对一道课本习题的研究

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(彭阳县第三中学 宁夏彭阳 756500)

前苏联数学教育家奥加涅相说过：“必须重视很多习题潜在着进一步扩展其数学功能、发展功能和教育功能的可行性.”中学数学教材中的习题凝聚了专家、学者的集体智慧和结晶，研究这些习题，充分挖掘其内在功能的教育教学价值是一线教师责无旁贷的任务.通过研究习题可以提高学生的数学解题能力，发展学生的数学思维能力，培养良好的数学兴趣，从而提高数学教学质量.

1 试题的呈现及解答

题目正方形ABCD的边长为1，P,Q分别为AB,DA上的点，当△APQ的周长为2时，求∠PCQ的大小.

(人教A版数学必修4第147页习题)

图1

解法1(综合几何法)如图1，将正方形ABCD绕点C顺时针旋转90°,使边CB与CD重合，则点P与点G重合，点Q与点H重合，于是CP=CG，BP=DG，∠PCG=90°.又△APQ的周长为2，正方形ABCD的边长为1，于是PQ=BP+QD=QG,从而△CPQ≌△CGQ，因此

图2 图3

解法2(三角法)如图2，设BP,DQ的长分别为a，b,∠BCP=α,∠DCQ=β.由已知得AP,AQ的长分别为1-a，1-b，PQ的长为a+b.由勾股定理得

(a+b)2=(1-a)2+(1-b)2，

即

a+b=1-ab,

又tanα=a,tanβ=b，于是

由0°<α+β<90°，得α+β=45°，故∠PCQ=45°.

解法3(坐标法)建立如图3所示的直角坐标系，联结AC,作QE⊥AC,垂足为点E.设P(a,0),Q(0,b),由已知得C(1,1),B(1,0),D(0,1),直线AC:y=x，由点到直线的距离公式得

由勾股定理得

PQ=2-(a+b)，

所以

即

ab+2=2(a+b)，

亦即

从而

于是Rt△CBP∽Rt△CEQ.可知∠BCP=∠ECQ,故∠PCQ=∠ACB=45°.

2 试题的一般性结论

注意到题目的已知条件：△APQ的周长恰好是正方形边长的2倍，从而可得一般性的结论.

结论1在正方形ABCD中，若点P,Q分别在边AB,AD上，△APQ的周长是正方形边长的2倍，则∠PCQ=45°.

用上面的方法易证明结论成立，此处略.

笔者尝试用上述解法来考查结论的逆命题，发现也是一个真命题，于是便有如下的结论.

结论2在正方形ABCD中，若点P,Q分别在边AB,AD上，若∠PCQ=45°，则△APQ的周长是正方形边长的2倍.

3 试题的拓展研究

著名数学教育家波利亚说过：“没有一道题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨与研究，总会有点滴的发现，总能改进这个解答，而且在任何情况下，我们都能提高自己对这个解答的理解水平.”他打比方说：“在你找到第一个蘑菇(或作出第一个发现)后，要环顾四周，因为它们总是成堆生长的.”我们从面积的视角出发研究试题的一般性结论，可得如下的几个结论.

结论3在正方形ABCD中，若点P,Q分别在边AB,AD上，△APQ的周长是正方形边长的2倍，则点C到线段PQ的距离CH等于正方形的边长.

图4

2m2-m(a+b).

由已知条件知

PQ=2m-(a+b)，

又由结论1知，∠PCQ=45°，于是

从而

由三角形面积公式得

即

PQ·CH=mPQ，

故CH=m.

由结论1和结论3易得如下2个结论.

结论4在正方形ABCD中，若点P,Q分别在边AB,AD上，△APQ的周长是正方形边长的2倍，则SABCD∶S△CPQ=2AB∶PQ.

结论5在正方形ABCD中，若点P,Q分别在边AB,AD上，△APQ的周长是正方形边长的2倍，则S△CPB+S△CDQ=S△CPQ.

如果联结正方形的对角线BD，BD截△CPQ的2边分出了一个小三角形，那么这个小三角形的面积与原△CPQ的面积有怎样的关系呢？经过尝试研究得如下的结论.

结论6在正方形ABCD中，从顶点C引2条射线分别交AB,AD于点P,Q，若∠PCQ=45°，对角线BD交CP于点E，交CQ于点F，则S△CPQ=2S△CEF.

图5

证明如图5，设正方形ABCD的边长为m，BP=a，DQ=b，则

AP=m-a,AQ=m-b.

因为∠PCQ=45°，所以由结论2知

AQ+AP+PQ=2m，

得

PQ=a+b.

由勾股定理得

(a+b)2=(m-a)2+(m-b)2，

化简得ab+ma+mb=m2.

(1)

又BD为正方形ABCD的对角线，由角平分线的性质得

即

从而

得

同理可得

因此

将式(1)代入约分得

即

S△CPQ=2S△CEF.

图6

结论7如图6，在正方形ABCD中，若点P，Q分别在边AB，AD上，∠PCQ=45°，过点P，Q分别作边CD,BC的垂线，垂足为E,F,线段PE和QF相交于点H，则SAPHQ=2SFHEC.

证明设正方形ABCD的边长为m，BP=a，DQ=b，由结论6的证明可知

ab=m2-ma-mb,

从而SAPHQ=AP·AQ=(m-a)(m-b)=

m2-am-bm+ab=2ab,

又SFHEC=BP·DQ=ab，于是SAPHQ=2SFHEC.

4 结束语

正如数学家希尔伯特所说：“好问题就像一只会下金蛋的鸡.”笔者从一道朴实无华的课本习题出发进行研究，挖掘试题的本质特征“△APQ的周长是正方形边长的2倍”，从而延伸拓展得到了一些优美的新结论.在教学中经常“研题”，有助于促进教师专业知识的发展，提高课堂教学的有效性.