饮马问题的拓展与应用

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(杭州市公益中学 浙江杭州 310014)

1 走进数学故事

唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头2句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．

如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点A出发，走到河边饮马后再到点B宿营．请问怎样走才能使总路程最短？

这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？

从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传开来[1]．

对称性在初等数学到高等数学中都有着广泛的应用，利用对称性求最值的问题伴随着学生从小学到大学的数学学习过程.在恰当的时机引领学生对对称性问题进行合理地探索，显得迫切而必要．

图1 图2

2 探索数学本真

如图2所示，从点A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取A关于河岸的对称点A′，联结A′B，与河岸线相交于点C，则点C就是饮马的地方.将军只要从点A出发，沿直线走到点C，饮马之后，再由点C沿直线走到点B，所走的路程就是最短的．如果将军在河边的另外任一点C′饮马，所走的路程就是AC′+C′B，但是

AC′+C′B=A′C′+C′B>A′B=

A′C+CB=AC+CB.

可见，在点C外任何一点C′饮马，所走的路程都要远一些．由作法可知，河流l相当于线段AA′的中垂线，因此AC=A′C.将军走的路程是AC+BC，就等于A′C+BC，而由两点之间线段最短知，当点C为直线A′B与直线l的交点时，AC+BC最短．

当然，若取点B的对称点B′，联结AB′，结论亦然．

初中阶段的图形变换包括对称变换、平移变换、旋转变换与相似变换，通过对称变换的探索，使学生掌握研究图形变换的思想方法，实现思维迁移，达到举一反三的目的．

3 初步感知变式

变式1如图3所示，若点A到直线L的距离AC是3千米，点B到直线L的距离BD是1千米，并且点C,D的距离为4千米，在直线L上找一点P，使PA+PB的值最小，并求这个最小值．

图3

变式2如图4所示，在直角坐标系xOy中，x轴上的动点M(x，0)到定点P(-8，1)和到Q(4，5)的距离分别为MP和MQ，当MP+MQ取最小值时，求点M的横坐标．

图4 图5

分析如图5，作点P(-8，1)关于x轴的对称点P′(-8，-1)，当M为直线P′Q与x轴的交点时，MP+MQ的值最小．

图6 图7

饮马问题的核心是怎样将原问题化归为两点之间线段最短的问题．通过设置不同的问题背景，在变式过程中让学生感悟这种化归思想，提升学生分析问题与解决问题的能力．

3 探索拓展应用

拓展1如果饮马人从图8中的点A出发到笔直的河岸l去饮马，且沿河走一段路程a，然后再去B地，走什么样的路线最短呢？

图8

分析考虑到饮马人必须在河边走一段路程a，然后再去B地，可以先将点B平移至点E，再用“饮马问题”的模型来求解．

如图8，作点A关于直线l的对称点A′，过点B作BE∥l，且BE=a，联结A′E交l于点P，在l上截取PD=a，且点B,D在直线EP的同侧，采取的路线为A→P→D→B时，总路程最短．

例1如图9所示，已知点A(3，4)，B(-1，1)，在x轴上另取2个点E,F(点F在点E的右侧)，且EF=1．线段EF在x轴上平移，当线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标．

图9 图10

拓展2如图11所示，如果饮马人从点A出发，先到笔直的草地边l1的某一处牧马，再到笔直的河岸l2去饮马，然后回到B处，走什么样的路线最短？

图11

分析本题实际上是“饮马问题”的组合，分别作点A关于l1的对称点A′，点B关于l2的对称点B′，就可找到最短的线路．联结A′B′分别交直线l1,l2于点P,Q，联结AP,PQ,BQ，采取的路线为A→P→Q→B时，可使总路程最短．

例2如图12所示，∠AOB=45°，角内有一点P，PO=10，在角的2条边上有点Q,R(均不同于点O)，问△PQR周长的最小值是多少？此时，∠QPR的度数是多少？

图12 图13

此时，因为∠OPQ=∠OP1Q=45°，∠OPR=∠OP1R=45°，所以∠QPR的度数为90°．

拓展3如图14所示，如果饮马人从边AC上的一点P出发，先到笔直的草地边AB的某一处牧马，再到与草地边AB垂直的笔直河岸BC去饮马，然后回到P处，如何确定点P的位置，使得所走的路线最短？

图14 图15

分析如图15，分别作点P关于AB,AC的对称点P′,P″，联结BP′，BP″,可证△ABP′≌△A′BP″，可得点P′,B,P″共线，因此折线P′D,DE,EP″的最短路程是P′P″．因为平行线之间垂线段最短，所以当P′P″⊥AC′时，P′P″最短．

图16

例3如图16所示，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，D,E,F分别是边AB,BC,CA上的点，求DE+EF+FD的最小值.

分析由拓展3的分析可知：DE+EF+FD的最小值为P′P″，而当P′P″⊥AC′时，P′P″的值最小．本题中，由AB=3，BC=4可得

饮马问题的拓展变式在中考、竞赛与提前招生试题中屡屡出现.教师引导学生经历拓展过程，对于激发学生学习数学的乐趣、提高思维与探索能力不无裨益.当然，我们也更加期待新的拓展与变式的出现．

4 总结归纳升华

通过一系列的探索可知，将军饮马问题的实质：(1)求最短路线问题，通过几何变换找对称图形；(2)把点A,B在直线同侧的问题转化为在直线的2侧的问题，化折线为直线；(3)利用“两点之间线段最短”与“平行线之间垂线段最短”加以解决．

参 考 文 献

[1] 李柱南.饮马问题[J].湖南教育：数学教师，2008(6)：46.