紧束缚近似在低维模型中的应用

杨翠红 王璐

［摘要］紧束缚近似是获得能带结构的基本方法，在固体物理教学中占有重要的地位。但考虑复式格子或多带系统时具体求解是一个比较复杂的问题，对本科生的学习有一定难度。结合一维原子链这一简单模型，由浅入深分析紧束缚近似的求解过程，并拓展至二维、三维情况进行讨论，深刻理解模型的实质。

［关键词］紧束缚近似一维原子链能带

［中图分类号］G642.0［文献标识码］A［文章编号］2095-3437（2014）10-0161-02固体物理是大学物理学相关专业一门重要的专业必修课。固体物理是研究固体的结构及微观粒子之间相互作用与运动规律，以阐明其性能与用途的学科。目前，材料物理、半导体物理、新材料等新兴交叉学科的学习也必须具备相关固体物理的理论基础知识，固体物理的学习成为基础理论与应用学科之间的桥梁。在固体物理的学习中，对数学和物理的基础要求相对较高，对教者和学者都提出了较高要求。表现之一：能带论如何有效地掌握并加以应用是一重点内容。众所周知，能带理论是理解和解释晶格振动、电导率、吸收谱等物理性质的重要方法。但如何较好地掌握能带计算方法对本科生而言需要加强，本文从学生所熟悉的一维原子链模型出发逐步地阐明紧束缚近似求价电子能带的方法，旨在由浅入深地理清紧束缚近似下求解能带的过程。另外，结合量子力学算符表示方法，将哈密顿量在紧束缚近似下采用算符形式在实空间中表示，并简要给出求解思路，供学生比较学习。

一、一维单原子链中电子的能量

一维单原子链模型。电子的质量为m，相邻原子之间的距离为a，具体计算中简化考虑原子最外层电子运动状态是非简并且各向同性的情况，用φi（x）表示。

孤立原子核外单电子束缚态满足的本征值方程为：H0φi（x-am）=［-■■+V（x-am）］ φi（x-am）=εiφi（x-am）（1）

其中：V（x-am）代表孤立原子am=ma格点的电子在x处的势场，εi、φi（x-am）是价电子第i个束缚态的能级和波函数。

孤立原子结合成晶体后，势函数由V（x）过渡到晶体的周期性势场U（x），是各格点所有原子的势场之和，哈密顿量H0过渡到H，为了求解晶体中电子的状态波函数，晶体的本征值方程稍做变形：HΨ（x）=（H0+H′）Ψ（x）=EΨ（x）（2）

H′=U（x）-V（x）看成微扰作用。晶体中的电子状态采用原子轨道线性组合 （LCAO）方法，晶体中电子的波函数为

Ψk（x）=■■e ■ φi（x-am） （3）

代入薛定谔方程（2）即可，具体求解能量和波函数时，考虑当原子间距比原子半径大时，不同格点的φi（x-am）重叠很小，波函数满足正交归一性。通过简单计算得到能量为

E=εi-■J（■■）e■（4）

其中：-J（as）代表相互作用能的微扰贡献［1，2］。当最完全的重叠，在位能用J0表示；只考虑到最近邻相互作用时，包含左右两个最近邻，则一维单原子链模型中核外电子的能量为

E（k）=εi-J0-2J（a）cos（ka）（5）

可见由于孤立原子结合成晶体后，电子受到其它原子对其的作用，孤立原子的核外电子能级过渡到晶体中的能带，展宽2J（a）cos（ka），此部分的能量与波矢k满足余弦函数的关系，大小取决于微扰哈密顿量的平均值J（a）。这一结论可使学生理解从单一原子能级到晶体能带的转变过程。

上述模型采用紧束缚近似方法计算能谱，可进一步拓展用其它方法表示。结合量子力学中算符的表示形式，上述模型在实空间中只考虑最近邻相互作用在紧束缚近似下，电子的哈密顿量：

H=t0■a■■ai-J（a）■（a■■ai+1+h·c） （6）

其中a■■，ai分别表示电子在i格点的产生湮灭算符，t0和J（a）分别为电子的在位能和最近邻跳跃能，h·c代表共厄项，一维单原子链采用玻恩－卡门边界条件，具有晶格的周期性，对算符做傅立叶变换，可得

H=■［t0-2J（a）cos（ka）］ a■■ak（7）

其能谱项与上面的解析表示式（5）一致。以上过程的具体处理使学生通过简单模型了解量子力学二次量子化的处理方法。另外还应明确处理具有周期性的物理量常常变换到倒空间来处理具体问题，相应地系统特征量（如费米能量、态密度等）都习惯在k空间来表示。

二、一维复式双原子链中电子的能量

一维复式双原子链模型：电子的质量分别为mA、mB，相邻原子之间的距离仍用a表示，相邻原胞之间的距离为2a，此时每个原胞中有两个不等价的原子，相比之前一维单原子链模型，由简单晶格变为复式晶格，自由度发生变化，描述方式也相应的有所变化，此模型是复式晶格最简单的代表，为其它复杂复式晶格采用紧束缚近似方法求解能带提供基本求解过程。具体计算中仍简化考虑孤立原子最外层电子状态非简并的情形。晶体中A、B两类原子分别组成Bloch波函数，总的波函数为这两个Bloch和的线性组合Ψk（x）=cAΨk,A（x）+cBΨk,B（x）（8）

求解晶体中的本征值方程，左乘波函数的复共轭并对全空间积分，同样考虑不同格点的波函数重叠很小，只包含最近邻相互作用，A（B）原子的最近邻是B（A）原子，得到两个方程：

［HAA（k）-E］cA+HAB（k）cB=0HBA（k）cA+［HBB（k）-E］cB=0 （9）

其中：Hσσ（k）≈εσ，εσ代表孤立A、B原子的原子能级，且只考虑最近邻原子间的相互作用HA,B（k）≈-J12cos（ka）求解上式久期方程给出电子能谱

E±（k）=■（10）

可见，一维双原子链一个原胞中含有两类不等价原子，有两个自由度，对应着两支能谱。当A、B两原子等价，能带过渡到第一种单原子链的情形。

三、分析讨论

在以上两个模型的基础上可进一步推广到更一般的情形。如正六边形原胞，一个原胞中也有两类不等价原子A、B，这个结构就是目前凝聚态物理前沿的一个研究热点，石墨烯（graphene）材料。这类结构采用紧束缚近似求解能带过程与一维双原子链类似，主要的区别就是最近邻的原子排列以及最近邻原子数目。对石墨烯而言：A（B）原子有3个最近邻的B（A）原子，同时如果进一步考虑次近邻相互作用，次近邻的原子的排列也因具体结构而异。对石墨烯采用紧束缚近似具体求解色散关系参见文献[3]。另有必要提一点，石墨烯因其结构简单，物性特殊，在固体物理的教学中可多方面与基础知识相联系引入介绍，使学生了解学科前沿，激发学习热情。在此基础上还可进一步考虑最外层载流子的状态数m个，以及一个原胞中不等价的原胞个数n个，一共有mn个自由度，以及考虑能带交叠等相对复杂的具体情况。

本文从学生相对熟悉的一维单、双原子模型出发，采用紧束缚模型考虑孤立原子结合成晶体后核外价电子的能谱结构。对结果进行分析，拓展到更复杂的情形加以阐明。通过具体例子，由浅入深地介绍可以帮助学生牢固掌握紧束缚近似方法求能带的基本过程，做到学懂会用；通过对能带深刻的认识和理解，为后续进一步从能带图上分析电学性质将打下坚实的基础。

［参考文献］

［1］冯端.固体物理学大辞典［M］.北京:高等教育出版社,1995.

［2］方俊鑫,陆栋.固体物理学［M］.上海:上海科学技术出版社,1983.

［3］尤景汉,汤正新,琚伟伟,等.单层石墨和多层石墨的电子能带结构［J］.河南科技大学学报（自然科学版）.2009,30（4），

［4］杨翠红,程国生.浅谈用一个学科前沿课题贯穿固体物理教学［J］.课程教育研究,2012,（7）.

［责任编辑：左芸］