《平行四边形》教学反思

文/曾庆春

摘 要：通过学习平行四边形，培养学生逻辑推理能力和逻辑思维表达能力。

关键词：平行四边形；定义；定理；数形关系；思维

《平行四边形》是九年级上册第三章证明（三）第一节的内容。是培养学生逻辑推理能力和逻辑思维表达能力的主要课程。下面谈谈我在教学中的几点体会。

一、注重平行四边形定义、定理学习过程，抓好定义、定理教学，合理安排教学

平行四边形的定义、定理，从现实世界得到其意义，又在更大的范围内作用于现实，学生只有在理解定义、定理的来龙去脉及其意义，而且熟练地掌握它们的各种用法，从而得到理性的认识之后，在数学学习中才能灵活地对其进行各种等价叙述，并在一个抽象的符号系统中正确应用，从而达到对数学符号语言学习的最高水平。教学过程是教师具体对某一个数学符号进行讲解、分析、举例、考查的过程。一些看起来相似，用起来容易混淆的定义，最好采用对比法教学。

例如，在学习“三角形的中位线”时，和“三角形的中线”相比较，平行四边形的定理都要进行推理论证，但其重要的是掌握定理的条件和结论，我们不要喧宾夺主，例如，“定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。”教学的重点不仅仅是证明定理，更是理解和掌握这个定理及结论，并能利用这个结论解决相关问题，定理理解掌握了，对学好几何证明也就有了强大的基础。

二、要合理破译图形语言的数形关系

图形语言是一种视觉语言，通过图形给出某些条件，其特点是直观，便于观察与联想，观察题设图形的形状、位置、范围，联想相关的数量或等式，这是破译图形语言数形关系的基本思想。（1）从语言到图形，即根据语言画出直观图。（2）从图形到符号，即把已有的直观图中各种位置关系用符号表示。（3）从符号到图形，即根据符号所示的条件，准确地画出相应的图形。在教学过程中要引导学生会把几何定义、定理从“语言文字叙述”转化为“几何语言表达”。几何命题有文字语言表达、图形表达和几何语言表达三种方式。同一个命题，虽然表达的方式不同，但表达的意思是一样的。如，

文字语言表达为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

几何语言表达为：∵AB∥DC，AD∥BC

∴四边形ABCD为平行四边形

几何图形表达为：■

几何定义、定理大都采用文字语言表达。因此，教师在教学时就必须加强学生的文字语言表达、几何图形表达和几何语言表达三者的有机结合训练，让学生对三种表述方式能互相转化，互译自如。

三、要注重从分析到综合的逻辑推理和由分析到综合的逻辑思维

在几何学习中，有些学生对几何论证逻辑性差，有些题目似乎自己看懂了，但就是写不出来，究其原因，主要是其分析综合能力比较差。如果每一道题都能从分析到综合或由综合分析（两头凑）到综合多练几遍，这种现象就有可能大大减少。

如下图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是BC、AD的中点，线段AM和CN分别交对角线BD于E、F。求证：BE=EF=FD。

■

1.分析法

要证：BE=EF=FD需要

■

2.综合法

平行四边形ABCD?圯BC∥AD，AD=BC

M、N分别是BC、AD的中点?圯AN=■ADCM=■BC?圯AN=CM

?圯四边形AMCN是平行四边形?圯AM∥CN

M是BC的中点?圯BM=CM

N是AD的中点?圯AN=DN

?圯BE=EFEF=FD?圯BE=EF=FD

3.分析综合法（两头凑）

由已知：易知

AN=DN=■ADBM=MC=■BC四边形ABCD是平行四边形?圯AD■BC?圯AN■CM

?圯四边形AMCN是平行四边形

?圯AM∥CN

由未知：

BE=EF=FD需要BE=EF需要AN=DNNF∥AEDF=EF需要BM=CMME∥CF

这样就达到了：由已知看可知

由未知看需知

四、一题多解，培养学生思维能力

一题多解可以变学生的单向思维为多向思维，开阔学生的视野。对于同一道题，从不同的角度去分析研究，可能会得到不同的启示，从而引出多种不同的解法，或者通过不同的侧面的观察，将学生的思维触角伸向不同的方向，摆脱固定的思维方式，发现思维过程中的不足，以完善学生的思维过程和思维品质。

如下图，已知在?荀ABCD中，BF=DE，求证：四边形AFCE是平行四边形。

证法一：（利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

在?荀ABCD中，AB=CD，AB∥CD

∵BF=DE

∴AF=CE

∵AF∥CE

∴四边形AFCE是平行四边形。

证法二：（利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形）

在?荀ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠D=∠B

∵BF=DE

∴AF=EC

∵DE=BF，∠D=∠B，AD=BC

∴△ADE≌△CBF（SAS）

∴AE=CF

∴四边形AFCE是平行四边形。

证法三：（利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形）

在?荀ABCD中，DC∥AB，AD=BC，∠D=∠B，AB=DC

∵∠DEA=∠EAF

∵DE=BF，∠D=∠B，AD=BC

∴△DAE≌△BCF（SAS）

∴∠CFB=∠DEA

∴∠EAF=∠CFB

∴AE∥CF

∴四边形AFCE是平行四边形。

证法四：（利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形）

在?荀ABCD中，∠D=∠B，∠DAC=∠DCB，

DC=AB，AD=BC

∵DE=BF，∠D=∠B，AD=BC

∴△ADE≌△CBF（SAS）

∴∠DEA=∠BFC，∠DAE=∠BCF

∵∠DEA+∠AEC=180°

∠BFC+∠AFC=180°

∴∠AEC=∠AFC

∵∠DAB=∠DCB，∠DAE=∠BCF

∴∠EAF=∠ECF

∴四边形AFCE是平行四边形。

几何教学是需要我们不断探索，不断探究的，教学是要寻找教师与学生的结合点，几何是要寻找文字→图形→推理表达的有机统一体，我们只有不断地自我提高，不断对学生进行严格有序的推理训练，才能有效地培养学生的逻辑推理能力和逻辑表达能力。

编辑 鲁翠红

摘 要：通过学习平行四边形，培养学生逻辑推理能力和逻辑思维表达能力。

关键词：平行四边形；定义；定理；数形关系；思维

《平行四边形》是九年级上册第三章证明（三）第一节的内容。是培养学生逻辑推理能力和逻辑思维表达能力的主要课程。下面谈谈我在教学中的几点体会。

一、注重平行四边形定义、定理学习过程，抓好定义、定理教学，合理安排教学

平行四边形的定义、定理，从现实世界得到其意义，又在更大的范围内作用于现实，学生只有在理解定义、定理的来龙去脉及其意义，而且熟练地掌握它们的各种用法，从而得到理性的认识之后，在数学学习中才能灵活地对其进行各种等价叙述，并在一个抽象的符号系统中正确应用，从而达到对数学符号语言学习的最高水平。教学过程是教师具体对某一个数学符号进行讲解、分析、举例、考查的过程。一些看起来相似，用起来容易混淆的定义，最好采用对比法教学。

例如，在学习“三角形的中位线”时，和“三角形的中线”相比较，平行四边形的定理都要进行推理论证，但其重要的是掌握定理的条件和结论，我们不要喧宾夺主，例如，“定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。”教学的重点不仅仅是证明定理，更是理解和掌握这个定理及结论，并能利用这个结论解决相关问题，定理理解掌握了，对学好几何证明也就有了强大的基础。

二、要合理破译图形语言的数形关系

图形语言是一种视觉语言，通过图形给出某些条件，其特点是直观，便于观察与联想，观察题设图形的形状、位置、范围，联想相关的数量或等式，这是破译图形语言数形关系的基本思想。（1）从语言到图形，即根据语言画出直观图。（2）从图形到符号，即把已有的直观图中各种位置关系用符号表示。（3）从符号到图形，即根据符号所示的条件，准确地画出相应的图形。在教学过程中要引导学生会把几何定义、定理从“语言文字叙述”转化为“几何语言表达”。几何命题有文字语言表达、图形表达和几何语言表达三种方式。同一个命题，虽然表达的方式不同，但表达的意思是一样的。如，

文字语言表达为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

几何语言表达为：∵AB∥DC，AD∥BC

∴四边形ABCD为平行四边形

几何图形表达为：■

几何定义、定理大都采用文字语言表达。因此，教师在教学时就必须加强学生的文字语言表达、几何图形表达和几何语言表达三者的有机结合训练，让学生对三种表述方式能互相转化，互译自如。

三、要注重从分析到综合的逻辑推理和由分析到综合的逻辑思维

在几何学习中，有些学生对几何论证逻辑性差，有些题目似乎自己看懂了，但就是写不出来，究其原因，主要是其分析综合能力比较差。如果每一道题都能从分析到综合或由综合分析（两头凑）到综合多练几遍，这种现象就有可能大大减少。

如下图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是BC、AD的中点，线段AM和CN分别交对角线BD于E、F。求证：BE=EF=FD。

■

1.分析法

要证：BE=EF=FD需要

■

2.综合法

平行四边形ABCD?圯BC∥AD，AD=BC

M、N分别是BC、AD的中点?圯AN=■ADCM=■BC?圯AN=CM

?圯四边形AMCN是平行四边形?圯AM∥CN

M是BC的中点?圯BM=CM

N是AD的中点?圯AN=DN

?圯BE=EFEF=FD?圯BE=EF=FD

3.分析综合法（两头凑）

由已知：易知

AN=DN=■ADBM=MC=■BC四边形ABCD是平行四边形?圯AD■BC?圯AN■CM

?圯四边形AMCN是平行四边形

?圯AM∥CN

由未知：

BE=EF=FD需要BE=EF需要AN=DNNF∥AEDF=EF需要BM=CMME∥CF

这样就达到了：由已知看可知

由未知看需知

四、一题多解，培养学生思维能力

一题多解可以变学生的单向思维为多向思维，开阔学生的视野。对于同一道题，从不同的角度去分析研究，可能会得到不同的启示，从而引出多种不同的解法，或者通过不同的侧面的观察，将学生的思维触角伸向不同的方向，摆脱固定的思维方式，发现思维过程中的不足，以完善学生的思维过程和思维品质。

如下图，已知在?荀ABCD中，BF=DE，求证：四边形AFCE是平行四边形。

证法一：（利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

在?荀ABCD中，AB=CD，AB∥CD

∵BF=DE

∴AF=CE

∵AF∥CE

∴四边形AFCE是平行四边形。

证法二：（利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形）

在?荀ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠D=∠B

∵BF=DE

∴AF=EC

∵DE=BF，∠D=∠B，AD=BC

∴△ADE≌△CBF（SAS）

∴AE=CF

∴四边形AFCE是平行四边形。

证法三：（利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形）

在?荀ABCD中，DC∥AB，AD=BC，∠D=∠B，AB=DC

∵∠DEA=∠EAF

∵DE=BF，∠D=∠B，AD=BC

∴△DAE≌△BCF（SAS）

∴∠CFB=∠DEA

∴∠EAF=∠CFB

∴AE∥CF

∴四边形AFCE是平行四边形。

证法四：（利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形）

在?荀ABCD中，∠D=∠B，∠DAC=∠DCB，

DC=AB，AD=BC

∵DE=BF，∠D=∠B，AD=BC

∴△ADE≌△CBF（SAS）

∴∠DEA=∠BFC，∠DAE=∠BCF

∵∠DEA+∠AEC=180°

∠BFC+∠AFC=180°

∴∠AEC=∠AFC

∵∠DAB=∠DCB，∠DAE=∠BCF

∴∠EAF=∠ECF

∴四边形AFCE是平行四边形。

几何教学是需要我们不断探索，不断探究的，教学是要寻找教师与学生的结合点，几何是要寻找文字→图形→推理表达的有机统一体，我们只有不断地自我提高，不断对学生进行严格有序的推理训练，才能有效地培养学生的逻辑推理能力和逻辑表达能力。

编辑 鲁翠红

摘 要：通过学习平行四边形，培养学生逻辑推理能力和逻辑思维表达能力。

关键词：平行四边形；定义；定理；数形关系；思维

《平行四边形》是九年级上册第三章证明（三）第一节的内容。是培养学生逻辑推理能力和逻辑思维表达能力的主要课程。下面谈谈我在教学中的几点体会。

一、注重平行四边形定义、定理学习过程，抓好定义、定理教学，合理安排教学

平行四边形的定义、定理，从现实世界得到其意义，又在更大的范围内作用于现实，学生只有在理解定义、定理的来龙去脉及其意义，而且熟练地掌握它们的各种用法，从而得到理性的认识之后，在数学学习中才能灵活地对其进行各种等价叙述，并在一个抽象的符号系统中正确应用，从而达到对数学符号语言学习的最高水平。教学过程是教师具体对某一个数学符号进行讲解、分析、举例、考查的过程。一些看起来相似，用起来容易混淆的定义，最好采用对比法教学。

例如，在学习“三角形的中位线”时，和“三角形的中线”相比较，平行四边形的定理都要进行推理论证，但其重要的是掌握定理的条件和结论，我们不要喧宾夺主，例如，“定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。”教学的重点不仅仅是证明定理，更是理解和掌握这个定理及结论，并能利用这个结论解决相关问题，定理理解掌握了，对学好几何证明也就有了强大的基础。

二、要合理破译图形语言的数形关系

图形语言是一种视觉语言，通过图形给出某些条件，其特点是直观，便于观察与联想，观察题设图形的形状、位置、范围，联想相关的数量或等式，这是破译图形语言数形关系的基本思想。（1）从语言到图形，即根据语言画出直观图。（2）从图形到符号，即把已有的直观图中各种位置关系用符号表示。（3）从符号到图形，即根据符号所示的条件，准确地画出相应的图形。在教学过程中要引导学生会把几何定义、定理从“语言文字叙述”转化为“几何语言表达”。几何命题有文字语言表达、图形表达和几何语言表达三种方式。同一个命题，虽然表达的方式不同，但表达的意思是一样的。如，

文字语言表达为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

几何语言表达为：∵AB∥DC，AD∥BC

∴四边形ABCD为平行四边形

几何图形表达为：■

几何定义、定理大都采用文字语言表达。因此，教师在教学时就必须加强学生的文字语言表达、几何图形表达和几何语言表达三者的有机结合训练，让学生对三种表述方式能互相转化，互译自如。

三、要注重从分析到综合的逻辑推理和由分析到综合的逻辑思维

在几何学习中，有些学生对几何论证逻辑性差，有些题目似乎自己看懂了，但就是写不出来，究其原因，主要是其分析综合能力比较差。如果每一道题都能从分析到综合或由综合分析（两头凑）到综合多练几遍，这种现象就有可能大大减少。

如下图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是BC、AD的中点，线段AM和CN分别交对角线BD于E、F。求证：BE=EF=FD。

■

1.分析法

要证：BE=EF=FD需要

■

2.综合法

平行四边形ABCD?圯BC∥AD，AD=BC

M、N分别是BC、AD的中点?圯AN=■ADCM=■BC?圯AN=CM

?圯四边形AMCN是平行四边形?圯AM∥CN

M是BC的中点?圯BM=CM

N是AD的中点?圯AN=DN

?圯BE=EFEF=FD?圯BE=EF=FD

3.分析综合法（两头凑）

由已知：易知

AN=DN=■ADBM=MC=■BC四边形ABCD是平行四边形?圯AD■BC?圯AN■CM

?圯四边形AMCN是平行四边形

?圯AM∥CN

由未知：

BE=EF=FD需要BE=EF需要AN=DNNF∥AEDF=EF需要BM=CMME∥CF

这样就达到了：由已知看可知

由未知看需知

四、一题多解，培养学生思维能力

一题多解可以变学生的单向思维为多向思维，开阔学生的视野。对于同一道题，从不同的角度去分析研究，可能会得到不同的启示，从而引出多种不同的解法，或者通过不同的侧面的观察，将学生的思维触角伸向不同的方向，摆脱固定的思维方式，发现思维过程中的不足，以完善学生的思维过程和思维品质。

如下图，已知在?荀ABCD中，BF=DE，求证：四边形AFCE是平行四边形。

证法一：（利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

在?荀ABCD中，AB=CD，AB∥CD

∵BF=DE

∴AF=CE

∵AF∥CE

∴四边形AFCE是平行四边形。

证法二：（利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形）

在?荀ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠D=∠B

∵BF=DE

∴AF=EC

∵DE=BF，∠D=∠B，AD=BC

∴△ADE≌△CBF（SAS）

∴AE=CF

∴四边形AFCE是平行四边形。

证法三：（利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形）

在?荀ABCD中，DC∥AB，AD=BC，∠D=∠B，AB=DC

∵∠DEA=∠EAF

∵DE=BF，∠D=∠B，AD=BC

∴△DAE≌△BCF（SAS）

∴∠CFB=∠DEA

∴∠EAF=∠CFB

∴AE∥CF

∴四边形AFCE是平行四边形。

证法四：（利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形）

在?荀ABCD中，∠D=∠B，∠DAC=∠DCB，

DC=AB，AD=BC

∵DE=BF，∠D=∠B，AD=BC

∴△ADE≌△CBF（SAS）

∴∠DEA=∠BFC，∠DAE=∠BCF

∵∠DEA+∠AEC=180°

∠BFC+∠AFC=180°

∴∠AEC=∠AFC

∵∠DAB=∠DCB，∠DAE=∠BCF

∴∠EAF=∠ECF

∴四边形AFCE是平行四边形。

几何教学是需要我们不断探索，不断探究的，教学是要寻找教师与学生的结合点，几何是要寻找文字→图形→推理表达的有机统一体，我们只有不断地自我提高，不断对学生进行严格有序的推理训练，才能有效地培养学生的逻辑推理能力和逻辑表达能力。

编辑 鲁翠红