导数在高中数学中的应用

廖仲益

自从导数加入中学数学教材，我们研究和解决函数等数学问题便有了更加有效、简便的工具。结合历年高考，导数的应用主要表现在4个方面：①切线的斜率（导数的几何意义）；②函数的单调性；③函数的极值；④函数的最值(不等式恒成立)。

导数一旦与函数、向量、解析几何等结合起来，问题的设计便更加广阔。在近年高考中有不少精彩的题目，而且有些是压轴题，在本文中，我将对“导数在高中数学中的应用”常见考题型作一些初步的探讨。

一、对导数几何意义的考查

例1若过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为 。

解析y′＝ex，设切点的坐标为(x0，y0)则y0-x0＝ex0，即ey0-x0＝ex0，∴x0＝1。

因此切点的坐标为(1，e)，切线的斜率为e.这是考察求导法则，函数图象与切线的关系及方程实根的关系等基础知识，考察导数的几何意义。这个高考中的基本题型。

二、判断函数的单调性

函数的单调性是函数最基本的性质之一，是我们研究函数所要掌握的最基本的知识。它在中学数学中的用处是非常广泛的，其思维方法有：①利用增（减）函数的定义判断单调性；②导数法。利用在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增（或递减）的充要条件是f'(x)≥0（或f'(x)≤0），x∈(a,b)恒成立（但f'(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0）。

方法一：化简较为繁琐，比较适合解决抽象函数的单调性问题，而用导数知识来判断函数的单调性既快捷又容易掌握，特别是对于具体函数更加适用。

例题2．设函数f(x)=x- 1-x-aln x(a∈R)．

（1）讨论f(x)的单调性。

（2）若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直线的斜率为k。问：是否存在a，使得k＝2－a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。

思路分析：先求导，通分后发现f′(x)的符号与a有关，应对a进行分类，依据方程的判别式来分类。

解析：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)． f'(x)＝1＋1-x2－a-x＝.

令g(x)＝x2－ax＋1，其判别式Δ＝a2－4.

①当|a|≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增。

②当a＜－2时，Δ＞0，g(x)＝0的两根都小于0.在(0，＋∞)上，f′(x)＞0.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增。

③当a＞2时，Δ＞0，g(x)＝0的两根为x1＝，x2＝.

当0＜x＜x1时，f′(x)＞0，当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；当x＞x2时，f′(x)＞0.故f(x)分别在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减。

（2）由（1）知，a＞2，因为f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋－a(ln x1－ln x2)，所以，k＝＝1＋－a·.又由（1）知，x1x2＝1，于是k＝2－a·.

若存在a，使得k＝2－a，则＝1.即ln x1－ln x2＝x1－x2.

由x1x2＝1得x2－1-x2－2ln x2＝0(x2＞1)．（*）

再由（1）知，函数h(t)＝t－1-t－2ln t在(0，＋∞)上单调递增，而x2＞1，所以x2－1-x2－2ln x2＞1－11－2 ln 1＝0.这与（*）式矛盾。故不存在a，使得k＝2－a。

点评：本题充分体现了分类讨论思想.近几年新课标高考常考查含参数的导数问题，难度中等偏上，考生最容易失分的就是对参数的分类标准把握不准，导致分类不全等情况。

三、求函数极值或最值

最值问题是高中数学的一个重点，也是一个难点，它涉及到了高中数学知识的各个方面，要解决这类问题往往需要各种技能，并且需要选择合理的解题途径.用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，学生也好掌握。应注意函数的极值与最值的区别与联系，极值是一个局部性概念，最值是某个区间的整体性概念。

例题3 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：

3x－y＋1＝0，若x＝2-3时，y＝f(x)有极值。

求a，b，c的值；求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值。

解析：（1）由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0.①

当x＝2-3时，y＝f(x)有极值，则f′(2-3)＝0，可得4a＋3b＋4＝0.②

由①②解得a＝2，b＝－4.由于切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4，

∴1＋a＋b＋c＝4，∴c＝5.

∴a＝2，b＝－4，c＝5.

（2）由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，

∴f′(x)＝3x2＋4x－4，

令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2-3. 当x变化时，y、y′的取值及变化如下表：

x -3 (-3，-2) -2 (-2,2-3) 2-3 ( 2-3,1) 1

y' + 0 - 0 +

y 8 单调递增↗ 13 单调递减↘ 95-27 单调递增↗ 4

∴y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.

四、讨论方程解的个数

例4 a∈R，讨论关于x的方程lnx=ax的解的个数。

分析：这道题是属于超越方程的问题,直接求出x有一定的困难,因此可以利用导数的知识，用数形结合的方法来做.先作一条与曲线相切的直线y=kx，求出k的值；再根据a的取值范围，讨论方程lnx=ax的解的个数。

解：依题意可知，方程lnx=ax的解的个数就是直线y=ax与曲线y=lnx的交点的个数，设直线y=kx与曲线y=lnx相切于点P(t,lnt)则kt=lnt

∵(lnt)'= 1-t ∴1-t =k,kt=1=lnt ∴t=e,k= 1-e

由图可知，原方程当a≤0或a= 1-e时，有一个解；当0 1-e时，无解。

导数的应用问题涉及到很多内容，以上仅仅讨论了四个方面。还用于证明不等式恒等式等问题，现在我们在高中阶段学习导数的有关知识，可以开阔学生的视野，接触到极限等新的数学思想和方法，对数学的新发展将会有进一步的了解。同时，导数是我们研究中学数学的一个有力工具，可以解决许多问题，使我们更加牢固的掌握中学数学的内容，为我们进一步的学习打下了坚实的基础。