数学教学中如何引导学生寻找正确的解题思路

马丛祥

〔关键词〕 数学教学；解题思路；寻找

〔中图分类号〕 G633.6〔文献标识码〕 C

〔文章编号〕 1004—0463（2014）11—0082—01

数学课堂教学的一个重要任务就是要培养学生的思维能力,即指导学生用数学的眼光、数学的思想去分析问题和解决问题.笔者根据多年来的教学实践和研究体会,就数学课堂教学中如何引导学生寻找正确的解题思路，谈谈自己的体会和看法.

一、每提出一个问题，让学生自己先想一想怎么入手

例1已知：2sinα-cosα=1，求■的值.

教师只鼓励或引导学生，让其尝试探究。在此过程中要及时捕捉学生思维中的亮点，激发他们探求的欲望，挖掘创造的源泉。直到学生思维受阻时，给予适当的“点拨”.在学生思维的不断“碰壁”和“激荡”中，得到如下解法：

解法1：将sinα与cosα统一起来，再利用万能公式.令tg■=t，由已知得出方程2■-■=1、解得t，从而求得原式的值为0或2.

解法2：已知2sinα-cosα=1①，又sin2α+cos2α=1，联立①②构造方程组，就可解出sinα、cosα的值，从而使问题得到解决.

解法3：从待求入手，将待求式看作“元”（未知数），设■=m，则（1-m）sinα+（1+m）cosα=m-1，与已知联立方程组，解得sinα=■cosα=■（m≠-3)，由sin2α+cos2α=1得：（■）2+（■）2=1，解得m=0或m=2，故所求原式的值为0或2.

二、选准一个突破口，让学生自己先做一做

学生在解决问题时，教师要用艺术家的眼光欣赏自己的学生，用“想得快”“想得妙”等春雨般的语言滋润学生的“愤”“悱”之心，使学生情感的需要得到满足.这时，教师要抓住时机，选准一个突破口，提出类似上面的问题.

例2已知sinαcosβ=■，求cosαsinβ的取值范围.

教师将问题抛给学生，鼓励学生自己思考.设cosαsinβ=t ①，将①与已知sinαcosβ=■②联立组成方程组，通过求解得出t.得出结论后，教师再鼓励学生思考：还有没有别的解法。经过认真的思考后，学生又想到下列巧妙的解法：

解法1：①×②得：cosαsinβsinαcosβ=■t，即|2t|=|sin2αcos2β|≤1，从而-■≤t≤■，即-■≤cosαsinβ≤■.

解法2：①+②得sin（α+β）=■+t

∵|sin（α+β）|≤1

∴-1≤■+t≤1=>-■≤t≤■③

同理①－②得-■≤t≤■④.联立③④得：-■≤t≤■.

解法3：将①2代入②得：t2=cos2αsin2β=(1-sin2α)(1-cos2β)=■-(sin2α+cos2β)≤■，即 -■≤t≤■.

三、立足问题的本质点，引导学生产生解题思路

对于一个问题，教师给学生交待的并不是问题的结果，而是有利于问题解决的一般方法，即数学的通性通法.因此，教师要注重对解题过程的再分析、再讨论,让学生能从中“筛选”出最本质的一个，让思维的“触角”能伸到问题所蕴含的本质关系中，从而类比出这一类问题的解决方法.

例3已知sinαcosβ=■，求cosαsinβ的取值范围？做了这个题后，我们可以演变出一类相关的题型——由已知条件的“积”想到“和”，由“和”想到“同名异角”与“异名同角”进行变式练习.

变式一：已知sinx+siny=■，求cosx+cosy的取值范围？

变式二：已知sinx+2cosy=2，求 2sinx+cosy的取值范围？

进行强化练习，扩大知识面，培养学生自己去类比、思维、实践、品味.

编辑：谢颖丽

endprint

〔关键词〕 数学教学；解题思路；寻找

〔中图分类号〕 G633.6〔文献标识码〕 C

〔文章编号〕 1004—0463（2014）11—0082—01

数学课堂教学的一个重要任务就是要培养学生的思维能力,即指导学生用数学的眼光、数学的思想去分析问题和解决问题.笔者根据多年来的教学实践和研究体会,就数学课堂教学中如何引导学生寻找正确的解题思路，谈谈自己的体会和看法.

一、每提出一个问题，让学生自己先想一想怎么入手

例1已知：2sinα-cosα=1，求■的值.

教师只鼓励或引导学生，让其尝试探究。在此过程中要及时捕捉学生思维中的亮点，激发他们探求的欲望，挖掘创造的源泉。直到学生思维受阻时，给予适当的“点拨”.在学生思维的不断“碰壁”和“激荡”中，得到如下解法：

解法1：将sinα与cosα统一起来，再利用万能公式.令tg■=t，由已知得出方程2■-■=1、解得t，从而求得原式的值为0或2.

解法2：已知2sinα-cosα=1①，又sin2α+cos2α=1，联立①②构造方程组，就可解出sinα、cosα的值，从而使问题得到解决.

解法3：从待求入手，将待求式看作“元”（未知数），设■=m，则（1-m）sinα+（1+m）cosα=m-1，与已知联立方程组，解得sinα=■cosα=■（m≠-3)，由sin2α+cos2α=1得：（■）2+（■）2=1，解得m=0或m=2，故所求原式的值为0或2.

二、选准一个突破口，让学生自己先做一做

学生在解决问题时，教师要用艺术家的眼光欣赏自己的学生，用“想得快”“想得妙”等春雨般的语言滋润学生的“愤”“悱”之心，使学生情感的需要得到满足.这时，教师要抓住时机，选准一个突破口，提出类似上面的问题.

例2已知sinαcosβ=■，求cosαsinβ的取值范围.

教师将问题抛给学生，鼓励学生自己思考.设cosαsinβ=t ①，将①与已知sinαcosβ=■②联立组成方程组，通过求解得出t.得出结论后，教师再鼓励学生思考：还有没有别的解法。经过认真的思考后，学生又想到下列巧妙的解法：

解法1：①×②得：cosαsinβsinαcosβ=■t，即|2t|=|sin2αcos2β|≤1，从而-■≤t≤■，即-■≤cosαsinβ≤■.

解法2：①+②得sin（α+β）=■+t

∵|sin（α+β）|≤1

∴-1≤■+t≤1=>-■≤t≤■③

同理①－②得-■≤t≤■④.联立③④得：-■≤t≤■.

解法3：将①2代入②得：t2=cos2αsin2β=(1-sin2α)(1-cos2β)=■-(sin2α+cos2β)≤■，即 -■≤t≤■.

三、立足问题的本质点，引导学生产生解题思路

对于一个问题，教师给学生交待的并不是问题的结果，而是有利于问题解决的一般方法，即数学的通性通法.因此，教师要注重对解题过程的再分析、再讨论,让学生能从中“筛选”出最本质的一个，让思维的“触角”能伸到问题所蕴含的本质关系中，从而类比出这一类问题的解决方法.

例3已知sinαcosβ=■，求cosαsinβ的取值范围？做了这个题后，我们可以演变出一类相关的题型——由已知条件的“积”想到“和”，由“和”想到“同名异角”与“异名同角”进行变式练习.

变式一：已知sinx+siny=■，求cosx+cosy的取值范围？

变式二：已知sinx+2cosy=2，求 2sinx+cosy的取值范围？

进行强化练习，扩大知识面，培养学生自己去类比、思维、实践、品味.

编辑：谢颖丽

endprint

〔关键词〕 数学教学；解题思路；寻找

〔中图分类号〕 G633.6〔文献标识码〕 C

〔文章编号〕 1004—0463（2014）11—0082—01

数学课堂教学的一个重要任务就是要培养学生的思维能力,即指导学生用数学的眼光、数学的思想去分析问题和解决问题.笔者根据多年来的教学实践和研究体会,就数学课堂教学中如何引导学生寻找正确的解题思路，谈谈自己的体会和看法.

一、每提出一个问题，让学生自己先想一想怎么入手

例1已知：2sinα-cosα=1，求■的值.

教师只鼓励或引导学生，让其尝试探究。在此过程中要及时捕捉学生思维中的亮点，激发他们探求的欲望，挖掘创造的源泉。直到学生思维受阻时，给予适当的“点拨”.在学生思维的不断“碰壁”和“激荡”中，得到如下解法：

解法1：将sinα与cosα统一起来，再利用万能公式.令tg■=t，由已知得出方程2■-■=1、解得t，从而求得原式的值为0或2.

解法2：已知2sinα-cosα=1①，又sin2α+cos2α=1，联立①②构造方程组，就可解出sinα、cosα的值，从而使问题得到解决.

解法3：从待求入手，将待求式看作“元”（未知数），设■=m，则（1-m）sinα+（1+m）cosα=m-1，与已知联立方程组，解得sinα=■cosα=■（m≠-3)，由sin2α+cos2α=1得：（■）2+（■）2=1，解得m=0或m=2，故所求原式的值为0或2.

二、选准一个突破口，让学生自己先做一做

学生在解决问题时，教师要用艺术家的眼光欣赏自己的学生，用“想得快”“想得妙”等春雨般的语言滋润学生的“愤”“悱”之心，使学生情感的需要得到满足.这时，教师要抓住时机，选准一个突破口，提出类似上面的问题.

例2已知sinαcosβ=■，求cosαsinβ的取值范围.

教师将问题抛给学生，鼓励学生自己思考.设cosαsinβ=t ①，将①与已知sinαcosβ=■②联立组成方程组，通过求解得出t.得出结论后，教师再鼓励学生思考：还有没有别的解法。经过认真的思考后，学生又想到下列巧妙的解法：

解法1：①×②得：cosαsinβsinαcosβ=■t，即|2t|=|sin2αcos2β|≤1，从而-■≤t≤■，即-■≤cosαsinβ≤■.

解法2：①+②得sin（α+β）=■+t

∵|sin（α+β）|≤1

∴-1≤■+t≤1=>-■≤t≤■③

同理①－②得-■≤t≤■④.联立③④得：-■≤t≤■.

解法3：将①2代入②得：t2=cos2αsin2β=(1-sin2α)(1-cos2β)=■-(sin2α+cos2β)≤■，即 -■≤t≤■.

三、立足问题的本质点，引导学生产生解题思路

对于一个问题，教师给学生交待的并不是问题的结果，而是有利于问题解决的一般方法，即数学的通性通法.因此，教师要注重对解题过程的再分析、再讨论,让学生能从中“筛选”出最本质的一个，让思维的“触角”能伸到问题所蕴含的本质关系中，从而类比出这一类问题的解决方法.

例3已知sinαcosβ=■，求cosαsinβ的取值范围？做了这个题后，我们可以演变出一类相关的题型——由已知条件的“积”想到“和”，由“和”想到“同名异角”与“异名同角”进行变式练习.

变式一：已知sinx+siny=■，求cosx+cosy的取值范围？

变式二：已知sinx+2cosy=2，求 2sinx+cosy的取值范围？

进行强化练习，扩大知识面，培养学生自己去类比、思维、实践、品味.

编辑：谢颖丽

endprint