基于小波域模糊阈值算法的脉冲星微弱信号消噪

甘伟，袁冰妍

（中国电子科技集团公司第二十研究所，西安 710068）

0 引言

脉冲星是一种具有超高压、超强磁场、超高温、高速自转及超高稳定周期的中子星被誉为自然界最稳定的时钟。在脉冲星发现后的半个世纪中，其研究主要集中在天文和物理等科研领域，并取得了极大成功。近三年来，随着航天技术的发展，脉冲星在精确定时和深空导航中的应用研究逐渐受到关注[1]。但是，脉冲星距离地球非常遥远，在传播过程中受到色散延迟、散射、相对论效应、地球运动及其他未知因素的影响[2]，在太阳系中接收到的信号非常微弱且湮没在噪声中。因此，脉冲星信号的降噪、检测方法研究对于脉冲星后续的科研、应用研究都具有极其重要的意义。

脉冲星信号降噪的目的有两点：第一，提高脉冲轮廓的精度，保留微脉冲等细节信息。累积脉冲轮廓是脉冲星极冠区的辐射窗口[3]，在多个频段获取精确的脉冲轮廓对研究脉冲星特定高度上的物理辐射机制具有重要意义。第二，提高信噪比。脉冲到达时间（TOA）的测量精度正比于信噪比[4]。因此，提高信噪比对于脉冲星自身物理特征研究、引力波辐射的检测、脉冲星定时、导航等依赖于TOA精确测量的科研和应用领域具有重要意义。

传统信号去噪方法主要包括线性滤波和非线性滤波方法，如中值滤波和Wiener滤波等。传统去噪方法的不足在于信号变换后的熵增高，无法刻画信号的非平稳特性并且无法得到信号的相关性。为了克服上述缺点，人们开始使用小波变换来解决信号去噪问题。小波变换具有低熵性、多分辨率、去相关性，选基灵活性等特点。而通常的小波软阈值和硬阈值去噪算法不能解决抑制噪声和保留脉冲细节之间的矛盾。如通用阈值可以大幅度提高信噪比，但其重构波形过于平滑，微脉冲等细节有较大损失；Stein无偏风险阈值可以保留部分细节，但却削弱了对噪声的抑制作用[5]。为了尽可能地在抑制噪声的条件下保留信号有用细节信息，文中提出了模糊阈值小波降噪算法，实验仿真验证了该算法的有效性。

1 小波去噪及典型阈值算法

1.1 小波去噪原理

含噪一维信号可以表示成：

且其二进制小波变换如下：

其中，φ为小波基。为真实信号，为噪声。实际中，有用信号通常表现为低频信号或是一些比较平稳的信号，而噪声则通常表现为高频信号。

由于有用信号与噪声有不同的Lipschitz指数，反映到小波域，表现为信号的小波系数随分解层数的增大而变化缓慢，噪声的小波系数随分解层数的增大而迅速衰减。在第3尺度上真实脉冲星信号的小波系数占主要部分，而噪声基本上为零。此时，只需要设定适当的阈值，即可将噪声滤除。所以去噪过程可以按如下方法处理：

首先对信号f进行小波分解（如进行 3层分解），则噪声部分通常包含在高频系数cD1，cD2，cD3中，因而可以采用门限阈值等方法对小波系数进行处理，然后对信号进行重构即可以达到去噪的目的。对信号f进行去噪的目的就是要抑制信号中的噪声成份，恢复出有用信号。

图1 信号的3层小波分解图

图1 中，cA1，cA2，cA3分别为分解后第1～3层的低频系数，cD1，cD2，cD3分别为分解后第1～3层的高频系数。

1.2 小波去噪步骤

一般来说，信号的去噪过程可分为三步进行：

（1）信号的小波分解。选择小波基并确定小波分解的层数N，然后对信号f进行N层小波分解。

（2）小波分解后高频系数的阈值处理。对第1到第N层的每一层高频系数，选择一种阈值法进行阈值量化处理。

（3）小波重构。根据小波分解的第N层的低频系数和经过阈值量化处理后的第1层到第N层的高频系数，进行信号的小波重构。

在这三个步骤之中，最关键的就是如何选取阈值和如何进行阈值的量化，它直接关系到信号去噪的质量。

1.3 小波去噪典型阈值算法

（1）硬阈值函数法其阈值函数为：

式中，λ为预置阈值或门限值，通常取（通用阈值法），σn是噪声的方差，N是信号的长度。硬阈值方法可以很好地保留信号边缘等局部特征，软阈值处理相对要平滑，但会造成边缘模糊等失真现象。

（2）软阈值函数法其阈值函数为：

软阈值法由它估计出来的小波系数与被处理信号的小波系数存在恒定的偏差。

（3）Stein风险阈值法：是采用Stein无偏似然原理（SURE）来确定的阈值。其具体算法如下[6]：

（a）将每一层小波变换的分解系数wj,k先平方，然后按由小到大的顺序进行排列，得到一个排序 后 的 向 量W= [W1,W2,…,Wn]且W1≤W2≤,…,≤Wn，其中为小波系数的个数。

（b）计算风险向量R=[r1,r2,…,rn]，其相应元素为：

通过此式的多次迭代比较，可以得到一个最小的ri。再以求出的该最小值ri作为风险值，最后由该风险值ri的下标i，求出对应的Wi。

2 模糊阈值小波降噪算法

可以通过选取不同的f(wj,k)，得到不同的偏大型模糊分布。如采用升岭形隶属度函数时，相应的f(wj,k)为：

为简化算法，本文采用升半梯形函数即：

因此所形成的隶属度函数为：

式中，k为隶属度函数曲线调节因子。式中a和b可以在下限和上限之间通过为隶属度函数赋合适的值来决定。 由于第j尺度中幅度小于等于的细节小波系数最有可能由噪声产生，所以当细节小波系数的幅度等于时，可将隶属度函数值设为接近于0的值，文中用ε来表示该值。同理，由于第j尺度中幅度大于等于的小波系数最有可能是原始信号造成的，因此当小波系数的幅度等于时，可将隶属度函数值设为接近于1的值，文中用1-ε来表示该值。将这些参数带入隶属度函数中可得：

因此可以推出参数a和b的表达式为：

3 实验结果及分析

3.1 脉冲星标准累积轮廓信号的降噪

本实验采用脉冲星 B0540-69的标准累积轮廓作为原始信号，如图2（a）所示。为验证本文提出的模糊阈值小波降噪算法对脉冲星信号的消噪效果，首先对原始标准轮廓信号进行加噪处理，如图2（b）所示，加噪后的信号其信噪比为6.0439dB。实验中信噪比作如下定义参考为：，f为原始信号，为含噪信号。

首先在小波域采用小波函数wavedec对含噪脉冲星信号进行小波分解，然后采用本文提出的方法计算每个样本点幅值的隶属度并确定该样本点否是信号或噪声的小波分解系数，最后采用小波函数waverec对模糊阈值小波降噪算法处理后的小波系数进行重构。实验中只对含噪脉冲星信号进行3个尺度的小波分解，其中隶属度函数曲线调节因子k设为0.7。本实验在Matalb 7.6.0环境下进行仿真，仿真结果如图2所示。

图2 （a） 脉冲星B0540-69的标准累积轮廓信号

图2 （b） 脉冲星B0540-69的含噪累积轮廓信号

图2 （c） 小波“db6”软阈值法消噪后的信号

图2 （d） 小波“sym4”软阈值法消噪后的信号

图2 （e） 模糊阈值小波降噪算法消噪后的信号

为了与模糊阈值小波降噪算法进行对比，本文采用了目前最为经典的小波降噪算法，将原始含噪信号在小波基“db6”和小波基“sym4”下展开并进行软阈值消噪处理，实验结果分别如图2（c）和图2（d）所示，模糊阈值小波降噪算法的实验结果如图2（e）所示。

从图2（a）可以看出：脉冲星B0540-69的标准累积轮廓有两个脉冲尖峰，一个“大尖峰”，一个“小尖峰”。从图2（c）和图2（d）可以看出：小波“db6”软阈值法和小波“sym4”软阈值法消噪后的信号过于平滑，把重要信息“小尖峰”已经平滑掉，损失了过多的细节信息。而如图2（e）所示的模糊阈值小波降噪算法能够很好的保留下“小尖峰”，说明该算法能保留一定的细节信息，不会出现过渡扼杀的现象。

表1 各算法降噪后比较

3.2 实测脉冲星累积轮廓信号的降噪

本实验是选取脉冲星 J0437-4715的辐射信号进行实验，该脉冲星信号来自欧洲脉冲星网络EPN数据库（The European Pulsar Network Data Archive）。如图3（a）是未经消色散处理的该脉冲星累积轮廓信号。图3（b）是经消色散处理后的脉冲星累积轮廓含噪信号。图3（c）是将消色散处理后的脉冲星含噪信号在小波基“db6”下展开，并进行软阈值消噪处理后的结果。图3（d）是将消色散处理后的脉冲星含噪信号经模糊阈值小波降噪算法处理后的结果。

从图 3（c）可以看出小波“db6”软阈值法消噪后的信号过于平滑，损失掉过多的细节信息，如部分脉冲顶过宽，势必会引起周期测量不准，且消噪后信号幅度减小。而模糊阈值小波降噪算法能避免这些情况。

图3 （a）未经消色散处理的脉冲星J0437-4715信号

图3 （b）含噪脉冲星累计轮廓信号

图3 （c）小波“Db6”软阈值法消噪后的信号

图3 （d）模糊阈值小波降噪算法消噪后的信号

4 结论

本文结合模糊理论，提出了一种模糊阈值小波降噪算法。实验结果表明：与小波“db6”和小波“sym4”软阈值消澡算法相比，该算法能有效的提高脉冲星辐射信号的信噪比，能保留较多的有用细节信息，避免脉冲累积轮廓过于光滑而引起脉冲顶过宽。

[1] 孙景荣, 许录平, 梁逸升 等. 中心差分Kalman 滤波方法在X射线脉冲星导航中的应用[J]. 宇航学报, 2008,29（6）:1829-1833.

[2] 仲崇霞,杨廷高. 小波域中的维纳滤波在综合脉冲星时算法中的应用[J]. 物理学报，2007，56（10）:6157-6163.

[3] 徐轩彬,吴鑫基.脉冲星 PSR2111+46平均脉冲分析和谱特性[J]. 中国科学（A辑）,2002,32（12）: 134-1141.

[4] Sheikh S I. The use of variable celestial x-ray sources for spacecraft navigation[D]. Maryland University PhD, 2005.

[5] 阎迪, 许录平, 谢振华. 脉冲星信号的模糊阈值小波降噪算法[J]. 西安交通大学学报, 200741（10）:1193-1196.

[6] 周怀来,李录明,罗省贤,李 枚.基于小波变换的改进阈值函数自适应去噪方法[J].物探化探技术,2006,28（2）:173-177.