浅析高考对解析几何知识的考查

田艳玲

高考对解析几何的考查主要包括以下内容：直线与圆的方程、圆锥曲线等，在高考试卷中客观题主要考查直线斜率、直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆锥曲线的定义应用、标准方程的求解、离心率的计算等，而解答题则主要考查直线与椭圆、抛物线等的位置关系问题，经常与平面向量、函数与不等式交汇等，考查一些存在性问题、证明问题、定点与定值、最值与范围问题等，解析几何试题的特点是思维量大、运算量大，所以应加强对解析几何重点题型的训练。

典例分析：

典例1.已知椭圆■+■=1（0

解析：（1）由题设知b=c，又a=2■，所以b=c=2，故椭圆方程为■+■=1；

（2）因为M（0，2），所以直线l与x轴不垂直。设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1）B（x2，y2）。联立得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-8=0，又■·■=0，所以（x1，y1-2）·（x2，y2-2）=0，整理得（k2+1）■+k（m-2）（-■）+（m-2）2=0，因为m≠2，所以2（k2+1）（m+2）-4k2m+（2k2+1）（m-2）=0，展开整理得3m+2=0，即m=-■。直线l在y轴上的截距为定值-■。

动向解读：本题考查解析几何中的定点、定值问题，这是一类综合性较强的问题，以直线与圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数与方程多种数学思想方法进行求解。

典例2.已知圆C：（x-4）2+（y-m）2=16（m∈N*），直线4x-3y-16=0过椭圆E：■+■=1（a>b>0）的右焦点，且交圆C所得的弦长为■，点A（3,1）在椭圆E上。

（1）求m的值及椭圆E的方程；（2）设Q为椭圆E上的一个动点，求■·■的取值范围。

解析：（1）圆心C（4，m）到直线4x-3y-16=0的距离■=■，所以m=4或m=-4（舍去）。由AF1+AF2=2a，得椭圆E的方程为■+■=1。

（2）■=（1，3），设Q（x，y），则■=（x-3，y-1),设x+3y=n，

则联立得18y2-6ny+n2-18=0，?驻=（6n）2-4×18×（n2-18）≥0，所以-6≤n≤6，故■·■=x+3y-6的取值范围为［-12，0］。

动向解读：本题考查解析几何中的取值范围问题，综合性较强，需要综合运用函数、方程、不等式、平面向量等诸多数学知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数恒等变形能力、化简计算能力有较高的要求。

典例3.如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线于M、N两点，其准线l与x轴交于K点。（1）写出抛物线的焦点坐标及准线方程；

（2）求证：KF平分∠MKN；

（3）O为坐标原点，直线MO、NO分别交准线于点P、Q，设直线MN的倾斜角为θ，

试用θ表示线段PQ的长度|PQ|，并求|PQ|的最小值。

解析：（1）抛物线焦点坐标为F（1,0），准线方程为x=-1。

（2）设直线MN的方程为x=my+1。设M、N的坐标分别为（■，y1）（■，y2）

由■，∴y1+y2=4m，y1y2=-4

设KM和KN的斜率分别为k1，k2，显然只需证k1+k2=0即可。

（3）设M、N的坐标分别为（■，y1），（■，y2），由M，O，P三点共线可求出P点的坐标为（-1，■），由N，O，Q三点共线可求出Q点坐标为（-1，■），

设直线MN的方程为x=my+1。由■

则|PQ|＝|■-■|=■=■=■=4■

又直线MN的倾斜角为θ，则m=cotθ，θ∈（0，?仔），∴|PQ|=4■=■

∴θ=■时，|PQ|min=4

动向解读：本题考查抛物线的定义、直线与其位置关系等问题，是一道多知识点的综合性题，正体现了高考数学命题所追求的“在知识交汇点处命题”的原则。

总之，解析几何是高中数学的主线，解析几何与解三角形、向量等相关知识的综合又是高考中的热点之一，涉及面广，综合性强。因此复习时一定要梳理清相关知识，并加强训练，注重综合问题、探索问题等类型，使学生对基本问题运用自如，对几种考查形式了然于心。

编辑 鲁翠红

高考对解析几何的考查主要包括以下内容：直线与圆的方程、圆锥曲线等，在高考试卷中客观题主要考查直线斜率、直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆锥曲线的定义应用、标准方程的求解、离心率的计算等，而解答题则主要考查直线与椭圆、抛物线等的位置关系问题，经常与平面向量、函数与不等式交汇等，考查一些存在性问题、证明问题、定点与定值、最值与范围问题等，解析几何试题的特点是思维量大、运算量大，所以应加强对解析几何重点题型的训练。

典例分析：

典例1.已知椭圆■+■=1（0

解析：（1）由题设知b=c，又a=2■，所以b=c=2，故椭圆方程为■+■=1；

（2）因为M（0，2），所以直线l与x轴不垂直。设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1）B（x2，y2）。联立得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-8=0，又■·■=0，所以（x1，y1-2）·（x2，y2-2）=0，整理得（k2+1）■+k（m-2）（-■）+（m-2）2=0，因为m≠2，所以2（k2+1）（m+2）-4k2m+（2k2+1）（m-2）=0，展开整理得3m+2=0，即m=-■。直线l在y轴上的截距为定值-■。

动向解读：本题考查解析几何中的定点、定值问题，这是一类综合性较强的问题，以直线与圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数与方程多种数学思想方法进行求解。

典例2.已知圆C：（x-4）2+（y-m）2=16（m∈N*），直线4x-3y-16=0过椭圆E：■+■=1（a>b>0）的右焦点，且交圆C所得的弦长为■，点A（3,1）在椭圆E上。

（1）求m的值及椭圆E的方程；（2）设Q为椭圆E上的一个动点，求■·■的取值范围。

解析：（1）圆心C（4，m）到直线4x-3y-16=0的距离■=■，所以m=4或m=-4（舍去）。由AF1+AF2=2a，得椭圆E的方程为■+■=1。

（2）■=（1，3），设Q（x，y），则■=（x-3，y-1),设x+3y=n，

则联立得18y2-6ny+n2-18=0，?驻=（6n）2-4×18×（n2-18）≥0，所以-6≤n≤6，故■·■=x+3y-6的取值范围为［-12，0］。

动向解读：本题考查解析几何中的取值范围问题，综合性较强，需要综合运用函数、方程、不等式、平面向量等诸多数学知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数恒等变形能力、化简计算能力有较高的要求。

典例3.如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线于M、N两点，其准线l与x轴交于K点。（1）写出抛物线的焦点坐标及准线方程；

（2）求证：KF平分∠MKN；

（3）O为坐标原点，直线MO、NO分别交准线于点P、Q，设直线MN的倾斜角为θ，

试用θ表示线段PQ的长度|PQ|，并求|PQ|的最小值。

解析：（1）抛物线焦点坐标为F（1,0），准线方程为x=-1。

（2）设直线MN的方程为x=my+1。设M、N的坐标分别为（■，y1）（■，y2）

由■，∴y1+y2=4m，y1y2=-4

设KM和KN的斜率分别为k1，k2，显然只需证k1+k2=0即可。

（3）设M、N的坐标分别为（■，y1），（■，y2），由M，O，P三点共线可求出P点的坐标为（-1，■），由N，O，Q三点共线可求出Q点坐标为（-1，■），

设直线MN的方程为x=my+1。由■

则|PQ|＝|■-■|=■=■=■=4■

又直线MN的倾斜角为θ，则m=cotθ，θ∈（0，?仔），∴|PQ|=4■=■

∴θ=■时，|PQ|min=4

动向解读：本题考查抛物线的定义、直线与其位置关系等问题，是一道多知识点的综合性题，正体现了高考数学命题所追求的“在知识交汇点处命题”的原则。

总之，解析几何是高中数学的主线，解析几何与解三角形、向量等相关知识的综合又是高考中的热点之一，涉及面广，综合性强。因此复习时一定要梳理清相关知识，并加强训练，注重综合问题、探索问题等类型，使学生对基本问题运用自如，对几种考查形式了然于心。

编辑 鲁翠红

高考对解析几何的考查主要包括以下内容：直线与圆的方程、圆锥曲线等，在高考试卷中客观题主要考查直线斜率、直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆锥曲线的定义应用、标准方程的求解、离心率的计算等，而解答题则主要考查直线与椭圆、抛物线等的位置关系问题，经常与平面向量、函数与不等式交汇等，考查一些存在性问题、证明问题、定点与定值、最值与范围问题等，解析几何试题的特点是思维量大、运算量大，所以应加强对解析几何重点题型的训练。

典例分析：

典例1.已知椭圆■+■=1（0

解析：（1）由题设知b=c，又a=2■，所以b=c=2，故椭圆方程为■+■=1；

（2）因为M（0，2），所以直线l与x轴不垂直。设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1）B（x2，y2）。联立得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-8=0，又■·■=0，所以（x1，y1-2）·（x2，y2-2）=0，整理得（k2+1）■+k（m-2）（-■）+（m-2）2=0，因为m≠2，所以2（k2+1）（m+2）-4k2m+（2k2+1）（m-2）=0，展开整理得3m+2=0，即m=-■。直线l在y轴上的截距为定值-■。

动向解读：本题考查解析几何中的定点、定值问题，这是一类综合性较强的问题，以直线与圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数与方程多种数学思想方法进行求解。

典例2.已知圆C：（x-4）2+（y-m）2=16（m∈N*），直线4x-3y-16=0过椭圆E：■+■=1（a>b>0）的右焦点，且交圆C所得的弦长为■，点A（3,1）在椭圆E上。

（1）求m的值及椭圆E的方程；（2）设Q为椭圆E上的一个动点，求■·■的取值范围。

解析：（1）圆心C（4，m）到直线4x-3y-16=0的距离■=■，所以m=4或m=-4（舍去）。由AF1+AF2=2a，得椭圆E的方程为■+■=1。

（2）■=（1，3），设Q（x，y），则■=（x-3，y-1),设x+3y=n，

则联立得18y2-6ny+n2-18=0，?驻=（6n）2-4×18×（n2-18）≥0，所以-6≤n≤6，故■·■=x+3y-6的取值范围为［-12，0］。

动向解读：本题考查解析几何中的取值范围问题，综合性较强，需要综合运用函数、方程、不等式、平面向量等诸多数学知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数恒等变形能力、化简计算能力有较高的要求。

典例3.如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线于M、N两点，其准线l与x轴交于K点。（1）写出抛物线的焦点坐标及准线方程；

（2）求证：KF平分∠MKN；

（3）O为坐标原点，直线MO、NO分别交准线于点P、Q，设直线MN的倾斜角为θ，

试用θ表示线段PQ的长度|PQ|，并求|PQ|的最小值。

解析：（1）抛物线焦点坐标为F（1,0），准线方程为x=-1。

（2）设直线MN的方程为x=my+1。设M、N的坐标分别为（■，y1）（■，y2）

由■，∴y1+y2=4m，y1y2=-4

设KM和KN的斜率分别为k1，k2，显然只需证k1+k2=0即可。

（3）设M、N的坐标分别为（■，y1），（■，y2），由M，O，P三点共线可求出P点的坐标为（-1，■），由N，O，Q三点共线可求出Q点坐标为（-1，■），

设直线MN的方程为x=my+1。由■

则|PQ|＝|■-■|=■=■=■=4■

又直线MN的倾斜角为θ，则m=cotθ，θ∈（0，?仔），∴|PQ|=4■=■

∴θ=■时，|PQ|min=4

动向解读：本题考查抛物线的定义、直线与其位置关系等问题，是一道多知识点的综合性题，正体现了高考数学命题所追求的“在知识交汇点处命题”的原则。

总之，解析几何是高中数学的主线，解析几何与解三角形、向量等相关知识的综合又是高考中的热点之一，涉及面广，综合性强。因此复习时一定要梳理清相关知识，并加强训练，注重综合问题、探索问题等类型，使学生对基本问题运用自如，对几种考查形式了然于心。

编辑 鲁翠红