跨声速风洞测力模型的降阶及H∞减振控制

佘重禧，陈卫东，邵敏强

（南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室，南京210016）

跨声速风洞测力模型的降阶及H∞减振控制

佘重禧，陈卫东，邵敏强

（南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室，南京210016）

在风洞测力试验中，尾部支撑是一种广泛采用的模型安装方式。以该方式安装的风洞测力模型中，总体呈现低刚度特性。在试验进入大攻角状态时，低频气流脉动压力极易引起模型低频大幅俯仰振动，导致测试精度降低，甚至以疲劳方式破坏试验设备。针对一种采用尾部支撑方式的跨声速风洞测力模型，建立其有限元模型，结合模态截断及平衡降阶两种方法，对高维有限元模型进行降阶；基于低维的降阶模型及柔性结构的特点，采用简化的混合灵敏度优化方法，实现对测试中模型低频俯仰振动的主动抑制。仿真分析表明该主动减振方案有效且易于实现，对于大型复杂结构具有重要的实用价值。

振动与波；主动减振；模型降阶；H∞控制；风洞模型

在飞行器的风洞测力试验中，模型的安装方式有很多种，包括尾撑、腹撑、背撑、张线支撑等传统的安装方式，以及像磁悬浮支撑这样的高技术安装方式，还有将几种支撑技术相结合的安装方式[1]。目前，在国内的低速风洞测试中广泛采用尾部支撑的模型安装方式，被测模型、测力天平及支杆共同构成一个近似于带集中质量的悬臂式结构系统，该结构系统在总体上呈现低刚度特性。在跨声速风洞测力试验中，主要由于激波振荡现象引起的气流脉动压力分布在低频阶段，其能量主要集中在几Hz到大约100 Hz范围之间[2，3]，且脉动压力的强度及分布受被测对象几何形状、气流马赫数及测试攻角大小的影响，一般在较大攻角时达到一个极值。在模型进入大攻角测试阶段时，极易产生模型结构低阶固有频率与低频脉动压力的耦合共振，导致模型结构出现低频大幅俯仰振动，严重影响测试数据的准确性，并有可能以疲劳失效的方式损坏测试仪器及设备。为了实现对测试中模型低频大幅俯仰振动的抑制，文献[1]中通过改变支撑设备的设计，来减小频率耦合的可能性；陈卫东等[4]采用学习控制方法对某一跨声速风洞测力模型的主动减振做了试验研究；邵敏强[5]在其博士论文中详细阐述了基于外扰估计及输出时滞的LQG主动减振控制方法，并通过试验验证了该主动控制方法在风洞测力模型上的有效性。振动主动控制技术由于具有效果好，适应性强等优越性，已经在航空、航天、土木、汽车等领域得到了广泛的应用[6]。本文结合模态截断与平衡降阶两种方法对高维有限元模型进行降阶，在此基础上采用一种简化的H∞混合灵敏度控制方法，实现对模型低频大幅俯仰振动的主动抑制，并以仿真的方式验证了模型降阶及振动抑制的效果。

1 有限元建模及初步模态分析

1.1 尾部支撑系统简介及建模时的处理

风洞模型尾部支撑系统结构形式多种多样，但其基本原理都是一致的，即：被测模型经测力天平和模型支杆固支于由俯仰机构和偏航机构组成的支架上，如图1所示，并置于风洞的试验段。被测模型、测力天平和模型支杆共同构成一个悬臂式结构（以下简称被控结构），其刚度比由俯仰机构、偏航机构等组成的支架的刚度要小得多。因此，针对本案的建模可以近似为将由被测模型、测力天平和模型支杆组成的被控结构固支于理想固定支架上。同时，假设被控结构内部及被控结构与支架之间的联接为理想固联，并忽略模型上的小孔及倒角等不致影响结构动力学特性的细微因素。

1.2 被控结构有限元建模及模态分析

基于1.1节的近似处理，采用Patran/Nastran软件平台建立被控结构的有限元分析模型。根据被控对象的特点，采用四面体网格对被控结构进行有限元离散，并采用Lanczos法求解模型的低阶模态。由于本案只考虑被控结构的低频振动，这里仅列出被控结构的前5阶固有频率，如表1所示。结合有限元分析及跨声速风洞测力试验的实际情况，可以知道被控结构的第2及第4阶固有振动对被控对象在测试条件下的低频大幅俯仰振动的贡献最大，而这两阶模态振动正是后续章节设计控制系统时力图要抑制的对象。应用Matlab软件通过简单的编程可以直接从Nastran计算的结果文档中提取被控结构离散化后的质量、刚度矩阵及节点的排列顺序，用以建立被控结构系统的数学模型。最终得到被控结构30 276×30 276维的质量矩阵M及刚度矩阵K。

表1 被控结构的前5阶固有频率单位：Hz

图1 风洞模型尾部支撑系统结构示意图

2 被控结构系统模型降阶

考虑到被控结构的大幅振动主要发生在低频阶段，而高频振动由于阻尼的存在将很快衰减掉，如果直接将高阶模态截断，而又保留不至太少的低阶模态，得到一个中型的降阶模型，然后再利用平衡降阶法进一步降阶，就能很容易得到适合控制器设计的低阶模型。

M∈Rnxn,K∈Rnxn,D∈Rnxn；q∈Rnx1为系统物理坐标；Bo∈Rnxs为系统输入矩阵；Coq∈Rrxn，Cov∈Rrxn为系统输出矩阵；n为系统总的自由度数；u∈Rsx1为输入向量，s为输入的个数；y∈Rrx1为输出向量，r为输出的个数。采用Lanczos法求取系统的前h阶模态振型向量Φ∈Rnxh及系统前h阶固有频率矩阵Ω=diag(ωi)，i=1,2,...,h.。

取q=Φqm，qm∈Rhx1为模态坐标，代入(1)式，得到

式（2）即为经初步降阶后的h维系统。为了后续处理的方便，先将式(2)稍作变换，可以得到系统的状态空间表达式(3)

求解李雅普诺夫方程(4)，得到式(3)的能控、能观性Gram矩阵Wc及Wo。在模态坐标下，Wc和Wo为对角占优矩阵[10]，Wc和Wo可近似等价于由其对角元组成的对角矩阵，即

Wc≅diag(wciI2)，Wo≅diag(woiI2)，i=1,2,...,h.，作为模型降阶指标的Hankel奇异值矩阵可表示为对Index列矩阵的元素按降序排列，同时按Index排序时相同的行交换规则对式(3)的行和列重新排列。舍弃那些对应Hankel奇异值很小的模态即可达到模型降阶的目的。假设最后保留的模态数为k,则降阶模型的状态空间表达式为

碱提：准确称取羊肚菌粉于试管中，加入一定浓度的氢氧化钠溶液，放置恒温水浴锅中碱提，离心，分离上清液和滤渣。

3 H∞控制器混合灵敏度优化设计

传统控制理论和方法几乎都是基于被控对象的精确数学模型已知或者外部干扰的特性在一定程度上已知的假设条件。事实上，要得到被控对象的精确模型很困难，甚至是不可能的，而且外部干扰本身就不确定。因此，在某种意义上说，这种假设本身就具有不合理性。人们发现，许多控制问题都可以归结为：对于一个广义被控对象，寻求一个内部稳定的控制器，使得从外部干扰输入到被控输出的传递函数的H∞范数最小或者小于某一设定值，这就是后来

寻找优化的控制器Kˉ保证闭环系统稳定，且使∥Ψ∥∞最小。这里，P，Q，R分别为灵敏度函数，∥P∥∞,∥Q∥∞,∥R∥∞分别表示系统对干扰、加性不确定性及乘性不确定性的抑制能力，W1，W2，W3分别为对应的加权函数。加权函数的选择是至关重要的，它不但直接影响控制系统的各项性能指标，而且还直接影响控制器的复杂程度，文献[12]对此作了详细的描述。权函数的选择是一个基于经验和反复尝试的繁琐过程，但也是可以被简化的。由于被控对象柔性结构的特性，带加权函数的结构系统的无穷范数∥Ψ∥∞近似等价于这里如(7)式所示的H∞标准最优及次最优控制问题。这种H∞控制思想首先由加拿大学者Zames于1981年提出[11]，并在后来几十年中经过众多学者的共同努力形成了比较完善的理论体系[12]。

针对跨声速风洞测力模型，由于建模的结构误差、参数误差及气流脉动外扰同时存在，采用H∞混合灵敏度优化方法来实现对振动的抑制，即选取目标函数

其中加权函数W1，W2，W3的作用被其对应式(1)中输入或输出矩阵的列向量或者行向量的正实数加权因子所取代，加权因子的大小取决于W1，W2，W3在系统固有频率处的传递函数增益值[10]。这样，我们就将复杂的加权函数选择工作简化为选择对应的输入或者输出向量的加权因子，同时，降低了广义被控对象的维数，便于控制器的求解。在模态坐标下，甚至还可以通过只调整感兴趣的模态所对应的加权因子，达到对特定模态的控制而不影响无关的模态。

4 控制系统数值仿真分析

根据被控结构的几何特点、模态分析及以往经验，选择系统的输入和输出点位置如图2所示，且作用方向都垂直于水平面。除了在图2中第3点有外扰w1直接作用于被控结构上，设有输入噪声αw2、输出噪声βw3分别作用于控制输入及控制输出，α＞0和β＞0为上节中讨论的输入、输出加权因子。采用速度反馈方式，即式(1)中y为速度向量，结合H∞混合灵敏度优化设计方法得到式(1)中的Bo, Cov，由于在输出y中仅包括速度输出，得到Coq=0，同时系统直连矩阵为

图2 被控结构上输入、输出点位置

应用第2节中的方法先将系统初步降阶至包含100个模态的中型系统，然后采用平衡降阶法进一步降阶至只包含对系统俯仰振动贡献最大且固有频率低于100 Hz的2阶模态，得到的低阶模型如下

(α=β=300，且设D=M+0.3×10-6×K)

暂称先后得到的降阶模型分别为模型(1)与模型(2)，它们的单位脉冲响应曲线及幅频特性曲线分别如图3和图4所示（外扰点激励，控制输出点响应）。

图3 模型(1)与模型(2)的单位脉冲响应)

从图3和图4可以看出模型(2)虽然只保留了对被控结构低频大幅俯仰振动贡献最大的两阶模态，但已经可以足够精确地描述被控结构的动态特性。

图4 模型(1)与模型(2)的幅频响应

应用第3节中的方法设计H∞控制器，并将控制作用施加于模型(1)来模拟对原被控结构的控制效果。图5、图6分别显示了在有控/无控时系统的幅频响应及单位脉冲响应特性。

图5 系统有控/无控时的幅频响应

图6 系统有控/无控时的单位脉冲响应

从图5可以看出，在施加控制作用后，原开环系统的共振峰得到了明显的抑制；从图6可看出在有控制作用时，闭环系统的单位脉冲响应将很快衰减。

假设有频率分别为12.3 Hz与29 Hz的简谐外扰，且幅值为100 N，图7、图8分别显示外扰激励位于系统第1阶、第4阶固有频率附近时的控制效果。

假设实际被控结构存在结构不确定性，当结构模型被转换到模态空间以后，由(3)式中系统矩阵A的块对角形式可以看出，结构的不确定性可以近似等价于对各阶固有频率的摄动。现假设有一个结构不确定性表现为各阶固有频率+10%的摄动，在外扰激励频率为别为13.5 Hz和32 Hz时，分别用原控制器作用于该实际被控对象，得到的控制效果见图9和图10；系统的单位脉冲响应及幅频特性如图11和图12。

图7 外扰频率12.3 Hz，速度响应

图8 外扰频率29 Hz，速度响应

从图9、图10、图11及图12可以看出，闭环系统依然是稳定的，且对外扰响应的抑制效果仍然很好，即控制系统具有良好的鲁棒稳定性及鲁棒性能。

5 结语

本文针对一种采用尾部支撑方式的跨声速风洞测力模型，通过有限元建模、模型降阶、H∞混合灵敏度优化控制器设计的途径，实现了对被控对象在测试过程中低频大幅俯仰振动的有效抑制。仿真分析表明：模态截断与平衡降阶相结合的方法对大型复杂柔性结构的降阶易于实现、可靠性高；H∞混合灵敏度优化控制设计与柔性结构的特性相结合降低了控制器设计难度，并能保证控制系统具有良好的鲁棒稳定性及鲁棒性能。

图9 外扰频率13.5 Hz，+10%摄动，速度响应

图10 外扰频率32 Hz，+10%摄动，速度响应

图11 单位脉冲响应，+10%摄动

图12 幅频响应，+10%摄动

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Model Reduction and Active Vibration Suppression of Control a Wind Tunnel Test Model by H∞

SHE Chong-xi,CHEN Wei-dong,SHAO M in-qiang

(State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 210016,China)

In wind tunnel testing,the test model is usually mounted by an axially supported beam inserted at the rear.The whole structure of the test model and the support is flexible with low natural frequencies.In transonic testing with a large angle of attack,the low-frequency pulsating pressure by airflow can easily cause the pitching vibration of the model with low frequency and large amplitude,which can lead to poor accuracy of measurement and fatigue damage of the test device.In this article,a FEM model is established for the transonic wind-tunnel testing model with its rear supported by a beam.Using balancing and modal truncation methods,the order of the model can be reduced.According to the feature of low-dimension,low-order and flexible structure of the model,an H∞robust control method is used to fulfill the active vibration suppression of the low-frequency pitching vibration of the model.Simulation and analysis show that this active vibration suppression strategy is applicable and efficient,and has practical significance for the analysis of large complex flexible structures.

vibration and wave;active vibration suppression;model reduction;H∞control;wind tunnel model

TB52

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.01.016

1006-1355(2014)01-0067-05

2012-12-27

第五十二批中国博士后科学基金面上资助(基金编号：2012M 521072)

佘重禧(1979-)，男，四川遂宁人，硕士，目前从事结构振动主动控制研究。

E-mail:cxshe@nuaa.edu.cn