一类矩形翻折问题的解法举例

陆腾宇

图形的翻折是指把某个或部分图形沿某直线折叠，翻折部分的图形位置发生了变化，但形状和大小不变. 这类问题能很好地训练同学们的空间想象和逻辑思维能力，通常与直角三角形、等腰三角形、图形的全等、面积等知识关联，在近几年的中考中备受青睐. 现举例如下，供同学们参考.

例1 如图1所示，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为______.

【分析】矩形翻折图形中，要把握住“两点一线”，“两点”就是重合的两点，“一线”即为对称轴. 一般地，重合的部分有“等腰”，不重合的部分考虑勾股定理.

解：设AF=x，则BF=8-x，易证FC=AF=x，

在Rt△BFC中，CF2=BF2+BC2，

∴x2=（8-x）2+42. 解得x=5.

∴S△AFC=AF·BC=×5×4=10.

变式 如图2，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=8，把矩形纸片折叠，使点B和点D重合，折痕为EF.

求：DE、EF的长.

解：设DE=x，由翻折知，A′D=AB=4，

A′E=AE=8-x.

∵∠A′=∠A=90°，

∴DE2=A′E2+A′D2，

即x2=（8-x）2+42，解得x=5.

由翻折知∠BFE=∠DFE，∵AD∥BC，

∴∠DEF=∠BFE.

∴∠DFE=∠DEF. ∴DE=DF.

∵DC=AB=DA′，∴Rt△A′DE≌Rt△CDF.

∴BF=DF=DE=5.

在矩形CDGF中，DG=CF=3，∴EG=2.

∴EF===2.

例2 如图3所示，矩形ABCD中，AB=1，E、F分别为AD、CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD=______.

【分析】要求AD的长，只要在Rt△ACF中利用勾股定理求得BC的长即可，CF易知，故关键求BF的长，这由翻折和全等即求得A′B与A′F的长.

解：如图4所示，连接EF，△A′BE由△ABE翻折所得，又因为E为AD的中点，所以A′B=AB=1，AE=A′E=DE，易知Rt△A′EF

≌Rt△DEF.

又因为F为CD的中点，所以A′F=DF=CF=CD=.

在Rt△BCF中，BF=A′B+A′F=，所以BC===.

所以AD的长为.

评注：矩形翻折后会出现全等三角形、直角三角形，产生相等的线段和角，再利用勾股定理来求线段的长度.

变式 如图5所示，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部. 将AF延长交边BC于点G. 若=，则=______（用含k的代数式表示）.

【分析】把AD、AB用含k的代数式表示.

解：设CG=1，BG=k.

∵△AEF由△AED翻折所得，E是DC的中点，

∴EF=DE=EC，AF=AD=BC=k+1.

连接EG，易证△EFG≌△ECG，∴GF

=CG=1.

∴AG=AF+FG=k+2.

∵∠B=90°，∴AG2=BG2+AB2.

∴AB==2.

∴==.

评注：本题采用赋值法，有利于线段长度的计算.

例3 如图6所示，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N.

（1） 求证：CM=CN；

（2） 若△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，求的值.

解：（1） 由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM.在矩形ABCD中，AD∥BC，

∴∠ANM=∠CMN，∴∠CMN=∠CNM，∴CM=CN；

（2） 过点N作NH⊥BC于点H，则四边形NHCD是矩形，

∴HC=DN，NH=DC.

∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，

∴===3.

∴MC=3ND=3HC，MH=2HC.

设DN=x，则HC=x，MH=2x，

∴CM=3x=CN，

在Rt△CDN中，

DC==2x，

∴HN=2x.

在Rt△MNH中，

MN==2x.

∴==2.

（作者单位：江苏省常熟市昆承中学）

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图形的翻折是指把某个或部分图形沿某直线折叠，翻折部分的图形位置发生了变化，但形状和大小不变. 这类问题能很好地训练同学们的空间想象和逻辑思维能力，通常与直角三角形、等腰三角形、图形的全等、面积等知识关联，在近几年的中考中备受青睐. 现举例如下，供同学们参考.

例1 如图1所示，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为______.

【分析】矩形翻折图形中，要把握住“两点一线”，“两点”就是重合的两点，“一线”即为对称轴. 一般地，重合的部分有“等腰”，不重合的部分考虑勾股定理.

解：设AF=x，则BF=8-x，易证FC=AF=x，

在Rt△BFC中，CF2=BF2+BC2，

∴x2=（8-x）2+42. 解得x=5.

∴S△AFC=AF·BC=×5×4=10.

变式 如图2，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=8，把矩形纸片折叠，使点B和点D重合，折痕为EF.

求：DE、EF的长.

解：设DE=x，由翻折知，A′D=AB=4，

A′E=AE=8-x.

∵∠A′=∠A=90°，

∴DE2=A′E2+A′D2，

即x2=（8-x）2+42，解得x=5.

由翻折知∠BFE=∠DFE，∵AD∥BC，

∴∠DEF=∠BFE.

∴∠DFE=∠DEF. ∴DE=DF.

∵DC=AB=DA′，∴Rt△A′DE≌Rt△CDF.

∴BF=DF=DE=5.

在矩形CDGF中，DG=CF=3，∴EG=2.

∴EF===2.

例2 如图3所示，矩形ABCD中，AB=1，E、F分别为AD、CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD=______.

【分析】要求AD的长，只要在Rt△ACF中利用勾股定理求得BC的长即可，CF易知，故关键求BF的长，这由翻折和全等即求得A′B与A′F的长.

解：如图4所示，连接EF，△A′BE由△ABE翻折所得，又因为E为AD的中点，所以A′B=AB=1，AE=A′E=DE，易知Rt△A′EF

≌Rt△DEF.

又因为F为CD的中点，所以A′F=DF=CF=CD=.

在Rt△BCF中，BF=A′B+A′F=，所以BC===.

所以AD的长为.

评注：矩形翻折后会出现全等三角形、直角三角形，产生相等的线段和角，再利用勾股定理来求线段的长度.

变式 如图5所示，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部. 将AF延长交边BC于点G. 若=，则=______（用含k的代数式表示）.

【分析】把AD、AB用含k的代数式表示.

解：设CG=1，BG=k.

∵△AEF由△AED翻折所得，E是DC的中点，

∴EF=DE=EC，AF=AD=BC=k+1.

连接EG，易证△EFG≌△ECG，∴GF

=CG=1.

∴AG=AF+FG=k+2.

∵∠B=90°，∴AG2=BG2+AB2.

∴AB==2.

∴==.

评注：本题采用赋值法，有利于线段长度的计算.

例3 如图6所示，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N.

（1） 求证：CM=CN；

（2） 若△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，求的值.

解：（1） 由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM.在矩形ABCD中，AD∥BC，

∴∠ANM=∠CMN，∴∠CMN=∠CNM，∴CM=CN；

（2） 过点N作NH⊥BC于点H，则四边形NHCD是矩形，

∴HC=DN，NH=DC.

∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，

∴===3.

∴MC=3ND=3HC，MH=2HC.

设DN=x，则HC=x，MH=2x，

∴CM=3x=CN，

在Rt△CDN中，

DC==2x，

∴HN=2x.

在Rt△MNH中，

MN==2x.

∴==2.

（作者单位：江苏省常熟市昆承中学）

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图形的翻折是指把某个或部分图形沿某直线折叠，翻折部分的图形位置发生了变化，但形状和大小不变. 这类问题能很好地训练同学们的空间想象和逻辑思维能力，通常与直角三角形、等腰三角形、图形的全等、面积等知识关联，在近几年的中考中备受青睐. 现举例如下，供同学们参考.

例1 如图1所示，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为______.

【分析】矩形翻折图形中，要把握住“两点一线”，“两点”就是重合的两点，“一线”即为对称轴. 一般地，重合的部分有“等腰”，不重合的部分考虑勾股定理.

解：设AF=x，则BF=8-x，易证FC=AF=x，

在Rt△BFC中，CF2=BF2+BC2，

∴x2=（8-x）2+42. 解得x=5.

∴S△AFC=AF·BC=×5×4=10.

变式 如图2，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=8，把矩形纸片折叠，使点B和点D重合，折痕为EF.

求：DE、EF的长.

解：设DE=x，由翻折知，A′D=AB=4，

A′E=AE=8-x.

∵∠A′=∠A=90°，

∴DE2=A′E2+A′D2，

即x2=（8-x）2+42，解得x=5.

由翻折知∠BFE=∠DFE，∵AD∥BC，

∴∠DEF=∠BFE.

∴∠DFE=∠DEF. ∴DE=DF.

∵DC=AB=DA′，∴Rt△A′DE≌Rt△CDF.

∴BF=DF=DE=5.

在矩形CDGF中，DG=CF=3，∴EG=2.

∴EF===2.

例2 如图3所示，矩形ABCD中，AB=1，E、F分别为AD、CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD=______.

【分析】要求AD的长，只要在Rt△ACF中利用勾股定理求得BC的长即可，CF易知，故关键求BF的长，这由翻折和全等即求得A′B与A′F的长.

解：如图4所示，连接EF，△A′BE由△ABE翻折所得，又因为E为AD的中点，所以A′B=AB=1，AE=A′E=DE，易知Rt△A′EF

≌Rt△DEF.

又因为F为CD的中点，所以A′F=DF=CF=CD=.

在Rt△BCF中，BF=A′B+A′F=，所以BC===.

所以AD的长为.

评注：矩形翻折后会出现全等三角形、直角三角形，产生相等的线段和角，再利用勾股定理来求线段的长度.

变式 如图5所示，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部. 将AF延长交边BC于点G. 若=，则=______（用含k的代数式表示）.

【分析】把AD、AB用含k的代数式表示.

解：设CG=1，BG=k.

∵△AEF由△AED翻折所得，E是DC的中点，

∴EF=DE=EC，AF=AD=BC=k+1.

连接EG，易证△EFG≌△ECG，∴GF

=CG=1.

∴AG=AF+FG=k+2.

∵∠B=90°，∴AG2=BG2+AB2.

∴AB==2.

∴==.

评注：本题采用赋值法，有利于线段长度的计算.

例3 如图6所示，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N.

（1） 求证：CM=CN；

（2） 若△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，求的值.

解：（1） 由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM.在矩形ABCD中，AD∥BC，

∴∠ANM=∠CMN，∴∠CMN=∠CNM，∴CM=CN；

（2） 过点N作NH⊥BC于点H，则四边形NHCD是矩形，

∴HC=DN，NH=DC.

∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，

∴===3.

∴MC=3ND=3HC，MH=2HC.

设DN=x，则HC=x，MH=2x，

∴CM=3x=CN，

在Rt△CDN中，

DC==2x，

∴HN=2x.

在Rt△MNH中，

MN==2x.

∴==2.

（作者单位：江苏省常熟市昆承中学）

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