矩形平板远场声压级分析

代仁文，王德石，高晟耀

（海军工程大学兵器工程系，武汉430033）

矩形平板远场声压级分析

代仁文，王德石，高晟耀

（海军工程大学兵器工程系，武汉430033）

研究矩形平板的远场声压级，建立简支边界矩形障板和滑移边界矩形障板模型。采用傅里叶变换获得远场声压级，分析点激励载荷和线激励载荷作用下远场声压级的变化规律，并讨论激励载荷位置以及结构物理特性参数对远场声压级的影响。结果表明，远场声压随着激励载荷靠近边缘而减小，相对于简支边界而言，滑移边界能增强远场声压级。随着损耗因子、板厚的增大，将减小整个频率段内的远场声压级。另外，板密度对远场声压级的影响在低频段和高频段也呈现不同的变化规律。通过声压级变化规律的分析研究，能为声学元件设计和噪声控制机理的分析提供一定的依据。

声学；矩形平板；远场声压级；滑移边界；噪声控制

在工程运用中许多结构可以简化为矩形板结构，如桥梁、车厢底板以及潜艇舱室之间的挡板。这种矩型板件对结构噪声控制要求较高；因此，研究矩形平板的声辐射具有实际意义。通过研究结构在不同观测点声压级的变化规律可以衡量声辐射的特性，还能够为有源控制提供一定的理论依据。采用Rayleigh积分可求得空间内任一观测点的声压[1]，但其中对板横向振动位移的积分很难求出，Morse[2]采用傅里叶变换的方法化解Rayleigh积分，从而解决了求解积分的难题。Sakagam i[3]采用傅里叶变换方法分析了在线激励、点激励、弯矩激励载荷下，半无限长简支矩形加障板的远场声压级。徐步青等[4]分析了线分布激励载荷下简支矩形加障板的远场和近场声压级。边界条件对声辐射具有较大的影响，A lain Berry[5,6]分别采用级数替代和傅里叶变换研究了简支边界、弹性边界、固支边界、自由边界条件下矩形加障板的声辐射特性。Putra[7]在文章第五部分详细对比分析了滑移边界和简支边界的模态声辐射效率。

本文在文献[2，6]的基础上，采用傅里叶变换推导简支边界和滑移边界条件下矩形加障平板的远场声压级，并分别分析线激励载荷和点激励载荷作用下矩形平板的远场声压级公式。在第三部分以简支边界为例研究几何和物理特性参数对远场声压级的影响。

1 远场声压基本理论公式

图1为镶嵌在无限大障板中矩形板的声辐射模型，矩形板长、宽、高分别为2 b、b、h。当矩形板静止时与障板处于同一平面。图1 a、图1 b分别为简谐点激励载荷和简谐线分布激励载荷的声辐射模型，由于障板只是向半空间内辐射声场。

根据Rayleigh积分，空间内任意观察点的声压可表示为

对于远场（r＞＞a,r＞＞b），从矩形板上各面元辐射的声波到观察点时振幅的差异很小，所以（1）式中r′可以用r表示，即r′-1≈r-1。采用傅里叶变换方法可将Rayleigh积分变换为[1]

其中γx=k0sinθcosφ，γy=k0sinθsinφ，

k0表示波数表示板横向位移方程的傅里叶变换式

同时可将板的横向位移表示为

从式（2）可发现，只要求出式w˜(γx，γy)则可导出远场声压的表达式。

1.1 简支矩形板远场声压辐射

根据板振动动力学方程可得板振动横向位移的微分方程形式为

若在y=l上施加简谐激励载荷，激励载荷的形式为

其中F0表示激励载荷的幅值，δ表示Dirac delta函数。

则板的横向位移可表示为各模态的组合形式

其中Wmn表示位移振动幅值，φ() x,y表示位移振型函数，四边简支条件的矩形板，其振型函数取为

则将式（7）和（8）带入式（5），则可导出

图1 镶嵌在无限大障板中的矩形简支板声辐射模型

则位移振幅可表示为

因此，横向位移表示为

振型函数傅里叶变换式为

因此，横向位移的傅里叶变化式为

将上式带入式（2），可获得矩形简支板在远场声压表达式

若简支板在点(p，q)处受到简谐点激励载荷的作用，则激励力的形式为

类似求解简谐线激励载荷的方法，可获得简谐点激励载荷作用下板结构的远场声压表达式为

1.2 滑移边界条件下远场声压辐射

滑移边界表示在边界处横向有微小的滑动，扭矩为零但弯矩不为零。则滑移边界的振型函数一般取为

采用2.1节中的方法可导出

（1）滑移边界矩形板在y=l处受到简谐线激励力作用，远场声压为

（2）滑移边界矩形板在() p，q处受到简谐点激励力作用时，远场声压为

2 仿真分析

2.1 不同边界条件下声压级

图2为不同边界条件下矩形板的远场声压级，线激励位置为y=0.1处，点激励位置在() 0.1，0.1处，观测点均为为达到更明显的分析效果，分析了0～25 00 Hz内的声压级变化曲线。从图中可看出，滑移边界板的峰值声压滞后简支条件发生。在第二共振频率内ss和gg边界板的远场声压相差最大为35 dB，从而可得出，在低频段（约250 Hz）设计简支边界可增加声辐射，在中高频段简支条件减小声辐射。

2.2 激励载荷位置对声压的影响

图3为线激励、点激励载荷不同激励位置的远场声压级，观测点为φ=0，θ= π 4。从图中可以看出，随着作用点靠近边缘，在低频段和高频段声压辐射而减弱；在中间频段出现交替变化。

图2 不同边界条件下远场声压级随频率变化规律

图3 激励力位置对远场声压级的影响

2.3 物理特性参数变化对声压辐射的影响

结构声辐射特性与几何和物理特性参数密切相关，此部分以简支板受到点激励作用为例，结构损耗因子、板厚度以及板密度的变化对简支矩形板远场声压的影响。

图4、图5为结构受到点激励载荷的远场声压级响应图，激励点为() 0.3，0.3处受到时，观测点为从图5中可知，随着纵横比的增大，峰值发生频率减小，在小于最低共振频率内远场声压辐射而增强，在中高频率段声压峰值出现交替变化，在高频段(5 000 Hz～8 000 Hz)小纵横比的声压峰值较大。说明在工程上最有意义的频率段[3]（500～1 000 Hz）内，可以针对具体频率和具体声学要求设计声学元件。从图4中可知，在所有频段内两条曲线的变化规律具有一致性，峰值出现的位置相同，但声压级的峰值随着损耗因子的增加而明显降低。这是因为损耗因子η的增大仅引起D的增大，从而仅减小声压幅值。说明增加阻尼材料的损耗因子，对于声辐射有较强的抑制作用。

图4 损耗因子对远场声压级的影响

图5 板厚对远场声压级的影响

板厚影响板的刚度和单位体积质量，板厚对声压辐射的影响如图5所示。从图中可知，在整个频段内，随着板厚的增加各阶共振频率随之增大，声压级峰值随之减小。图6为板密度对声压辐射影响的仿真图，图6 a表示θ=0处的声压级，图6 b表示处的声压级。在θ=0情况下，小于最低共振频率内，声压辐射随着板密度的增加而增强，其余频率段声压辐射随着密度的增大而减弱。但在的情况下，在1 000 Hz～3 000 Hz频率带不同密度声压级的峰值出现交替变化。

图6 密度对声压辐射的影响

3 结语

本文采用傅里叶变换方法获得简支边界和滑移边界矩形加障板的远场声压级，以简支边界为例研究了声压级的变化规律，分析了滑移边界与简支边界的远场声压级的对比关系。在低频段和高频段声压辐射随着作用点靠近边缘而减弱，在中间频率段出现交替变化；在大于第二共振频率段内滑移边界相对于简支边界声辐射较强，从而可知加工为简支边界能够减小声辐射。最后，分析研究了几何参数和物理特性参数对简支矩形板远场声压的影响。分析表明，随着结构损耗因子、板厚的增加，在整个频率段内声辐射均减弱；随着板密度的增加，在小于第一共振频率内和高频段声辐射均增强，中间频率段峰值交替变化，总体上随着参数的增加的声辐射减弱。

[1]Strutt J W,Lord Rayleigh.Theory of sound[M].London: Mac M illan,1896:107.

[2]Morse P M and Ingrad K U.Theoretical acoustics[M].M c Graw-Hill,NY,1968;rpt.Princeton University Press,NJ, 1986,375-379.

[3]M ichishita K,Sakagam i K,Morimoto M,Svensson U P.Sound radiation from an unbaffled elastic plate strip of infinite length[J].Applied Acoustics,2000,61:45-63.

[4]徐步青，扬绍普，马心坦.线分布激励下功能梯度材料矩形板声辐射研究[J].北京交通大学学报，2009，33(1)：54-58.

[5]Berry A,Guyader J and Nicolas J.A general formulation for the sound radiation from rectangular,baffled plates with arbitrary boundary conditions[J].J.Acoust.Soc.Am.,1990,88:2792-2802.

[6]W L L.Vibroacoustic analysis of rectangular plates with elastic rotational edge restraints[J].J.Acoust.Soc.Am., 2006,12(2):769-779.

[7]Putra A,Thompson D J.Sound radiation from rectangular baffled and unbaffled plates[J].Applied Acoustics,2010, 71:1113-112.

Analysis of Far-filed Sound Pressure Level of Rectangular Plates

DAI Ren-wen,WANG De-shi,GAO Sheng-yao

（Department of Weapon Engineering,Navy University of Engineering,Wuhan 430033,China）

The far-field sound pressure level of rectangular plates is studied.Acoustic models for simply supported and guided supported rectangular plates in an infinite baffle are established respectively.The far-field approximate solution is derived in a closed form using Fourier transform method.Two kinds of possible concentrated forces,a line force and a point force,are included respectively in the analysis.Furthermore,a parametric study is carried out to clarify the effect of the incentive loading position and the various physical parameters of the rectangular plates.It is concluded that,the far-field pressure level decreases with the location of the incentive loading approaching the edge of the plate.In comparison with the simply supported edge,the guided edge can enhance the far-field radiation sound pressure.With the increasing of the loss factor and the thickness of the plate,the far-field sound pressure level decreases in overall frequency range.On the other hand,density of the plate has different influences on the far-field sound pressure level in low frequency range and high frequency range respectively.This work may provide a foundation for design of acoustic components and analysis of active noise control.

acoustics;rectangular plate;far-filed pressure level;guided supported edge;noise control

TB5；O422.6

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.01.006

1006-1355(2014)01-0023-05

2013-01-17

国家自然科学基金资助项目（50875259）海军工程大学自然科学基金（HGDQNJJ033）

代仁文（1988-），男，硕士研究生，四川乐至人，主要从事水下航行体振动与噪声控制研究。

E-mail:dairwen@163.com