《数值计算方法》课程中样条理论教学的深层探究

文/杨爱民+刘春凤+崔玉环+张焕成

摘 要：首先介绍了样条的起源和基本的样条理论，随后讨论了样条理论在数值计算方法中的应用。在应用中教师主要从样条的插拟合、数值微积分、微分方程数值解和积分方程数值解四个方面论述了样条理论在数值计算中的应用，从而突出了样条理论在数值计算中的重要性。

关键词：样条；插值；拟合；数值方法；微分方程解法

样条函数作为计算几何中表示和逼近几何对象的基本工具，几十年来有了长足的发展。1946年，I.J.Schoenberg ［1］在做数据的平滑处理时提出了B样条，并系统地研究了一元样条函数，并指出一元三次样条函数的力学观点，即弹性细梁在集中载荷作用下小挠度弯曲变形曲线的数学模型，这也是“样条函数”命名的由来。时至今日，样条函数的应用越来越广泛，样条函数和有限元有着密切的联系。

一、样条理论的简介

样条函数（Spline Function）最早来源于美国数学家舍恩伯格（I.J.Schocnberg），他在1946年的文章中以研究无穷区间上等距结点的平滑问题（即数据光滑插值问题）为背景引入了样条函数，但是I.J.Schocnberg的工作刚开始时并未受到重视，从60年代开始，随着计算机技术的飞速发展，研究样条函数的热潮才渐渐兴起，当时它与计算机辅助设计相结合，应用在外形设计方面。到70年代得到迅速发展，经过半个多世纪的发展，样条函数作为一类灵巧而有效的数学工具已被广泛应用于计算几何、数值插值、逼近，数值微分、积分等数学与工程的各个领域。数十年的理论和实践表明，样条是一类特别有效的逼近工具。

二、样条函数在数值计算中的应用

1.三次样条插值与拟合

在数值计算中许多实际问题都存在某些特定的数量关系y=f（x），其中相当一部分函数是通过实验观测得到的，虽然f（x）在某个区间上是存在的甚至是连续的，但通过实验只能得到一些散乱的数据点。有的函数虽然有函数解析式，但由于解析式的形式复杂使使用不方便。为此需要构造一些满足给定条件且表达式简单的插值函数 ［2］。

2.数值微分与积分

当函数f（x）为类表函数或图示函数时，寻找函数某点的微商，只能借助数值方法。根据样条函数误差估计公式，可以知道用f（x）的插值三次样条公式s（x）的微商s′（x）来替f ′（x）时，其误差为°（h3），其中h表示划分区间段中长度最大者，所以用s′（x）来替f′（x）很合适。特别当划分是等距的，h为相邻两结点间的距离时，各结点xi处有f′（xi）=s′（xi）=■

3.常微分方程的样条函数解法

W. G. Bickley提出求解两点边值问题的数值方法 ［3］。E. A. Al-Said利用一元三次样条给出求解一类二阶边值问题（一阶导项缺失） 的数值方法［4］，以及Arshad Khan利用参数三次样条求解同类问题的数值方法［5］。E. A. Al-Said的方法归结为求逼近解析解的一元三次样条函数，通过样条函数计算出各结点上的数值解，并证明了该方法是二阶收敛的。Arshad Khan构造了二阶边值问题的差分格式，并通过不同的参数选取，分别获得二阶和四阶收敛的数值方法，并且在适当的参数选取下退化为Bickley的方法[3]和Usmani基于四次样条给出的四阶方法［6］。

在S24（Δ（2）mn）中的均匀B-样条在求解偏微分方程数值解中。利用S24（Δ（2）mn）中两组具有高度对称性的均匀B-样条给出了求Poisson方程数值解。并利用这两组B-样条所构造的拟插值算子讨论数值解的误差估计。具体数值算例也显示了这种方法的有效性和高精度，类似的方法还可以用在其他类型的偏微分方程数值解中。

注：本文为国家科技计划项目创新方法专项 “科学思维、科学方法在高校教学创新中的应用与实践”（NO.2009IM010400）、河北省高等学校人文社会科学研究教育规划项目“五环式大学数学教学模式的研究与实践”（NO.GH132044）、高等学校大学数学教学研究与发展中心教学改革项目“开放课程背景下基于应用型人才培养的大学数学教学改革的研究与实践”、河北联合大学教育教学改革项目（NO.z1202-02，NO. Y1336-06）的研究成果。

参考文献：

［1］J. Schoenberg. Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic function, Quart［J］. Applied Mathematics, 1946, 4: 45-99,112-141.

［2］王省富. 样条函数及其应用［M］. 西北工业大学出版社, 1989-09.

［3］韩延鹏.基于二元B样条的某些数据拟合方法［D］.大连理工大学，2010-12.

［4］曲凯.多元样条及其某些应用［D］.大连理工大学，2010-06.

［5］朱功勤，何天晓.关于多元样条函数研究［J］.合肥工业大学学报：自然科学版.1989（02）.

［6］朱安民.多元样条函数.同济大学学报，1984（02）.

编辑 张珍珍