追问首轮高三数学复习课的缺失——有感于浙江省宁波市骨干教师评选之上课环节

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(宁波市教育局教研室 浙江宁波 315000)

背景介绍浙江省宁波市第5届骨干教师评选(上课环节)在宁波某一级重点中学理科班举行，经过学校、各县的2轮选拔，来自宁波市9个县(市)、区的5位选手参加上课环节的比赛.上课课型是首轮高三复习课，课题是“导数在研究函数单调性中的应用”(以下简称“参赛课”).作为宁波各县(市)、区优秀教师的代表，他们的每节课都充分展现出自己的教学理念、执教能力、专业素养、教学特色和教学效果.笔者有幸作为评委聆听了5堂风格各异的课，也激发了对首轮高三数学复习课教学的进一步思考，以下笔者结合平时的教学调研，谈些个人的体会与感悟，以抛砖引玉.

1 首轮高三数学复习的定位是什么

教学现状笔者与教师的交流中发现:教师大都信奉做题“熟能生巧”，在常态的首轮高三数学复习课中,超过一半教师的做法是：发讲义、做练习、讲题目，采用“题型+套路+训练”的题海战术，一节复习课“一张练习纸打天下”,试图通过强化训练达到高考考高分的目的.

诊断分析“题型+套路+训练”的题海战术非常符合行为主义学派的代表人物斯金纳的“操作强化原理”，把源于动物学习的规律搬到人类学习活动中，把解法固化在题型上，再经强化训练使学生模仿并记住.无可否认,这种做法应付常规题型有一定作用，但成本太高，且使数学的思维训练价值荡然无存，在机械重复训练中学生的学习兴趣无法激发，更是抹杀了学生的创新意识.再看浙江省高考导向：“在全面考查基础知识和基本技能的同时，突出表现了‘重思维，重本质’的特点.”这种拘泥于对题型的研究、套路的演练、大运动量的训练的复习方式，在高考中显然不可能取得好成绩.

教学建议首轮高三数学复习的定位应该是“基础知识的掌握、基本技能的提高、基本思想方法的落实”;课堂教学建议围绕“四化建设”进行，即基础知识系统化、例题选择精典化、思想方法大众化、解题表达规范化;课堂教学应由“题型+套路+训练”走向“概念+构建+思维”.

参赛课片段1导学案摘要

考纲解读浙江省考试说明中“导数的应用”的解读(内容略).

课本导读函数的单调性与其导函数的正负关系，求可导函数单调区间的步骤(内容略).

热身练习参赛教师收集了近几年高考中出现的各种类型的函数，求其单调区间(练习略).

例题讲解例题均选自近几年高考模拟题或高考题,可分为以下3类:

题型1求已知函数的单调区间(例题略);

题型2讨论含参函数的单调性(例题略);

题型3利用函数的单调性与其导函数的正负关系求参数范围(例题略).

课堂练习(略)

评析导学案作为教学转型期的一个新生事物，是集教师的“导案”、学生的“学案”和“练案”为一体的教学合一的文本，体现“以生为本，以学为本”的教学理念，支持先行的学习,是学习的任务与线索，反映教师对学习活动的设计.笔者以为复习课的导学案应侧重在如何充分调动学生学习积极性、如何高效激活学生的思维火花、如何引导学生获取知识求得能力;其功能应该是：教学流程的初构、问题诊断的依据、思维活动的支架、学法指导的载体.本节课围绕“题型+套路+训练”，导学案已演变为训练为主的习题纸(合计有12题之多)，课堂演变成了大运动量的训练场，显然违背了首轮复习的宗旨.

2 数学的知识点怎么复习

教学现状无论是常态课还是评优课，教师对数学知识点复习的方式有以下3种：(1)先重现学习过的有关知识点，再讲解例题;(2)以问题驱动的形式复习相关知识点;(3)在例题、习题教学过程中复习，缺什么，补什么.

诊断分析数学知识点是指数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法.理清与掌握数学知识是学好数学的第一步，首轮高三数学复习课对知识点的复习，既是为了便于记忆，又是为了透彻理解、融会贯通，便于应用时随时提取，故复习时不应是简单的知识重现，而应是重新整理与构建的过程.由此可见，上述“教学现象”3种方式中的第1种做法不可取，第2种做法要注意问题设计中“梯度、广度、深度”的把握，第3种做法有“脚踏西瓜皮，滑到哪里算哪里”之嫌，缺乏系统性.

教学建议建议编织知识网络.寻找出所学内容的主线，在主线的引导下，以全新的逻辑链和学生的思维链将原本知识重新梳理与整合，挖掘知识的内在联系，拓展知识的横向、纵向联系，以优化知识结构，感悟思想方法，激发学生进一步学习和探索的兴趣，达到“见树木更见森林”的境界.

图1

参赛课片段2复习与问题诊断

例1已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图像如图1所示，则f(x)的图像可能是

( )

A. B. C. D.

追问1若f′(x)=0，则原函数有何特性?

追问2若可导函数在某个区间(a,b)内单调递增，则f′(x)>0？

(教学策略：学生回答，教师补充完善.)

评析执教教师先以问题驱动，复习了原函数与其导函数图像之间的关系，接着横向联系“命题及其关系”，通过2个追问，使得学生对“函数的单调性与其导函数的正负关系”有进一步的认识，意在培养思维的严谨性和发散性.

3 如何选择、呈现例题

教学现状现在复习资料满天飞，部分教师采取“拿来主义”，或直接采用，或从历年的高考题、模拟题中挑选与教学内容有关的题目作为例题.

诊断分析维果斯基的“最近发展区理论”认为,学生的发展有2种水平：一种是学生的现有水平，指独立活动时所能达到的解决问题的水平；另一种是学生可能的发展水平，也就是通过教学所获得的潜力.两者之间的差异就是最近发展区.借鉴该理论“拿来主义”不可取，例题的选择要根据教学目标着眼于学生的最近发展区，“跳一跳，能摘到”，为学生提供适合的内容，调动学生的积极性，发挥其潜能.

教学建议例题要体现“典型性、针对性、层次性、灵活性”.建议结合学生的学情，如：学生的认知基础、学习难点、学习误区、学习困惑、学习错误等.选取例题的途径有：(1)由课本典型例题、习题改造而成的再生试题,常用的改造技术有：逆向提出问题、同一模型的不同外显形式、特殊问题一般化、一般问题特殊化、运用思想方法、组合嫁接等;(2)在上一届学生用得较好的高三复习资料中筛选；(3)对市场上现卖的资料进行”三整合”——问题整合、知识整合、方法整合；(4)对历年高考题、模拟题进行改编.例题的呈现方式一般有以下3种方式：(1)一题多变式:从一个题目出发，由简单到复杂、特殊到一般，不断改变其中的条件与结论；(2)分类式:某一内容的问题分成不同类型进行编排；(3)递进式：按知识要求的不断提高进行排列；(4)同一题干式:在同一题干下设置不同的问题，由易到难排列.

参赛课片段3例题设计

参赛课片段4例题设计

(2)若f(x)在[1,2]上单调递增，求m的取值范围.

追问1变“g(x1)-g(x2)

追问2变“g(x1)-g(x2)

评价执教教师设计的2个例题,起点低、落脚高，且层层递进，让不同思维层次的学生有不同的发展.通过例3第(1)小题回顾、复习利用导数求函数单调区间的基本步骤，书写的规范化示范，指出易错的地方——遗漏定义域的考虑，例3第(2)小题研究最基本的含参问题的单调性.例4将例3第(1)小题中的函数拆成2个函数，求解时需要构造函数，而构造函数恰恰是本节课的难点，再通过2个追问，意在揭示绝对值问题的处理方法，渗透等价转换思想.例4充分体现了“建构+思维”的设计意图，也充分展示了执教教师的睿智.

4 例题教学的要素是什么

教学现状教师处理常态课中例题教学环节通常有2种方法：一是教师读题，学生回答怎么做(或学生上台板演),然后教师讲解并板书解题过程；另一种是教师自说自话，一讲到底，就题论题.

诊断分析2000年颁布的“大纲”(试验修订版)中明确指出：练习的目的是使学生进一步理解和掌握数学基础知识，训练、培养和发展学生的基本技能，能够及时发现和弥补教和学中的遗漏或不足，培养学生良好的学习习惯和品质.由此可见解题有四大目的：加深理解和掌握双基；培养和发展能力；查漏补缺；培养学习习惯，学会思考.教学现状显然没能达到要求.

教学建议波利亚在他的“怎样解题表”中将数学题目的解决分为4个步骤，即弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾.借鉴“怎样解题表”，笔者建议例题教学围绕以下4个要素：(1)审题——要求学生对题目的条件和结论有一个全面的认识，要帮助学生掌握题目的数、形特征，特别要注意隐含条件的挖掘，并引入适当的符号.(2)探索——突出解题思路的探索过程，引导学生分析已知条件与结论间的内在联系和必然的因果关系，假如不能直接找出关系，考虑寻找中间的辅助问题过渡(如，对问题作等价变换，化归为熟悉的问题；对原问题作特殊化处理，降低难度，再作方法迁移等).(3)表述——要求合乎逻辑、层次分明、严谨规范、简洁明了，同时要关注答题技巧(小题巧做、小题小做),解答题要特别注意采分点.(4)反思——回顾解题活动过程，除了检查每一步的运算正确性外，还可引导学生自问：还有其他不同的解题方法吗？能说出各种解法的优劣吗？能通过变换、推广、类比作出新的数学发现吗？能将这些结果或方法应用到别的问题上吗？

5 教师是否需要解题规范化的示范

教学现状在数学复习课中,大部分教师重视分析过程，轻视解题过程的板演，更多的是用PPT代替教师的板书示范.

诊断分析用PPT虽然也能呈现解题过程，但由于屏幕的限制，影响了解题过程的整体感知，同时由于课件伴随教学内容经常变动，不方便学生前后知识的联系与笔记.

教学建议作为学生学习的榜样,教师规范的板书在教学过程中是必不可少的，建议一节课教师至少完整地板书示范一道题.

参赛课片段5复习回顾

师：函数的单调性与其导函数的正负有怎样的关系？

生1：(略).

师：补充完善(略).

师(板书)：试一试，求下列函数的单调递增区间：

(2)f(x)=(x2-4x+1)ex；

(教学策略：先学生动笔练，后教师逐一板书并讲解.)

师(小结)：(1)常见的求导函数的类型有：三次多项式函数、指数函数y=ex与二次多项式函数的组合、对数函数与二次多形式函数的组合、分式函数与对数函数的组合.

(2)导数是研究函数单调性的工具之一，以上4道题求导后，最后都可转化为求解不等式：x2-2x-3>0，差异在定义域的不同，这也是学生容易出错的地方.

(3)利用导数求函数单调区间的一般步骤(书写).

评析执教教师以提问的方式复习相关知识点“函数的单调性与其导函数的正负关系”，并罗列了近几年高考中出现的求导函数的类型，通过求他们的单调区间复习利用导数求函数单调区间的一般步骤，强调容易出错的地方是“疏忽定义域”，且对4道题目都一一板书示范，这样的教学很好地起到了基础知识与基本方法的复习与巩固作用，也给学生完整地板书示范.但从教学效果看，这部分“复习回顾”时间耗费太多，后续“利用导数研究含参函数的单调性问题”的时间仓促，而后者恰恰是学生的疑难点所在，整节课虎头蛇尾,建议调整.方案1：选择(3)或(4)中的一道题，先学生动笔做，后教师板书示范讲解.方案2：分4组，每组完成(1)～(4)中的一道题，再展示学生的作品，后师生共同纠错完善，得出利用导数求函数单调区间的一般步骤.

6 首轮数学高三复习课有固定的模式吗

教学现状笔者在与教师的交谈中发现，常态首轮数学高三复习课的模式大同小异：考点解读—真题回顾—讲解例题—归类小结—练习巩固—布置作业.

诊断教学数学教学模式是在一定教学思想与教学原理指导下，围绕一个特定的教学目标形成的相对稳定的规范化教学程序与操作体系.以上首轮高三复习课的程序是教师多年总结出来的教学经验，从教的角度看，环环紧扣，教师关注知识的广阔性、深刻性以及思维的灵活性与发散性，似乎教得高效.但从学的角度看，若每天这么上，学生会学得愉快吗？学生不产生“审美疲劳”才怪呢.

教学建议北师大数学系曹一鸣老师在“借鉴、整合、超越——数学教学模式运用的三重境界”一文中说得好：教师要灵活运用模式，最终是要超越模式，逐渐形成自己的教学风格，走向教学的自由，达到“无模式化”教学的最高境界.笔者以为复习课也是如此，不应固定在模式上，而应以“要素的组合”替代模式，研究“学为中心”的复习课的要素.调研发现，凡是有效的首轮高三复习课都有以下几个要素：知识的系统化梳理、解题思路的分析与优化、疑点与难点的剖析、错误原因的分析与纠正、解题过程的书写示范、反思与提升等.

7 首轮数学高三复习课应选择怎样的教学方法？

教学现状笔者调研后发现，新课程标准下倡导的学生“自主、合作、交流”的学习方式，已被一线教师们接受，在公开课或各类课堂教学评比中被采纳，他们以自己的理解方式自主设计和大胆尝试，可谓百花齐放.在首轮高三复习课中也是如此.

诊断分析“学习金字塔”是美国缅因州的国家训练实验室研究成果，它用数字形式形象显示了：采用不同的学习方式，学习者在2周以后还能记住内容(平均学习保持率)的多少，学习方法不同，学习效果大不一样.我们最熟悉最常用的复习课方式是处在塔尖的第一种学习方式——“听讲”，学习效果是最低的，2周以后学习的内容只能留下5%，学习效果在50%以上的，都是团队学习、主动学习和参与式学习.笔者在调研中发现：“自主、合作、探究”的教学方式已基本达成共识，但操作性的争论依然激烈，如：问题诊断一定要学生上台板演吗？学生做题、思考问题一定要讨论吗？合作探究是深入解题的唯一途径吗？值得商榷.

教学建议数学是思维的体操，数学教学的本质是以思维为核心的数学发展过程教学，数学方法和数学思想是其中2个关键的问题.笔者以为数学课堂不应一味追求表面的热闹，数学学习需要学习者自身的理解、领悟、内化，采取何种教学方式取决于复习目标的不同类型、学生的学情、教师的教学风格，“教学有法，教无定法，贵在得法，妙在导法”.