关于不定方程x2+64=y11的解的讨论

安 晓 峰

(重庆师范大学 数学学院，重庆 401331)

A，B∈N，A无平方因子，关于不定方程Ax2+B=yn(其中x，y∈N，n≡1(mod2)，n>1) 的解的讨论是数论中的一类重要课题.近来文献[1-5]用代数数论的方法证明了几种不同方程的整数解，而A=1，B=64，n=11的情况未曾讨论.为此，利用代数数论的方法证明了不定方程x2+64=y11无整数解.

定理1 不定方程

x2+64=y11，x，y∈Z

(1)

无整数解.

证明先假设x≡1(mod2)，在Z[i]中，式(1)可以写成(x+8i)(x-8i)=y11，x，y∈Z.

设δ=([x+8i]，[x-8i])，由δ|([2x]，[16i])，知δ只能取[1]，[1+i]，[2]，因x≡1(mod2)，知x+8i≡1(mod2)，所以δ≠[2]；如果δ=[1+i]，则N(1+i)|N(x+8i)，即2|x2+64，但这与x≡1(mod2)矛盾，因此δ=[1].

由Z[i]唯一分解性得到x+8i=(a+bi)11，x，a，b∈Z，因而有

x=a11-55a9b2+330a7b4-462a5b6+165a3b8-11ab10

(2)

8=b(11a10-165a8b2+462a6b4-330a4b6+55a2b8-b10)

(3)

因此b=±1，±2，±4，±8.

当b=±1时，由式(3)可得

11a2(a8-15a6+42a4-3a2+5)=9，-7

(4)

式(4)要成立，要满足11|9，11|-7，矛盾.

当b=±2时，由式(3)可得

4(±1+28)=11a10-165a8·22+462a6·24-330a4·26+55a2·28

(5)

即得

4(165a8+28±1)=11a2(a8+42a4·24-30a2·26+5·28)

(6)

式(6)要成立，需满足11|165a8+28±1,矛盾.

当b=±4时，由式(3)可得

2(±1+219)=11a10-165a8·42+462a6·44-330a4·46+55a2·48

即

2(±1+219-180 224 0a2)=11a2(a8-15a6·42+42a4·44-30a2·48)

(7)

式(7)要成立，需满足11|±1+219-180 224 0a2，矛盾.

当b=8时，由式(3)得

1=11a10-165a8·82+462a6·84-330a4·86+55a2·88-810

即

810+1=11a2(a8-15a6·82+42a4·84-30a2·86+5·88)

(8)

当b=-8时，由式(3)得-1=11a10-165a8·82+462a6·84-330a4·86+55a2·88-810，即a10-15a8·82+42a6·84-30a4·86+5a2·88=97 612 893，从而有

a2(a8-15a4·82+42a6·84-30a2·86+5·88)=32×7×31×151×331

(9)

式(9)要成立，需满足a=±1，±3，而当a=±1时，a10-15a4·82+42a6·84-30a2·86+5·88≠97 612 893，此时无整数解.同理，当a=±3时也无整数解.所以当x≡1(mod2)时，式(1)无整数解.

当μ=[1]时，i(i-1)10=25一定只能整除[x2+i]或[x2-i]中的一个，但x2为奇数，从而不成立，所以25不能整除[x2+i]或[x2-i]，故μ≠[1],所以μ=[1-i].因此式(1)可化为

由Z[i]是唯一分解环，可令x2+i=(1+i)5(a+bi)11(a，b∈Z)，可得

(10)

(11)

显然式(11)不成立，故此种情况，式(11)无整数解.

综上讨论结果，不定方程x2+64=y11，x，y∈Z无整数解.

参考文献：

[1] 高媛媛，郭金保. 关于不定方程x2+64=y5[J].延安大学学报：自然科学版，2010，29(1)：6-7

[2] 张杰. 关于不定方程x2+64=y7的解的讨论[J].重庆工商大学学报：自然科学版，2012，29(3)：27-28

[3] 高丽，马勇刚. 关于不定方程x2+16=y7[J].西南民族大学学报：自然科学版，2008，34(1)：27-29

[4] 李娜. 关于不定方程x2+4=y7[J].科学技术与工程，2011，23(11)：5613-5614

[5] 李中恢，张四保. 关于不定方程x2+16=y11[J].海南大学学报：自然科学版，27(3)：216-218