基于反馈控制的分数阶时滞神经网络的同步*

张云雷， 吴然超

(安徽大学 数学科学学院，合肥 230601)

分数阶微积分已有300多年的历史，其发展几乎与整数阶微积分同步，但将其应用到物理学和工程学的研究热潮，还是最近几十年兴起的。近期的专著主要强调分数阶微积分在物理、信号处理、生物工程、扩散波和电磁学的应用[1-4]。由于分数阶微积分具有“记忆”和“遗传”的特性，因此将其应用到神经网络模型中能够更加准确地描述信号输入和输出间的复杂关系。目前，对于分数阶系统同步的研究主要是针对非时滞系统，其主要方法是利用控制项将误差系统的非线性项消去，得到一个线性的误差系统，然后通过研究误差系统的稳定性，来研究分数阶系统的同步，如文献[5-7]。这种做法使得控制项含有非线性项，加大了控制的难度和成本。然而，在文献[8]中保留了误差系统的非线性项，使得控制器只需要满足一个简单的线性控制，当然此方法的不足之处在于必须对误差系统中的非线性项进行约束。本文主要考虑带时滞的神经网络系统同步，选取的控制器使其误差系统含有非线性项，优点在于使控制器相对简单。

1 预备知识

定义1[1]函数x(t)的阶数为α的Caputo导数定义为

(1)

其中n-1<α

定义2[1]单参数Mittag-Leffler函数定义为

(2)

式(2)中α>0,z∈C。

双参数Mittag-Leffler函数定义为

(3)

式(3)中α>0,β>0且z∈C，有Eα(z)=Eα,1(z)，E1,1(z)=ez。

引理1[8]若V(t)在区间[0,+∞)上是连续函数且满足

DαV(t)≤-λV(t)

(4)

则

V(t)≤V(t0)Eα(-λ(t-t0)α)

(5)

式(5)中α∈(0,1)且λ是正常数。

引理2[1]令α<2，β是任意的实数，πα/2<μ

(6)

本文考虑如下具有时滞的分数阶神经网络模型：

(7)

或者写成向量的表示形式

Dαx(t)=-Cx(t)+Af(x(t))+Bf(x(t-τ))+I

(8)

其中i∈N=1,2,…,n，t≥0，0<α<1，n是神经元个数，x(t)=(x1(t),…,xn(t))T∈Rn表示在时间t的状态变量，f(x(t))=(f1(x1(t)),…,fn(xn(t)))T表示神经元的激励函数，C=diag(c1,c2,…,cn)表示在与神经网络不联通且无外部附加电压差的情况下第i个神经元恢复静息状态的速率。矩阵A=(aij)n×n指第j个神经元在t时刻对第i个神经元的影响强度，B=(bij)n×n指第j个神经元在t-τ时刻对第i个神经元的影响强度，I=(I1,I2,…,In)T是指神经元的网络偏差量。

2 主要结论及其证明

在本节将得到带时滞的分数阶神经网络模型同步的充分条件，把系统式(7)作为主系统，其从系统为

(9)

写成向量的表示形式

Dαy(t)=-Cy(t)+Af(y(t))+Bf(y(t-τ))+I+u(t)

(10)

其中y(t)=(y1(t),…,yn(t))T∈Rn指从系统的状态变量，C、A、B和f(·)与系统式(8)的表示相同，u(t)=(u1(t),…,un(t))T是指控制器。

设误差向量ei(t)=yi(t)-xi(t)。由主系统式(8)和从系统式(10)得误差系统的表达式：

Dαe(t)=-Ce(t)+A[f(y(t))-f(x(t))]+B[f(y(t-τ))-f(x(t-τ))]+u(t)

(11)

(12)

证明若ei(t)=0，则Dα|ei(t)|=0。若ei(t)>0，则

(13)

类似的，如果ei(t)<0，那么

(14)

因此，我们得到：

Dα|ei(t)|=sgn(ei(t))Dαei(t)

(15)

考虑辅助函数

(16)

由系统式(15)可以得到V(t)的Caputo导数为

(17)

式(1)中λ=minci(i=1,…,n)。根据引理 1 可知

V(t)≤V(t0)Eα(-λ(t-t0)α)

(18)

由范数的定义

(19)

(20)

也就是

‖e(t)‖≤‖e(t0)‖Eα(-λ(t-t0)α)

(21)

令z=-λ(t-t0)α，|arg(z)|=π，引理 2 可知存在一个实常数C, 使得

(22)

3 数值模拟

考虑如下具有时滞的分数阶神经网络模型

Dαx(t)=-Cx(t)+Af(x(t))+Bf(x(t-τ))

(23)

Dαy(t)=-Cy(t)+Af(y(t))+Bf(y(t-τ))+u(t)

(24)

图1 系统式(23)与系统式(24)的误差系统的时间响应曲线，α=0.96

图2 文献[8]中误差系统的时间响应曲线

4 结 论

由于时滞在生物神经网络中的不可避免性，因此时滞神经网络相比较非时滞神经网络更具有一般性，对时滞神经网络的研究更具有理论意义和实际应用价值。本文基于反馈控制的方法对分数阶时滞神经网络的同步问题进行了讨论，通过线性反馈控制给出了时滞神经网络同步的充分条件，并提供了一种简易的同步控制器设计方法。数值仿真验证了所得理论的正确性。

参考文献：

[1]PODLUBNY I.Fractional differential equations[M].Academic Press：San Diego，CA，USA，1999

[2]HILFER R.Applications of fractional calculus in physics[M].World Scientific York：Singapore，2000

[3]KILBAS A，SRIVASTAVA H，TRUJILLO J.Theory and application of fractional differential equations[M].Elsevier：New York，NY，USA，2006

[4]SRIVASTAVA H，OWA S.Univalent functions，fractional calculus and their applications[M].Prentice Hall：New Jersey，NJ，USA，1989

[5]王兴元，贺毅杰.分数阶统一混沌系统的投影同步[J].物理学报，2008，57(3)：1485-1492

[6]陈向荣，刘崇新，李永勋.基于非线性观测器的一类分数阶混沌系统完全状态投影同步[J].物理学报，2008，57(3)：1453-1457

[7]罗润梓，魏正民，邓述程.分数阶 Lorenz 混沌系统的修正投影同步[J].南昌大学学报：工科版，2009，31(1)：22-28

[8]CHEN L P，QU J F，CHAI Y.Synchronization of a class of fractional-order chaotic neural networks[J].Entropy，2013，15(8)：3265-3276