等价无穷小替换定理本质及推广

摘要：通过等价无穷小的认知、分析，指出了等价无穷小替换定理的本质是将无穷小的基本初等函数替换为无穷小的幂函数，将等价无穷小替换定理由乘积推广到了和差运算，建立了新的定理。

关键词：基本初等无穷小；等价；初等无穷小；幂函数

中图分类号：G642.3 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）30-0106-03

文[1～7]给出了无穷小的定义、无穷小的阶以及等价无穷小替换定理的各种不同变形，讨论了等价无穷替换定理的各种应用。本文说明了等价无穷小替换定理的本质——用幂函数等价替换初等无穷小，并在此基础上将等价无穷小替换定理的应用范围由乘法运算推广到和差运算。

一、初等无穷小的定义和性质

众所周知，当x→0时sinx，arcsinx，tanx，arctanx，1-cosx，■-1，ex-1，ln（1+x）均为无穷小，而且与λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等价。为了描述方便，作如下定义：

定义 称时sinx，arcsinx，tanx，arctanx，1-cosx，■-1，ex-1，ln（1+x）为当x→0时的基本初等无穷小。

性质1 x→0时的基本无穷小均与λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等价。

性质2 基本初等无穷小复合运算后所得的初等无穷小λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等价。

证设α（x）、f（x）均为x→0时的基本初等无穷小，且α（x）～λ1x■，f（x）～λ2x■（λ1·λ2≠0，m1>0，m2>0），则

■■=■■·■=1

即f（α（x））也为x→0时的初等无穷小，且f（α（x））～λ■λ■■x■，令λ=λ■λ■■，μ=m1m2，则f（α（x））～λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）。即基本初等初等无穷小复合运算后所得的初等无穷小也与λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等价。

性质3 设α，β为x→0时的基本初等无穷小，且α～λ1x■，β～μ1x■（λ1·μ1≠0，m1>0，n1>0）.则（1）m1>n1时，α±β～±μ1x■；（2）m1

（3）m1=n1，且λ1+μ1≠0时，α+β～（λ1+μ1）x■；

（4）m1=n1，且λ1-μ1≠0时，α+β～（λ1+μ1）x■。

证 （1）■■=■■=■■=■■±1=±1；

（2）■■=■■±■■=1■■=1；

（3）■■=■■+■■=

■■+■■=1；

（4）■■=■■-■■=

■■-■■=1

性质4 设α，β为x→0时的基本初等无穷小，且α～λ1x■，β～μ1x■（λ1·μ1≠0，m1>0，n1>0）.则αβ～λ1 μ1x■。

利用等价的传递性和罗比达法则等运算可以得到连续可导的无穷小都能找到与之等价的幂函数λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）。

如：x→0时，lncosx=ln[（cosx-1）+1]～cosx-1～-■x2；

esinx-etanx=etanx（esinx-tanx-1）～etanx（sinx-tanx）～etanxtanx（1-cosx）～-■x3

二、等价无穷小替换定理的推广

等价无穷小替换定理[8]在自变量的同一变化过程中，设α～α1，β～β1，且lim■存在，则lim■=lim■。

等价无穷小替换定理的本质是在求极限时用幂函数替换各种初等无穷小。

等价无穷小替换定理是计算极限的一个重要而有力的工具。在极限运算中，等价无穷小替换定理能降低题目难度，减少运算步骤，使得求极限问题变得生动有趣。但是该定理要求整体替换，即只能替换乘积因子。在和差运算中，并非所有的极限都不能使用等价无穷小替换定理，有的可以，有的不可以。在什么情况下，和差运算中能够使用等价无穷小替换定理的研究很有必要。

定理 设x→0时α，β，γ是无穷小，且α～λxm，β～μxn■，γ～sxt（λ·μ·s≠0，m>0，n>0，t>0）。

（1）若m>n，则■■=0，n>t■，n=t∞，n

（2）若mt■，m=t∞，m

（3）若m=n，且λ+μ≠0则■■=0，m>t■，m=t∞，m

（4）若m=n，且λ-μ≠0则■■=0，m>t■，m=t∞，m

证 （1）若m>n，则■■=■■=■■=0，n>t■，n=t∞，n

（2）若mt■，m=t∞，m

（3）若m=n，且λ+μ≠0，则■■=■■=0，m>t■，m=t∞，m

（4）若m=n，且λ-μ≠0，则■■=■■=0，m>t■，m=t∞，m

该定理不仅给出了等价无穷小替换和差因子的使用条件，同时给出了结论。运用该定理时，首先要观察题目的结构，其次寻找函数中的与各因子等价的幂函数λxm，λxn，sxt，然后比较幂指数m，n，t，再利用定理进行运算。比较幂指数m，n，t时，先比较m，n求得min{m，n}，再比较min{m，n}与t的大小。

例1 求■■。

解 x→0时4sinx2～4x2，x3～x3，所以由引理的结论（1）得4sinx2+x3～4x2。又1-cosx～-■x2，因此由定理可得

■■=■■=■。

例2 求■■。

解 x→0时ln（1+2x）～2x，sinx～x，所以由引理的结论（3）得ln（1+2x）+sinx～3x。又tanx～x，因此由定理可得

■■=■■=3

例3 求■■。

解 x→0时■～■x，■～■x2，所以由引理的结论（4）得■-■～■x-（-■x）=x。又ex-1～x，因此由定理可得■■=■■=1。

例4 求■■。

解 x→0时■～■x4，■-1～■x4，所以由引理的结论（3）得■+■-1～■x4+■x4=x4。cosx-e■=（cosx-1）-（e■-1），而cosx-1～-■x2，e■-1～x2，所以由引理的结论（4）得（cosx-1）-（e■-1）～-■x2。又arctanx～x，因此

■■=■■=0。

上述例题运用定理均简化了计算，但运用定理时一定要注意定理的条件是否满足，若果不满足定理的条件，就不能使用。如■■就不能使用定理，因为sin2x～2x，tan2x～2x，2-2=0不满足定理的条件。

参考文献：

[1]吕端良，王云丽.关于等价无穷小应用的探讨[J].科技信息，2013，（6）.

[2]吴汉华.关于无穷小的等价替换及其推广[J].闽西职业大学学报，2005，（6）.

[3]陈新明.用等价无穷小代换求极限中的一些问题[J].高等数学研究，2008，（5）.

[4]李秋英，申亚丽.关于无穷小（大）学习中的几点注记[J].运城学院学报，2013，（2）.

[5]韦玉程.无穷小的再认识[J].河池学院学报，2013，（2）.

[6]王强.无穷小量的阶[J].湘南学院学报，2013，（2）.

[7]刘明鼎.等价无穷小在含积分上限函数中的应用[J].牡丹江大学学报，2013，（2）.

[8]同济大学高等数学教研室.高等数学第六版[M].北京：高等教育出版社，2011.

项目基金：本论文得到山东省高等学校青年骨干教师国内访问学者项目经费资助。滨州学院教学研究项目——BYJYYB201121；滨州学院优秀教学团队——BZXYJXTD201302。

作者简介：窦慧（1974—），女，山东惠民人，硕士，讲师，研究方向：高等数学研究和微分方程。

摘要：通过等价无穷小的认知、分析，指出了等价无穷小替换定理的本质是将无穷小的基本初等函数替换为无穷小的幂函数，将等价无穷小替换定理由乘积推广到了和差运算，建立了新的定理。

关键词：基本初等无穷小；等价；初等无穷小；幂函数

中图分类号：G642.3 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）30-0106-03

文[1～7]给出了无穷小的定义、无穷小的阶以及等价无穷小替换定理的各种不同变形，讨论了等价无穷替换定理的各种应用。本文说明了等价无穷小替换定理的本质——用幂函数等价替换初等无穷小，并在此基础上将等价无穷小替换定理的应用范围由乘法运算推广到和差运算。

一、初等无穷小的定义和性质

众所周知，当x→0时sinx，arcsinx，tanx，arctanx，1-cosx，■-1，ex-1，ln（1+x）均为无穷小，而且与λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等价。为了描述方便，作如下定义：

定义 称时sinx，arcsinx，tanx，arctanx，1-cosx，■-1，ex-1，ln（1+x）为当x→0时的基本初等无穷小。

性质1 x→0时的基本无穷小均与λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等价。

性质2 基本初等无穷小复合运算后所得的初等无穷小λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等价。

证设α（x）、f（x）均为x→0时的基本初等无穷小，且α（x）～λ1x■，f（x）～λ2x■（λ1·λ2≠0，m1>0，m2>0），则

■■=■■·■=1

即f（α（x））也为x→0时的初等无穷小，且f（α（x））～λ■λ■■x■，令λ=λ■λ■■，μ=m1m2，则f（α（x））～λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）。即基本初等初等无穷小复合运算后所得的初等无穷小也与λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等价。

性质3 设α，β为x→0时的基本初等无穷小，且α～λ1x■，β～μ1x■（λ1·μ1≠0，m1>0，n1>0）.则（1）m1>n1时，α±β～±μ1x■；（2）m1

（3）m1=n1，且λ1+μ1≠0时，α+β～（λ1+μ1）x■；

（4）m1=n1，且λ1-μ1≠0时，α+β～（λ1+μ1）x■。

证 （1）■■=■■=■■=■■±1=±1；

（2）■■=■■±■■=1■■=1；

（3）■■=■■+■■=

■■+■■=1；

（4）■■=■■-■■=

■■-■■=1

性质4 设α，β为x→0时的基本初等无穷小，且α～λ1x■，β～μ1x■（λ1·μ1≠0，m1>0，n1>0）.则αβ～λ1 μ1x■。

利用等价的传递性和罗比达法则等运算可以得到连续可导的无穷小都能找到与之等价的幂函数λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）。

如：x→0时，lncosx=ln[（cosx-1）+1]～cosx-1～-■x2；

esinx-etanx=etanx（esinx-tanx-1）～etanx（sinx-tanx）～etanxtanx（1-cosx）～-■x3

二、等价无穷小替换定理的推广

等价无穷小替换定理[8]在自变量的同一变化过程中，设α～α1，β～β1，且lim■存在，则lim■=lim■。

等价无穷小替换定理的本质是在求极限时用幂函数替换各种初等无穷小。

等价无穷小替换定理是计算极限的一个重要而有力的工具。在极限运算中，等价无穷小替换定理能降低题目难度，减少运算步骤，使得求极限问题变得生动有趣。但是该定理要求整体替换，即只能替换乘积因子。在和差运算中，并非所有的极限都不能使用等价无穷小替换定理，有的可以，有的不可以。在什么情况下，和差运算中能够使用等价无穷小替换定理的研究很有必要。

定理 设x→0时α，β，γ是无穷小，且α～λxm，β～μxn■，γ～sxt（λ·μ·s≠0，m>0，n>0，t>0）。

（1）若m>n，则■■=0，n>t■，n=t∞，n

（2）若mt■，m=t∞，m

（3）若m=n，且λ+μ≠0则■■=0，m>t■，m=t∞，m

（4）若m=n，且λ-μ≠0则■■=0，m>t■，m=t∞，m

证 （1）若m>n，则■■=■■=■■=0，n>t■，n=t∞，n

（2）若mt■，m=t∞，m

（3）若m=n，且λ+μ≠0，则■■=■■=0，m>t■，m=t∞，m

（4）若m=n，且λ-μ≠0，则■■=■■=0，m>t■，m=t∞，m

该定理不仅给出了等价无穷小替换和差因子的使用条件，同时给出了结论。运用该定理时，首先要观察题目的结构，其次寻找函数中的与各因子等价的幂函数λxm，λxn，sxt，然后比较幂指数m，n，t，再利用定理进行运算。比较幂指数m，n，t时，先比较m，n求得min{m，n}，再比较min{m，n}与t的大小。

例1 求■■。

解 x→0时4sinx2～4x2，x3～x3，所以由引理的结论（1）得4sinx2+x3～4x2。又1-cosx～-■x2，因此由定理可得

■■=■■=■。

例2 求■■。

解 x→0时ln（1+2x）～2x，sinx～x，所以由引理的结论（3）得ln（1+2x）+sinx～3x。又tanx～x，因此由定理可得

■■=■■=3

例3 求■■。

解 x→0时■～■x，■～■x2，所以由引理的结论（4）得■-■～■x-（-■x）=x。又ex-1～x，因此由定理可得■■=■■=1。

例4 求■■。

解 x→0时■～■x4，■-1～■x4，所以由引理的结论（3）得■+■-1～■x4+■x4=x4。cosx-e■=（cosx-1）-（e■-1），而cosx-1～-■x2，e■-1～x2，所以由引理的结论（4）得（cosx-1）-（e■-1）～-■x2。又arctanx～x，因此

■■=■■=0。

上述例题运用定理均简化了计算，但运用定理时一定要注意定理的条件是否满足，若果不满足定理的条件，就不能使用。如■■就不能使用定理，因为sin2x～2x，tan2x～2x，2-2=0不满足定理的条件。

参考文献：

[1]吕端良，王云丽.关于等价无穷小应用的探讨[J].科技信息，2013，（6）.

[2]吴汉华.关于无穷小的等价替换及其推广[J].闽西职业大学学报，2005，（6）.

[3]陈新明.用等价无穷小代换求极限中的一些问题[J].高等数学研究，2008，（5）.

[4]李秋英，申亚丽.关于无穷小（大）学习中的几点注记[J].运城学院学报，2013，（2）.

[5]韦玉程.无穷小的再认识[J].河池学院学报，2013，（2）.

[6]王强.无穷小量的阶[J].湘南学院学报，2013，（2）.

[7]刘明鼎.等价无穷小在含积分上限函数中的应用[J].牡丹江大学学报，2013，（2）.

[8]同济大学高等数学教研室.高等数学第六版[M].北京：高等教育出版社，2011.

项目基金：本论文得到山东省高等学校青年骨干教师国内访问学者项目经费资助。滨州学院教学研究项目——BYJYYB201121；滨州学院优秀教学团队——BZXYJXTD201302。

作者简介：窦慧（1974—），女，山东惠民人，硕士，讲师，研究方向：高等数学研究和微分方程。

摘要：通过等价无穷小的认知、分析，指出了等价无穷小替换定理的本质是将无穷小的基本初等函数替换为无穷小的幂函数，将等价无穷小替换定理由乘积推广到了和差运算，建立了新的定理。

关键词：基本初等无穷小；等价；初等无穷小；幂函数

中图分类号：G642.3 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）30-0106-03

文[1～7]给出了无穷小的定义、无穷小的阶以及等价无穷小替换定理的各种不同变形，讨论了等价无穷替换定理的各种应用。本文说明了等价无穷小替换定理的本质——用幂函数等价替换初等无穷小，并在此基础上将等价无穷小替换定理的应用范围由乘法运算推广到和差运算。

一、初等无穷小的定义和性质

众所周知，当x→0时sinx，arcsinx，tanx，arctanx，1-cosx，■-1，ex-1，ln（1+x）均为无穷小，而且与λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等价。为了描述方便，作如下定义：

定义 称时sinx，arcsinx，tanx，arctanx，1-cosx，■-1，ex-1，ln（1+x）为当x→0时的基本初等无穷小。

性质1 x→0时的基本无穷小均与λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等价。

性质2 基本初等无穷小复合运算后所得的初等无穷小λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等价。

证设α（x）、f（x）均为x→0时的基本初等无穷小，且α（x）～λ1x■，f（x）～λ2x■（λ1·λ2≠0，m1>0，m2>0），则

■■=■■·■=1

即f（α（x））也为x→0时的初等无穷小，且f（α（x））～λ■λ■■x■，令λ=λ■λ■■，μ=m1m2，则f（α（x））～λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）。即基本初等初等无穷小复合运算后所得的初等无穷小也与λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等价。

性质3 设α，β为x→0时的基本初等无穷小，且α～λ1x■，β～μ1x■（λ1·μ1≠0，m1>0，n1>0）.则（1）m1>n1时，α±β～±μ1x■；（2）m1

（3）m1=n1，且λ1+μ1≠0时，α+β～（λ1+μ1）x■；

（4）m1=n1，且λ1-μ1≠0时，α+β～（λ1+μ1）x■。

证 （1）■■=■■=■■=■■±1=±1；

（2）■■=■■±■■=1■■=1；

（3）■■=■■+■■=

■■+■■=1；

（4）■■=■■-■■=

■■-■■=1

性质4 设α，β为x→0时的基本初等无穷小，且α～λ1x■，β～μ1x■（λ1·μ1≠0，m1>0，n1>0）.则αβ～λ1 μ1x■。

利用等价的传递性和罗比达法则等运算可以得到连续可导的无穷小都能找到与之等价的幂函数λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）。

如：x→0时，lncosx=ln[（cosx-1）+1]～cosx-1～-■x2；

esinx-etanx=etanx（esinx-tanx-1）～etanx（sinx-tanx）～etanxtanx（1-cosx）～-■x3

二、等价无穷小替换定理的推广

等价无穷小替换定理[8]在自变量的同一变化过程中，设α～α1，β～β1，且lim■存在，则lim■=lim■。

等价无穷小替换定理的本质是在求极限时用幂函数替换各种初等无穷小。

等价无穷小替换定理是计算极限的一个重要而有力的工具。在极限运算中，等价无穷小替换定理能降低题目难度，减少运算步骤，使得求极限问题变得生动有趣。但是该定理要求整体替换，即只能替换乘积因子。在和差运算中，并非所有的极限都不能使用等价无穷小替换定理，有的可以，有的不可以。在什么情况下，和差运算中能够使用等价无穷小替换定理的研究很有必要。

定理 设x→0时α，β，γ是无穷小，且α～λxm，β～μxn■，γ～sxt（λ·μ·s≠0，m>0，n>0，t>0）。

（1）若m>n，则■■=0，n>t■，n=t∞，n

（2）若mt■，m=t∞，m

（3）若m=n，且λ+μ≠0则■■=0，m>t■，m=t∞，m

（4）若m=n，且λ-μ≠0则■■=0，m>t■，m=t∞，m

证 （1）若m>n，则■■=■■=■■=0，n>t■，n=t∞，n

（2）若mt■，m=t∞，m

（3）若m=n，且λ+μ≠0，则■■=■■=0，m>t■，m=t∞，m

（4）若m=n，且λ-μ≠0，则■■=■■=0，m>t■，m=t∞，m

该定理不仅给出了等价无穷小替换和差因子的使用条件，同时给出了结论。运用该定理时，首先要观察题目的结构，其次寻找函数中的与各因子等价的幂函数λxm，λxn，sxt，然后比较幂指数m，n，t，再利用定理进行运算。比较幂指数m，n，t时，先比较m，n求得min{m，n}，再比较min{m，n}与t的大小。

例1 求■■。

解 x→0时4sinx2～4x2，x3～x3，所以由引理的结论（1）得4sinx2+x3～4x2。又1-cosx～-■x2，因此由定理可得

■■=■■=■。

例2 求■■。

解 x→0时ln（1+2x）～2x，sinx～x，所以由引理的结论（3）得ln（1+2x）+sinx～3x。又tanx～x，因此由定理可得

■■=■■=3

例3 求■■。

解 x→0时■～■x，■～■x2，所以由引理的结论（4）得■-■～■x-（-■x）=x。又ex-1～x，因此由定理可得■■=■■=1。

例4 求■■。

解 x→0时■～■x4，■-1～■x4，所以由引理的结论（3）得■+■-1～■x4+■x4=x4。cosx-e■=（cosx-1）-（e■-1），而cosx-1～-■x2，e■-1～x2，所以由引理的结论（4）得（cosx-1）-（e■-1）～-■x2。又arctanx～x，因此

■■=■■=0。

上述例题运用定理均简化了计算，但运用定理时一定要注意定理的条件是否满足，若果不满足定理的条件，就不能使用。如■■就不能使用定理，因为sin2x～2x，tan2x～2x，2-2=0不满足定理的条件。

参考文献：

[1]吕端良，王云丽.关于等价无穷小应用的探讨[J].科技信息，2013，（6）.

[2]吴汉华.关于无穷小的等价替换及其推广[J].闽西职业大学学报，2005，（6）.

[3]陈新明.用等价无穷小代换求极限中的一些问题[J].高等数学研究，2008，（5）.

[4]李秋英，申亚丽.关于无穷小（大）学习中的几点注记[J].运城学院学报，2013，（2）.

[5]韦玉程.无穷小的再认识[J].河池学院学报，2013，（2）.

[6]王强.无穷小量的阶[J].湘南学院学报，2013，（2）.

[7]刘明鼎.等价无穷小在含积分上限函数中的应用[J].牡丹江大学学报，2013，（2）.

[8]同济大学高等数学教研室.高等数学第六版[M].北京：高等教育出版社，2011.

项目基金：本论文得到山东省高等学校青年骨干教师国内访问学者项目经费资助。滨州学院教学研究项目——BYJYYB201121；滨州学院优秀教学团队——BZXYJXTD201302。

作者简介：窦慧（1974—），女，山东惠民人，硕士，讲师，研究方向：高等数学研究和微分方程。