概率统计内容的竞赛元素分析

●

(台州初级中学 浙江临海 317000)

概率与统计是近几年新增加的竞赛内容,统计的内容包括收集、整理并分析与某一事件相关的数据，进而作出推断与预测；而概率则是在此基础上研究这些数据的规律，进而推断某一事件发生可能性的大小，它们密切相关.由于这类试题对学生的统计推理能力、创造性思维能力、发散性思维能力、数据分析能力等均提出了较高的要求，因此，概率统计问题也成为竞赛试题中的常见题型.现以近几年的竞赛试题为例，谈谈概率统计内容在竞赛试题中的呈现形式及赛点分析.

1 统计类试题的竞赛元素

近几年的统计类竞赛试题以实际问题为背景，考查学生选取适当的统计量进行数据分析并解决实际问题的能力,有些试题还考查了学生利用数据进行逻辑或合情推理的能力.

1.1 考查学生的识图能力

例1某校为提高学生的环保意识，对部分学生进行了一次环保知识测试(分值为整数，总分100分)，测试成绩最低分为53分，现将相关数据收集并分别绘制成如下统计表1和统计图1，请回答下列问题：

表1 每个分数段的人数

图1

(1)本次测试的总人数为多少？

(2)成绩在76.5～84.5范围内的人数为多少？

(3)本次成绩的中位数落在哪个小组内？

(4)成绩在84.5～89.5之间的人数为多少？

(2006年 TRULY信利杯全国初中数学联赛试题)

分析(1)45人.

(2)12人.

(3)这次测试成绩的中位数落在76.5～84.5这一小组内.

(4)成绩在84.5～89.5之间的人数为5人.

注近几年有关统计的竞赛题通常以选择题与填空题的形式呈现，很少出现解答题，但随着新课改的深入及社会发展的需要，统计观念的培养已成为课程教学的重要目标之一.因此，学生收集数据、整理与描述数据的能力、作图与识图能力以及统计意识的培养都是竞赛和中考的基本要求.本题考查了学生从频数分布直方图及统计表中获取信息并解决实际问题的能力.

1.2 考查学生的数据分析能力

例2校七年级篮球队因训练需要准备买一批运动鞋.已知该队有20名同学，各同学的鞋码见统计表2.由于不小心弄脏了表格，有2个数据看不到.

表2 不同鞋码的人数

请对表2中的数据进行分析，下列说法中正确的是

( )

A.中位数是40，众数是39

B.中位数与众数一定相等

C.平均数一定处于39与40之间

D.以上说法全错

(2008年全国初中数学联赛海南赛区初赛试题)

分析据中位数、众数的定义可判定选项A错误；对于选项B，分析极端情况后可知，中位数与众数的关系不能确定，故B错误；对于选项C，假设剩余10人全部穿39码鞋或全部穿40码鞋，可以判断C正确.

注数据分析是统计的核心内容，本题考查了学生灵活运用平均数、众数、中位数等不同统计量进行数据分析的能力，同时还考查了学生利用极端方法分析问题、解决问题的能力.

1.3 考查学生的统计推理能力

例3从鱼塘打捞草鱼300尾，从中任选10尾，称得每尾的质量分别是1.5，1.6，1.4，1.6，1.2，1.7，1.5，1.8，1.3，1.4(单位：千克)，估计这300尾草鱼的总质量大约是

( )

A.450千克 B.150千克

C.45千克 D.15千克

(2007年全国初中数学联赛广东赛区初赛试题)

分析本题取材自生活中常见的统计问题.先利用算术平均数的意义计算每尾鱼的平均质量是1.5千克，再用样本估计总体的思想推断这300尾草鱼的总质量大约为300×1.5=450千克.故选A.

注统计推理属于合情推理的范畴，是一种可能性的推理，与其他推理不同的是，由统计推理得到的结论无法用逻辑的方法去检验，只有靠实践来证实.本题的估值属于统计推理，考查的内容是用样本平均数推断总体平均数，让学生体会用样本估计总体的思想，理解其合理性，推断并解决生活中的问题.

1.4 结合方程、不等式等知识考查学生的综合应用能力

(2012年四川省初中数学竞赛初赛试题)

分析设A,B这2组数原来的平均数分别为a和b，A组数原来有m个数，则B组数原来有15-m个数，从而

由式(2)得 2a=21-m,

(4)

由式(3)得 2b=36-m,

(5)

将式(4)，式(5)分别代入式(1)可得m=10，进而得a=5.5，b=13.

例5设a,b,c的平均数为M，a和b的平均数为N，N和c的平均数为P.若a>b>c，则M与P的大小关系是

( )

A.M=PB.M>P

C.M

(2000年全国初中数学联赛试题)

又a>b>c,

所以

即M-P>0，因此M>P.故选B.

注理解平均数的意义，结合方程(组)与不等式(组)的知识是解题的关键所在.

2 概率类试题的竞赛元素

2.1 考查概率的求解方法

初中阶段概率的求法除了列举法、列表法、树状图法外，还有面积法及频率估计概率的方法，若稍加拓展，还能借助排列组合的方法确定事件发生的个数.除此之外，乘法原理、加法原理也能应用在概率的求解中.

例6在分别标有号码2，3，4，…，10的9个球中，随机取出2个球，记下它们的标号，则较大标号被较小标号整除的概率是

( )

(2013年全国初中数学联赛试题)

例7如图2，有5张点数分别为2，3，7，8，9的扑克牌，从中任意抽取2张，则其点数之积是偶数的概率为______．

图2

(2011年全国初中数学联赛河南赛区复赛试题)

分析根据题意，当不考虑抽牌顺序时，可以画出如图3所示的树形图：

图3

注本题用树状图求解.当决定事件发生可能性的元素超过2个时，常用树状图来形象、清晰地反映事件发生的可能性.

例8一个袋子中装有4个相同的小球，它们分别标有号码1,2,3,4.摇匀后随机取出一球，记下号码后放回；再将小球摇匀，并从袋中随机取出一球，则第2次取出的球的号码不小于第1次取出的球的号码的概率为

( )

(2012年全国初中数学联赛天津赛区初赛试题)

注本题用乘法原理与加法原理求解.乘法原理是指完成一件事情要分m步，第1步有n1种方法，第2步有n2种方法，…，第m步有nm种方法，则完成这件事情的不同方法总数为

N=n1×n2×…×nm.

加法原理是指完成一件事情可以分为m类，第1类有n1种方法，第2类有n2种方法，…，第m类有nm种方法，则完成这件事情的不同方法总数为

N=n1+n2+…+nm.

分步时，要保证分步后任务恰好能完成，分类时标准前后要统一，不重不漏.

例9甲、乙2个人约定在早上7～8时之间在运动场门口会面，他们约定先到者应等候另一个人15分钟，过时即可离去，那么2个人见面的概率是______．

图4

注用几何图形的面积关系来求概率的试题较多，但本题的难点在于如何构图来表示面积.本题借助了一次函数的图像特征，将时间分别用x，y的坐标来表示，从而把时间长度这样的一维问题转化为平面图形的二维面积问题，最后对面积求解而得到概率.

2.2 概率与方程(组)、不等式(组)结合

(第21届希望杯全国初中数学联赛初二组试题)

分析先将原方程2边同乘以x2-3x+2，并化简为整式方程:

(x-2)+a(x-1)=2(a+1)，

即

(a+1)x=3a+4，

( )

(2009年“《数学周报》杯”全国初中数学联赛试题)

分析根据方程组解的意义，分2种情况讨论如下：

(1)当2a-b=0时，方程组无解．

(2)当2a-b≠0时，方程组的解为

由已知得

解得

注概率与方程(组)、不等式(组)结合的试题，解题一般从方程(组)、不等式(组)入手，分析出解的情况后，再结合概率的意义进行求解.

2.3 概率与函数结合

例12在函数y=-x+5上取5个点，其横坐标分别为1，2，3，4，5，试问：在这5个点中随机取2个点P(x1,y1)，Q(x2,y2),则点P,Q在同一反比例函数图像上的概率是______.

分析依题意，5个点中任意取2个点有10种可能的情况，通过验证可知有2个点满足条件，故答案为0.2.

例13将一枚质地均匀的正方体骰子6个面分别编号为1，2，3，4，5，6，先后投掷2次，若将2个正面朝上的编号分别记为m，n，则二次函数y=x2+mx+n的图像与x轴有2个不同交点的概率是

( )

(2013年“《数学周报》杯”全国初中数学联赛试题)

注以函数知识为载体的概率试题，多数情况下是以函数知识为主来考查概率的求法.

2.4 概率与游戏结合

①过第1关是必然事件；

③可以过第4关；

④过第5关的概率大于0.

其中，正确说法的个数是______.

(2008年全国初中数学联赛天津赛区初赛试题)

例15一场数学游戏在2个非常聪明的学生甲、乙之间进行，裁判在黑板上先写出整数2，3，…，2 006，然后随意擦去一个数，接下来由甲、乙2个人轮流擦去一个数(即乙先擦去其中的一个数，然后甲再擦去一个数，如此下去)，若最后剩下的2个数互质，则判甲胜；否则，则乙胜.按照这种游戏规则，则甲获胜的概率是______(用具体数字作答).

(2007年全国数学联赛四川赛区初赛试题)

注用概率的思维理解游戏规则是解题的关键，有些与游戏结合的概率题还涉及到对学生思维要求更高的组合问题，包括染色原理、数论、抽屉原理等知识.

综合以上分析可知，概率统计类竞赛试题形式新颖，内容丰富，它在与其他数学知识整合的同时，逐步趋向于以生活实际为载体，考查学生应用概率统计知识解决实际问题的能力，体现了对学生数学思维品质的更高要求.从另一个角度来讲，在信息化社会中，掌握一定的概率统计知识，会用统计的眼光看问题，会从数字中提取有用信息进行正确决策，对学生的成长意义更重大.因此，教师要注重培养学生的统计意识，辅助学生形成概率思维.