一道双曲线离心率题的四种求法

陈永利

双曲线的离心率是综合性较强的知识点，是双曲线定义和几何性质综合应用最佳结合点，是平面几何中的相似形性质、勾股定理、余弦定理的综合应用，是考察学生观察、比较、分析、综合能力最佳结合点。现有一道双曲线离心率题，让我们一起研究它的求法。

已知过双曲线■-■=1（a>0，b>0）的左焦点F1（-C，0） 作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，交抛物线y2=4cx于点P，且有 ■=■（■+■），如图1，求双曲线的离心率e。

图1 图2 图3

图4 图5

分析条件可得：设右焦点F2（C，0），连接OE和PF2，因为F1 P是⊙O的切线和■=■（■+■），则有OE垂直平分F1P。所以OE=a，OF1=c. 由双曲线可知F1P=2b，又因为O是线段F1F2的中点，所以OE是△F1F2P的中位线，则OE∥F2P. 所以，OE=a，OF1=c，EF1=b ，就有PF1=2b，PF2=2a.

解法1：几何法，利用相似三角形求离心率e

由图2可知，作抛物线y2=4cx的准线l∶x=-c，作PM⊥l于M，由抛物线定义可知PM=PF2=2a. ∵ PM∥F1F2，∴∠MPF1=∠PF1F2 ，直角△MPF1∽直角△PF1F2 ，∴■=■，∴ ■=■，∴b2=ac，∴c2-a2=ac，∴e2-e-1=0，∴e=■。

解法2：利用直角三角形的射影定理求离心率e

如图3，作PN⊥F1F2于N，∵∠F1PF2为直角，PM=PF2=2a，∴由射影定理得：F1P2=F1N·F1F2，∴（2b）2=2c·2a，∴ b2=ac，∴c2-a2=ac，∴e2-e-1=0，∴e=■。

解法3：代数法求离心率e

如图4，由抛物线的准线方程l∶x=-c，∵PM⊥l，由抛物线的定义知PM=PF2=2a，∴P点横坐标为2a-c，P点纵坐标为y=■。在直角△PF1N中，由勾股定理PF12=F1N2+PN2，∴（2b）2=（2a）2+4c（2a-c），整理得b2=a2+2ac-c2， ∴c2-a2=ac，∴e2-e-1=0， ∴e=■。

解法4：利用直角三角形边角关系和余弦定理求解求离

心率e

如图5，在直角△PON中，∵ON=2a-c， OP=OF1=c，cos∠PON=■=■，在△POF2中由余弦定理知cos∠POF2=■=■，∴■=■，整理得 ∴c2-a2=ac，∴e2-e-1=0，∴e=■。

由此可以看出，求椭圆和双曲线的离心率，本质上就是求a、b、c的齐次关系式。这种关系的确定，利用圆锥曲线的定义、准线、三角形的正余弦定理、 平面几何有关相似三角形性质、直角三角形射影定理，既考察代数性质又考察幾何性质的应用，是典型数形结合的范例。

（辽宁省瓦房店市第八高级中学）