基于傅里叶变换和梯度法构建纸张匀度评价模型

徐永建 王 倩 梁巧萍 杨保宏

(陕西科技大学轻工与能源学院，陕西省造纸技术及特种纸品开发重点实验室，陕西西安，710021)

纸张匀度通常用来描述纸张中纤维及其他固体物质 (如填料等)分布相对均匀的情况，即在一定面积上纤维组成的分布情况［1］，是影响纸张印刷适性、浸渍和涂布适应性、机械强度的重要因素。然而，至今国际上仍未有一种很好的纸张匀度评价体系和测量方法。

纸张匀度的检测通常分为目测法和仪器法。目测法是在均匀的光线照射下，通过眼睛迎光透视纸张来检查纸张匀度，检查的结果不能用数字来表示，需要与一定匀度的标准纸样进行对比或依靠观察者的经验来评判结果［2］。这种评价方法比较主观，很大程度上取决于观测者的技术和经验，误差大。仪器法主要分为3类:β-射线透射式、β-射线照相法和光透射式［1］。仪器法测量具有较高的准确性和实用价值，可是仪器操作复杂、价格昂贵，尚未普及。

目前随着数字图像技术的快速发展，许多研究者采用数字图像技术对纸张匀度进行检测，如标准匀度指数表征［3］、梯度法表征［4］、Jordan 比周长法表征［5-6］、区域离散系数表征［7］、傅里叶变换［3］以及小波变换［8］等匀度表征法。其中，傅里叶变换匀度表征根据定量信息在空间的分布来反映纸张匀度，该模型既考虑了纤维具有不同的空间频域又考虑到其具有不同的幅度，从整体上反映了纸张匀度特征，但此方法无法分析纤维的随机特征及纸张局部定量的微弱变化。梯度法则从纸张局部定量的微弱变化和纸张整体定量的变化情况反映了纸张匀度特征，是一种很好的匀度分析方法，但在采样过程中未考虑噪音对图像质量的影响，对结果的准确度产生了一定的误差，但这些噪音无法在空间域处理。基于此，本课题采用傅里叶变换将图像从“空域”变换到“频域”，在频域中对图像进行滤波处理，去除采样过程中噪音对图像质量的影响;再利用傅里叶逆变换将图像从“频域”变换到“空域”，得到去噪后的匀度图像;最后利用梯度法构建纸张匀度的评价模型，并将该模型与国际上通用的标准匀度指数表征及视觉评价结果进行对比分析，为纸张匀度分析和评判提供了理论依据。

1 构建评价匀度指数的数学模型

根据Kubelka-Munk理论分析纸张光学性质，当采样条件一定时，可以确定纸张定量与图像灰度值之间的关系。摄像机采集的灰度图像，其各像素点的灰度值与照射到摄像头光敏面的光通量成一定比例。因此，可以使用灰度值代替纸张局部定量反映纸张匀度信息，建立纸张匀度评价模型。对于纸张光透视图像来说，某像素点处的光通量越强，透光率则越高，该点处的灰度值就越高，纸张的定量则越小;反之，情况则相反［8］。

图1 纸张匀度图像

图2 纸张灰度图像

图3 纸张傅里叶频谱图

图4 纸张滤波后的图像

大量实验研究发现，摄像机拍摄得到的图像受离散脉冲、椒盐噪声和零均值的高斯噪声影响较为严重。噪声给图像处理带来很多困难，对图像分割、特征提取、图像识别等具有直接影响。因此，对实时采集的图像进行滤波处理是精确计算纸张匀度的关键。如果直接在时域进行滤波处理，计算量会随采样点数的平方而增加，这使得计算机处理时计算量大、费时，很难达到实时处理的要求。相比于时域中的信号，计算机更易处理频域中的信号，且处理速度更快、计算量更小，因此，笔者使用傅里叶变换完成图像在“时域”和“频域”之间的转换，将不宜或无法在空域中处理的一些特征信息转换到频域中进行处理。根据资料记载［9］，数字图像中的边缘和噪声对应于傅里叶变换中的高频部分，所以若在频域中消弱其影响就要设法减弱高频部分的分量。由于巴特沃斯低通滤波器在高低频率间的过渡比较光滑，输出图像中的振铃现象不明显。因此，使用巴特沃斯低通滤波器消除了傅里叶变换中的高频分量，去除了图像中的噪音，其中巴特沃斯低通滤波器的传递函数见公式 (1)［9］。纸张匀度图像经傅里叶变换滤波后的效果图见图1～图4。

式中，u为0，1，…，M －1;v为0，1，…，N －1;D(u，v)为从点(u，v)到频率平面原点的距离，D0为截止频率。

采用傅里叶滤波后的匀度图像，笔者采用梯度法［4］构建纸张匀度的数学模型，见公式 (2)。在梯度法分析中，有两个参数值得注意:平均梯度和均方差。平均梯度是指图像的边界或影线两侧附近灰度有明显差异，即灰度的变化率，是各像素点梯度值的数学统计，反映了图像微小细节反差变化的速率，即图像在多维方向上局部定量的微观变化情况。平均梯度越小，纸张局部定量变化越小，纸张匀度越好;反之，情况则相反。在平均梯度分析中，有研究者［4］发现为了减少计算机的计算量，使用Roberts交叉差分算法代替微分处理的结果优于典型差分法处理的结果。均方差反映了局部定量与整体的偏离程度，均方差小说明纸张定量比较均匀［10］，匀度较好;均方差大，表明纸张匀度差。因此，梯度指数既反映了纸张局部定量的微弱变化，又反映了整体定量的变化情况，较全面地反映了纸张匀度信息。

图5 随机抽取的不同匀度纸样的灰度图像

式中，σ为纸张局部定量的均方差;FGN为梯度指数;为采样图像的平均梯度。

2 实验研究及分析

本实验的匀度分析，采用随机抽取的几种不同匀度的纸样作为分析纸样 (灰度图像见图5)，评价构建匀度指数的数学模型。其中，采集图像所使用的光源为D65，摄像头参数为AF-S DX 18～55 mm f/3.5-5.6G ED II，纸样大小为8 cm×8 cm，有效分辨率为256像素/cm，经摄像头得到的匀度图像采用Matlab软件进行处理。分别采用标准匀度指数［3］和本实验所构建的匀度指数模型计算纸张匀度，为了对比此模型的性能及优势，同时笔者也采用视觉评价分析上述纸样，即选定17个人对不同匀度的纸样进行评价，这些人来自陕西科技大学制浆造纸工程专业，具备正常的视觉观测;此外，在评价前需对这些人如何采用视觉观测评价纸张匀度进行相关培训。匀度指数模型及视觉评价结果见表1。为了更进一步比较该模型与标准匀度模型的区别，笔者取两张纹理不同(纸样G和H)但匀度指数相同的两幅图像进一步分析 (见图6)，其分析结果见表2。

表1 匀度指数模型及视觉评价结果

表2 两种模型对纸样G和H的分析评价结果

在数字图像处理的过程中，笔者常采用均一化处理，将数据单位化，使得所有数据都归化为0～1。采用归一化的好处是简便、准确、定量结果与采样量重复性无关，操作条件略有变动或采样量控制不十分准确对分析结果影响都很小，因此，本实验对上述所采用的几种方法都采用了均一化处理。

由表1可知，梯度指数越小，纸张匀度越好。采用傅里叶变换滤波处理的纸张，在频域中滤波后，高频部分的噪音减少，使得匀度图像中灰度值的均方差变小。采用视觉观测评价不同种类、不同定量的纸张时，其结果对比性不强，误差较大，不能直接用数值表示;而数字图像处理则轻松地解决了此问题，可以将不同种类、不同定量的纸张进行对比分析，应用范围更广。由表1梯度指数和标准匀度指数可知，两种方法处理结果的趋势一致。由图6可知，G纸样絮聚团较多，分布不均匀，H纸样的匀度较好。由表2知，利用标准匀度算法处理G和H纸样时，却得到了相同的结果，而本实验所构建的匀度评价模型不仅从整体上反映了纸张的匀度特征，同时还考虑了纸张局部定量的微弱变化，可以很容易地将纸张的匀度信息放大分析，与视觉评价结果和标准匀度指数模型所得到的结果均有很好的相关性，且得到与视觉评价更接近的结果，因此，本实验所构建的模型更具有优势，更加全面地反应了纸张匀度信息。

图6 纸样G和H的灰度图像

4 结论

针对纸张匀度问题，采用傅里叶变换，将不易在空间域处理的信息转换到频域，有效地去除了图像中的噪音，并结合梯度法构建了纸张匀度的评价模型，既反映了纸张局部定量的微弱变化，又反映了整体定量的变化情况，较全面地反映了纸张匀度信息，提高了纸张匀度分析时的精度。该方法与标准匀度指数及人眼视觉评价结果均有很好的相关性。另外，采用数字图像处理思路简单，实现方便，为纸张匀度的分析和评判提供了一些理论依据。

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