运筹学中部分案例建模的再思考*

陈修素， 陈 睿， 张 雄

(1.重庆工商大学 数学与统计学院，重庆 400067；2.美国马萨诸塞大学 阿默斯特分校电子与计算机工程系，美国 马萨诸塞州 01002；3. 重庆工商大学 财政金融学院，重庆 400067)

1 钢梁配套问题

西南交通大学经济管理学院的李军教授在西南交通大学省级精品课程“运筹学A”第一章的电子教案(2006年)的第一节(§1)线性规划问题及其数学模型中给出了如下的线性规划问题1作为案例.

问题1 设有钢材150根，长为15 m，需要轧成配套钢料，每套由7根2 m长与2根7 m长的钢梁组成，问如何下料使钢材废料最少(不计下料损耗)？

2 问题1的建模

李军教授在上述电子教案中给出了问题1的如下的建模方法和相应的数学模型[1].

解15 m长的钢梁截成2 m、7 m长的钢梁有以下A1，A2，A33种截法：

表1 钢梁的3种截法 单位:m

设按第j种截法截钢材xj根，j=1，2，3,则可以建立如下的线性规划模型：

用lingo软件编程计算可得其最优解为

最优目标值为

minz=150

3 问题1的再思考与模型的改进

但是，当问题1中的每套钢料改由5根2m长与2根7m长的钢梁组成，则问题1变为如下问题2.

问题2 设有钢材150根，长为15m，需要轧成配套钢料，每套由5根2m长与2根7m长的钢梁组成，问如何下料使钢材废料最少(不计下料损耗)？

则问题2中的模型变为

minz=x2+x3

用LINGO软件编程计算可得此模型无可行解(即无非负整数解)，去掉变量取整数的限制所得的松弛问题的最优解

显然不满足整数条件，目标值为34.615 38m.

问题2的模型必须要改进，由上分析说明没有一种能充分利用所有被切下的钢梁配成成套钢料的截割方案，此时，任何一种截割计划都会有截下来未能配成套的钢梁成为废料，再加之每一种截法留下的余料也是废料，从而废料分为两部分，一部分是各种截法留下的余料为(x2+x3)m，另一部分废料为截下的钢梁配套后余下的钢梁，截下的钢梁能配成的钢套数为

截下的2m钢梁配套后余下的钢梁数为

截下的7m钢梁配套后余下的钢梁数为

从而截下的钢梁配套后余下成为废料的钢梁长度为(单位：m)

由此可得废料的总数(单位：m)为

综合上述分析可得，问题2的数学模型为如下非线性整数规划：

用LINGO软件编程计算可得此模型的最优解为

最优目标值，即最少的费料为

minz=42

4 线材问题的合理利用[2]

清华大学出版的“运筹学”(本科版)第一章线性规划与单纯形法的第6节应用举例中有如下合理利用线材的问题：

例1 现要做100套钢架，每套用长为2.9m，2.1m，1.5m的圆钢各一根，已知原料每根长7.4m，问：应如何下料，可使所用原料最省？

解在每根原材料上截取2.9m，2.1m和1.5m的元钢各一根组成一套，每根原材料剩下料头0.9m，为了做100套钢架，需用原料100根，有90m料头，若改为套裁，可以节约原材料，可以考虑以下列5种下料方案，见表2.

表2 5种下料方案 m

设x1，x2，x3，x4，x5分别为上面5种方案下料的原材料根数,这样可以建立如下的数学模型[2]：

minz=0.1x2+0.2x3+0.3x4+0.8x5

用LINGO软件计算得出最优下料方案：按方案1下料30根；按方案2下料10根；按方案4下料50根.即x1=30；x2=10；x3=0；x4=50；x5=0.即只需90根原材料就可制造出100套钢架.

注1 问题2中每套钢架只需长为2.9 m，2.1 m，1.5 m的圆钢各一根，使得上述建模问题比较简单.但如果每套钢架需长为2.9 m，2.1 m，1.5 m的圆钢各2，3，3根，则此问题的建模就不那么简单了，需要利用问题2钢梁配套问题中改进的建模方法的思想思考这个问题的数学建模，在此就不赘述了.

参考文献：

[1] 李军.运筹学A[M].成都：西南交通大学，2006

[2] 运筹学教材编写组.运筹学(本科版)[M].北京：清华大学出版社，2009

[3] 陈修素，丁宣浩，陈义安.基于创新能力培养的《运筹学》课程改革与数学建模实践[J].四川职业技术学院学报，2012，22(2)：109-113

[4] 孙祥凯.运筹学课程中单纯形法教学的几点思考[J].重庆工商大学学报：自然科学版，2013，30 (10)：91-94

[5] 陈修素，陈睿.供应链管理下批发价格依赖性的补偿策略理论[J].重庆工商大学学报：自然科学版，2012，29(1)：19-23

[6] 陈修素，陈睿，郭洋成，等.上海世博会的经济综合影响力指数模型[J].数学的实践与认识，2012，42(2)：11-18