分段函数常见题型的解法

文/凌苏建

分段函数对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。它是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。由于课本没有明确给出分段函数的定义，只以例题的形式出现，不少学生对它的认识肤浅模糊，以致解题常常出错。本文归类介绍分段函数的若干种题型及其解法，以供大家参考.

题型一：求函数值

例1.（2012年山东高考卷8）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）2，当-1≤x＜3时，f（x）=x。则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=

（A）335 （B）338 （C）1678 （D）2012

分析：本题为已知分段函数求值问题，此函数有两段表达

式，利用函数的周期性将自变量化到已知段上来求值.

解析：（-3）=-1，f（-2）=0，f（-1）=-1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，而函数周期为6，f（1）+f（2）+···+f（2012）=335（-1+0-1+0+1+2）+f（1）+f（2）=335+3=338.

答案应选B.

例2.已知函数f（x）=■,若f(a)=8，求a.

分析：本题为已知函数值求自变量，应分段求a值，将符合要求的a值并起来即可，a=±2。

题型二：求函数值域或最值

例3.已知函数■的值域为

分析：分段函数的值域为各段函数值域的并集，分别求出各段的值域即可，值域为［-8，1］

例4.设a＞0，函数f（x）=x2+alnx-1，求函数f（x）在［1，+∞）的最小值.

分析：去绝对值后可化为分段函数，然后分段求最小值，再比较各段的最小值确定函数的最小值。

解析：f（x）=■

（1）当x≥e时，通过求导知f（x）在［e，+∞）上是增函数，所以ymin=f（e）=e2。

（2）当1≤x

①当■≤1，即0

②当1<■

③当■≥e即a≥2e2时，ymin=f（e）=e2。综上所述：f（x）的最小值为e2

题型三：求函数的解析式

例5.（2013年安徽高考卷14）定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x）.若当0≤x≤1时，f（x）=x（1-x），则当-1≤x≤0时，f（x）=________________。

分析：根据已知段解析式，通过条件变换求出另一段函数解析式。

解析：当-1≤x≤0时，0≤x+1≤1,∴f（x+1）=（x+1）[1-（x+1）]=-x（x+1），又f（x+1）=2f（x），∴f（x）=-■x（x+1）.

例6.（2012年江苏高考卷10）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间［-1，1］上，f（x）=■其中a，b∈R，若f（■）=f（■），则a+3b的值为

分析：本题求a+3b，事实上可以看作是求函数的解析式。

解析：由f（■）=f（■）和周期为2得f（■）=f（-■）,∴3a+2b+2=0.挖掘隐含条件f(-1)=f（1）可得2a+b=0.∴a=2,b=-4，a+3b=-10

题型四：解不等式

例7.（2011年辽宁高考卷9）设函数f（x）=■，则满足f（x）≤2的x的取值范围是

（A）［-1，2］ （B）［0，2］ （C）［1，+∞） （D）［0，+∞）

分析：分段分别解不等式,最后再求各段的并集。

解析：当x≤1时21-x≤2，∴0≤x≤1当x>1时，综上x≥0,选D

题型五：求单调区间或已知单调性求参数

例8.已知函数f（x）=■,则单调增区间为

分析：本题是分段函数求单调区间问题，一定要注意两段函数的端点值，本题增区间为（-∞，+∞）；若将第二段改为f（x）=x+1，那么单调增区间为（-∞，1）和（1，+∞）。

例9.已知f（x）=■是（-∞，+∞）上的减函数，则实数的取值范围是 。

分析：由于函数是R上的减函数，因此每一段函数都必须是减函数，可得a的范围为（0，■），但是还要考虑两段的端点值的大小，x=1时（3a-1）x+4a≥loga x，a的范围为［■，■）.

题型六：求参数

例10.（2011年江苏高考卷11）已知实数，函数f（x）=■，若f（1-a）=（1+a），则a的值为________.

分析:用分类讨论a≥0和a<0,从而将1-a,1+a与1的大小关系明确.

解析:当a≥0时，1-a≤1，1+a≥1，∴a=-■（舍去）；当a<0时，1+a<1，1-a>1 ∴a=-■

例11.（2011年北京高考卷13）已知函数f（x）=■若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是_______.

分析：数形结合是数学上常用的方法，本题通过作出函数的图象，易知k∈（0，1）

分段函数作为一种特殊函数，不但满足函数的一切性质，而且还具有自身固有的特征，近几年各地高考卷中不断出现分段函数题，充分体现了分段函数的重要性，通过以上几种题型的归类、总结和探究，我们可以掌握分段函数的常规解法，今后对分段函数可以应对自如。

编辑 谢尾合

分段函数对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。它是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。由于课本没有明确给出分段函数的定义，只以例题的形式出现，不少学生对它的认识肤浅模糊，以致解题常常出错。本文归类介绍分段函数的若干种题型及其解法，以供大家参考.

题型一：求函数值

例1.（2012年山东高考卷8）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）2，当-1≤x＜3时，f（x）=x。则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=

（A）335 （B）338 （C）1678 （D）2012

分析：本题为已知分段函数求值问题，此函数有两段表达

式，利用函数的周期性将自变量化到已知段上来求值.

解析：（-3）=-1，f（-2）=0，f（-1）=-1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，而函数周期为6，f（1）+f（2）+···+f（2012）=335（-1+0-1+0+1+2）+f（1）+f（2）=335+3=338.

答案应选B.

例2.已知函数f（x）=■,若f(a)=8，求a.

分析：本题为已知函数值求自变量，应分段求a值，将符合要求的a值并起来即可，a=±2。

题型二：求函数值域或最值

例3.已知函数■的值域为

分析：分段函数的值域为各段函数值域的并集，分别求出各段的值域即可，值域为［-8，1］

例4.设a＞0，函数f（x）=x2+alnx-1，求函数f（x）在［1，+∞）的最小值.

分析：去绝对值后可化为分段函数，然后分段求最小值，再比较各段的最小值确定函数的最小值。

解析：f（x）=■

（1）当x≥e时，通过求导知f（x）在［e，+∞）上是增函数，所以ymin=f（e）=e2。

（2）当1≤x

①当■≤1，即0

②当1<■

③当■≥e即a≥2e2时，ymin=f（e）=e2。综上所述：f（x）的最小值为e2

题型三：求函数的解析式

例5.（2013年安徽高考卷14）定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x）.若当0≤x≤1时，f（x）=x（1-x），则当-1≤x≤0时，f（x）=________________。

分析：根据已知段解析式，通过条件变换求出另一段函数解析式。

解析：当-1≤x≤0时，0≤x+1≤1,∴f（x+1）=（x+1）[1-（x+1）]=-x（x+1），又f（x+1）=2f（x），∴f（x）=-■x（x+1）.

例6.（2012年江苏高考卷10）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间［-1，1］上，f（x）=■其中a，b∈R，若f（■）=f（■），则a+3b的值为

分析：本题求a+3b，事实上可以看作是求函数的解析式。

解析：由f（■）=f（■）和周期为2得f（■）=f（-■）,∴3a+2b+2=0.挖掘隐含条件f(-1)=f（1）可得2a+b=0.∴a=2,b=-4，a+3b=-10

题型四：解不等式

例7.（2011年辽宁高考卷9）设函数f（x）=■，则满足f（x）≤2的x的取值范围是

（A）［-1，2］ （B）［0，2］ （C）［1，+∞） （D）［0，+∞）

分析：分段分别解不等式,最后再求各段的并集。

解析：当x≤1时21-x≤2，∴0≤x≤1当x>1时，综上x≥0,选D

题型五：求单调区间或已知单调性求参数

例8.已知函数f（x）=■,则单调增区间为

分析：本题是分段函数求单调区间问题，一定要注意两段函数的端点值，本题增区间为（-∞，+∞）；若将第二段改为f（x）=x+1，那么单调增区间为（-∞，1）和（1，+∞）。

例9.已知f（x）=■是（-∞，+∞）上的减函数，则实数的取值范围是 。

分析：由于函数是R上的减函数，因此每一段函数都必须是减函数，可得a的范围为（0，■），但是还要考虑两段的端点值的大小，x=1时（3a-1）x+4a≥loga x，a的范围为［■，■）.

题型六：求参数

例10.（2011年江苏高考卷11）已知实数，函数f（x）=■，若f（1-a）=（1+a），则a的值为________.

分析:用分类讨论a≥0和a<0,从而将1-a,1+a与1的大小关系明确.

解析:当a≥0时，1-a≤1，1+a≥1，∴a=-■（舍去）；当a<0时，1+a<1，1-a>1 ∴a=-■

例11.（2011年北京高考卷13）已知函数f（x）=■若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是_______.

分析：数形结合是数学上常用的方法，本题通过作出函数的图象，易知k∈（0，1）

分段函数作为一种特殊函数，不但满足函数的一切性质，而且还具有自身固有的特征，近几年各地高考卷中不断出现分段函数题，充分体现了分段函数的重要性，通过以上几种题型的归类、总结和探究，我们可以掌握分段函数的常规解法，今后对分段函数可以应对自如。

编辑 谢尾合

分段函数对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。它是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。由于课本没有明确给出分段函数的定义，只以例题的形式出现，不少学生对它的认识肤浅模糊，以致解题常常出错。本文归类介绍分段函数的若干种题型及其解法，以供大家参考.

题型一：求函数值

例1.（2012年山东高考卷8）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）2，当-1≤x＜3时，f（x）=x。则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=

（A）335 （B）338 （C）1678 （D）2012

分析：本题为已知分段函数求值问题，此函数有两段表达

式，利用函数的周期性将自变量化到已知段上来求值.

解析：（-3）=-1，f（-2）=0，f（-1）=-1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，而函数周期为6，f（1）+f（2）+···+f（2012）=335（-1+0-1+0+1+2）+f（1）+f（2）=335+3=338.

答案应选B.

例2.已知函数f（x）=■,若f(a)=8，求a.

分析：本题为已知函数值求自变量，应分段求a值，将符合要求的a值并起来即可，a=±2。

题型二：求函数值域或最值

例3.已知函数■的值域为

分析：分段函数的值域为各段函数值域的并集，分别求出各段的值域即可，值域为［-8，1］

例4.设a＞0，函数f（x）=x2+alnx-1，求函数f（x）在［1，+∞）的最小值.

分析：去绝对值后可化为分段函数，然后分段求最小值，再比较各段的最小值确定函数的最小值。

解析：f（x）=■

（1）当x≥e时，通过求导知f（x）在［e，+∞）上是增函数，所以ymin=f（e）=e2。

（2）当1≤x

①当■≤1，即0

②当1<■

③当■≥e即a≥2e2时，ymin=f（e）=e2。综上所述：f（x）的最小值为e2

题型三：求函数的解析式

例5.（2013年安徽高考卷14）定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x）.若当0≤x≤1时，f（x）=x（1-x），则当-1≤x≤0时，f（x）=________________。

分析：根据已知段解析式，通过条件变换求出另一段函数解析式。

解析：当-1≤x≤0时，0≤x+1≤1,∴f（x+1）=（x+1）[1-（x+1）]=-x（x+1），又f（x+1）=2f（x），∴f（x）=-■x（x+1）.

例6.（2012年江苏高考卷10）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间［-1，1］上，f（x）=■其中a，b∈R，若f（■）=f（■），则a+3b的值为

分析：本题求a+3b，事实上可以看作是求函数的解析式。

解析：由f（■）=f（■）和周期为2得f（■）=f（-■）,∴3a+2b+2=0.挖掘隐含条件f(-1)=f（1）可得2a+b=0.∴a=2,b=-4，a+3b=-10

题型四：解不等式

例7.（2011年辽宁高考卷9）设函数f（x）=■，则满足f（x）≤2的x的取值范围是

（A）［-1，2］ （B）［0，2］ （C）［1，+∞） （D）［0，+∞）

分析：分段分别解不等式,最后再求各段的并集。

解析：当x≤1时21-x≤2，∴0≤x≤1当x>1时，综上x≥0,选D

题型五：求单调区间或已知单调性求参数

例8.已知函数f（x）=■,则单调增区间为

分析：本题是分段函数求单调区间问题，一定要注意两段函数的端点值，本题增区间为（-∞，+∞）；若将第二段改为f（x）=x+1，那么单调增区间为（-∞，1）和（1，+∞）。

例9.已知f（x）=■是（-∞，+∞）上的减函数，则实数的取值范围是 。

分析：由于函数是R上的减函数，因此每一段函数都必须是减函数，可得a的范围为（0，■），但是还要考虑两段的端点值的大小，x=1时（3a-1）x+4a≥loga x，a的范围为［■，■）.

题型六：求参数

例10.（2011年江苏高考卷11）已知实数，函数f（x）=■，若f（1-a）=（1+a），则a的值为________.

分析:用分类讨论a≥0和a<0,从而将1-a,1+a与1的大小关系明确.

解析:当a≥0时，1-a≤1，1+a≥1，∴a=-■（舍去）；当a<0时，1+a<1，1-a>1 ∴a=-■

例11.（2011年北京高考卷13）已知函数f（x）=■若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是_______.

分析：数形结合是数学上常用的方法，本题通过作出函数的图象，易知k∈（0，1）

分段函数作为一种特殊函数，不但满足函数的一切性质，而且还具有自身固有的特征，近几年各地高考卷中不断出现分段函数题，充分体现了分段函数的重要性，通过以上几种题型的归类、总结和探究，我们可以掌握分段函数的常规解法，今后对分段函数可以应对自如。

编辑 谢尾合