验证过程略.)

图5

师：也可以用一种“极端”的方法：检验猜想.

师：如图5，将正四面体V-BCD压成平面图形△BCD，即点V与△BCD中心O重合，此时α1,α2,α3的大小都为π.

(验证过程略.)

评注根据结论是“一般性问题”的命题特征，通过特殊化、极端化，顺利排除了错误猜想.特别值得一提的精彩之处是：学生仅仅利用正四面体这个特殊的图形，就排除了错误的猜想，而教师又恰到好处地介绍了用图形的极端位置排除了错误的方法，为正确结论的获得铺平了道路.

5 利用结构特征记忆推广公式

证明了猜想5即四面体的余弦定理正确后，利用其结构特征记忆这个公式，也就是顺理成章、水到渠成的事了.

教学片断5

师：先回忆余弦定理的文字描述，再类比给出四面体余弦定理的文字描述.

生1：三角形中任何一边的平方，等于其他2边的平方和，减去这2边与它们夹角余弦积的2倍.

生2：四面体中任何一个面的面积平方，等于其他3个面的面积的平方和，再减去每2个面的面积与它们二面角余弦积的2倍.

生3：四面体中任何一个面的面积平方，等于其他3个面的面积平方和减去这3个面中每2个面的面积与它们二面角余弦积的2倍.

评注引导学生类比平面余弦定理的结构特征，得出空间余弦定理的结构特征，有助于空间余弦公式的理解和记忆.

从长远来看，这种抓住问题特征进行类比探究的教学一定是高效的，这也是数学研究的基本方法之一.因为只有对数学问题进行充分地观察、分析、假设、联想、类比、推理、综合等思考，才能抓住问题特征，才能让学生对问题的解决途径有一个初步正确的判断，这直接关系到数学问题解决的成败和学生基本活动经验的获得.对于培养学生类比推理的思维习惯和数学再发现的探究能力，促进和推动学生高中数学学习效能的提升也起到重要的作用.

参考文献

[1] 曹才翰,章建跃.中学数学教学概论[M].北京:北京师范大学出版社，2008.

[2] 张金良.浙江省高中数学新课程改革的实践与思考[J].中学教研(数学)，2012(9):1-7.

[3] 李世杰，李盛.平面区域的对称性[J].中学教研(数学)，2013(1):26-30.