民国时期关于数学“问题解决”教学的研究

王 敏，代 钦

（内蒙古师范大学 科技史研究院，内蒙古 呼和浩特 010022）

俗曰：穷则变，变则通，通则久．教学法的发展也遵循着同样的发展规律．自1919年以后，新文化运动的开展，使中等学校的教授法由注入式转向启发式．1922年“壬戌学制”的制定与实施，更加强调了教学法在教学中的地位，随着设计教学法、道尔顿制、文纳卡制相继传入中国，大大促进了该时期对教学法的研究．到20世纪二三十年代以后，中国中小学较流行的教学法有讨论法、试验法、演算法、问答法、五段教学法、复式教学法等，其中已有“问题解决”教学法的雏形，民国时期对这一问题的提法和研究很多．以下考察民国时期关于数学“问题解决”的研究与发展．

1 数学“问题解决”教学概述

一般认为，“问题解决”（Problem Solving）是美国教师协会（NCTM）在第四届数学教育大会上提出的口号．这也是20世纪美国数学教育在经历了“新数运动”和“回归基础”之后，提出的新的思路和观点．随后，这一思想在各国的数学教育中被采纳，20世纪80年代末到90年代初“问题解决”传入中国，并生根发芽，经过众多学者的研究，现已成为中国数学教育研究的核心内容，同时也是学校数学教育的中心．实际上，涉及数学“问题解决”教学法的研究却在80年前就已经出现．

数学问题解决教学就是从问题出发，以数学思想方法为线索，以数学问题解决为目的，使数学教学成为数学活动的教学、数学思维的教学、再创造和再发现的教学．

关于数学“问题解决”教学的研究涉及到了数学教育的根本目标、基本的数学观、数学教学、学习以及数学活动的性质等[1]．研究将“问题解决”当作一种教学方式即通过数学问题引入教学内容并通过数学问题解决达到学习新知识，复习、巩固已学知识的目的．

2 民国时期关于数学“问题解决”教学的研究

民国时期没有直接提到以“问题解决”教学法命名的教学法定义，然而从民国时期中国翻译研究国外的数学教学法方面的书籍和文章来看，关于数学“问题解决”教学的提法和研究在民国时期就已经出现，而且在其它教学法的研究中，也有涉及到类似的研究，如“设计教学法”、“问题教授法”、“教室中解决数学问题”等，这些研究均提到了数学“问题解决”教学的步骤及其注意事项．以下借助一些主要论著、期刊中的文章考察民国时期涉及数学“问题解决”教学的研究．

2.1 从“问题教授法”到“问题教学法”

最早关于“问题解决”教学的研究可以追溯到1919年刊登在《教育杂志》中的一文《问题教授法》[2]．该文以心理学、教育学为基础，从论理学（逻辑学）的角度分析了问题教授法的 4个步骤：（1）问题之叙述或问题之提出；（2）问题之分析或问题之定义；（3）问题之解答或问题之拟定；（4）问题之证明或问题之检证．

然后强调在数学教学课堂实施的过程中应注重与学生的心理相符，包括所选内容和所选的教学过程，并将学生的心理分为3级：首先理解新知识为何物；其次融合新知识，与已有知识进行调整；最后将所得知识进行应用从而掌握新知识．教师的工作可以分为两级：一是课前考察学生已有的数学知识，展示与新知识相关的内容；二是尽量将所要理解的新知识展现给学生[2]．同时译者在对文章的翻译中强调这是国外的研究结果，不能“专顾现今经验不顾种族经验”．

最后对“问题教授法”做如下评价：问题教授法最大之长处即在其法无一成不变之形式……为教员者不特当其所授教材而已尤必声明学生之性质，寻得此二者间之真正接触点而后可，夫问题教授法在将教育重心自教材而转至儿童此于上文已述之矣……故教员之于学生亦必寻其精神体魄及灵魂之发育之途径而诱掖辅导之是非，富于同情敏于感觉长于材技有断难胜任愉快者矣神而明之存乎其人，此良好之教授法所以有待于良好之教员也．可见，该时期的问题教授法强调在教学过程中不仅注重教材的选择而且关注学生的实际情况，同时在教学法的使用中关注新旧知识的联系，注重知识的重组和实际应用．

又如，太玄著《算术上应用问题之初步教授》[3]中针对算术教授中应用问题成绩差的状况，提出教师在算术教学中，先以事实问题为教授的出发点，教授之前应先引导学生考察问题的事实，然后再计算．算术问题的取材也要以学生日常生活及学习的经验为主．再使学生理解问题的目的与意义，明白问题与计算式之间的关系．最后培养问题解法的基础：（1）题意与事实及图解或举例；（2）立式之指导；（3）表明事实关系之问题用语与算法之关系；（4）说明法．

1920年以后，随着“教授法”向“教学法”的转变[4]，教育观念也随之发生了变化，从传统的注重教师的教转向关注学生的学．这种观念在问题解决的教学中体现得尤为明显．如：H. R. Douglass著，蒋励材译《问题教学法》一文分析问题教学法中问题的设定、实施的办法及其程序．从归纳和演绎两方面总结学生解决问题的程序，如表1所示．

表1 关于解决问题比较重要的程序[5]

2.2 杜佐周从数学的心理角度分析数学“问题解决”

1926年，杜佐周连载于《教育杂志》第18卷第4号的《数学的心理》，其中论述了数学心理的范围包括算术、代数和几何．在“算术的心理”一节中就涉及了问题解决步骤的分析．将算术“问题解决”的步骤分以下3步：

第一，完全读懂问题的题意，即分析题目的内容．

第二，懂得计算这个问题的各种方法的意义．学生对于已经归类的问题，经过相当的练习很快能够计算，但是一旦改变题意，就不能正确地计算，原因在于对计算方法的真实意义不是很明了．

第三，能利用实体的想象、明了其空间或数量的关系．能否想象一个问题的具体背景与理解这个问题的程度，有很密切的关系．

所以教师应注意在教学时培养学生自己推理的能力，通过观察学生能否利用实体的想象，明了空间或数量的关系来判断学生的推理能力和掌握能力．

综上，从各种涉及数学“问题解决”教学的研究表明：民国时期关于“问题解决”教学法的主要步骤为：首先，弄清题意；其次，结合已有知识和方法分析问题；再次，确定解决问题的办法；最后，证明结论．这与1948年波利亚在《怎样解题》中提出的解题步骤其本质是一致的．

2.3 从科学方法论角度研究数学“问题解决”

随着科学知识和科学方法研究的不断深入，科学方法及数理研究方法相继传入中国．出现了从科学方法角度分析数学问题解决的研究．1935年，由徐韦曼翻译的 F. W.Westaway的《科学方法论》第六册中“教室中解决数学问题”一节（图 1），从科学方法的角度分析了教室中如何进行数学“问题解决”教学．

文中以怀疑数学研究与数学知识的用处开篇，总结为两点：第一，数学不能实际估量各种矛盾之盖然性，对应付日常变化之事件不能有所帮助；第二，普通解决数学问题所用的方法为综合法，然后逐步循例进行，似甚简单，而每步均直接论理的也是随着前一步进行，故其程序似乎完全没有应用智力也[6]．这其中蕴含了科学方法中的综合法和演绎法，而数学研究不仅仅包含这两种方法，如数学家大多数的研究工作还是以采用分析和归纳的方法较多．这些观点与该时期翻译出版的《算学丛书·数理方法论》中关于科学研究的方法有相似之处，该书针对“研究上之技术”中强调开始研究一个问题时，大都先由归纳得到一种推断，然后再求证于演绎．同时，归纳与演绎的最大区别在于：演绎可获得确实的一般性，而归纳则仅能将个别事例用推想的方式推广，而且其中必须要先得到一个结论[7]．

图1 《科学方法论》

在数学教学中，教师要求学生解决一个数学问题，若全班均不能解决，而由教师直接讲解，则为教学中的大错．在数学问题解决中，学生需要的是一种暗示，用来启发与问题相关的方法，然后自行解决问题．所以“教授数学之艺术，根本只可是应用启发之方法，所予之暗示，只须足以提醒其作法之大概，使其自动设计以攻问题之中心困难，而不可告之过多也．”[6]

从科学方法的角度看，数学“问题解决”的核心方法为分析法，具体操作主要是暗示，这与后来波利亚提出的启发法有异曲同工之妙．在实施暗示法的时候要注意以下几点：

第一，解决数学问题时，要了解学生以前相关知识掌握的多寡．

第二，引导学生用系统的方法记载其材料，并掌握公式在不同条件下应用的能力．注重引导学生将普通原则用于特殊问题之中．

第三，教师要观察学生是否对所学原则均已谙习，否则不能应用其原则．

总之，应用于数学问题解决的科学方法应以分析法为主，包含归纳法和发现法．在数学问题解决中，学生首先要明白问题的内容以及所须经过的步骤，对其采用的方法是在教师的引导下发现的，而且教师只限于暗示，即询问一两个问题，不能直接讲授解题方法．同时对于有能力的学生，要教其主动运用分析法．

2.4 波利亚对数学“问题解决”的研究

论及数学“问题解决”的研究，首先最应该提及的是著名数学家波利亚（G. Polya）的研究，他的研究可以看作是现代“问题解决”教学法研究的先驱，而且是直接的理论基础．波利亚的数学观认为：数学是一门演绎的科学，又是一门实验性的归纳科学，并以此为契机，提出著名的数学与学习的心理三原则．他的解题表在数学问题解决教学中发挥了重要作用．

波利亚《怎样解题》的第一版在1948年被中国中华书局翻译出版[8]，该书包括3部分，即数学解题教学；解题问答——对话；促发术各论[9]．在开头就展示了“怎样解题表”，它展现了课堂中数学问题解决的过程，通过一些具体例题的展示阐释了“怎样解题表”的程序，即了解问题、拟定计划、实现计划和回顾的过程．随后，波利亚出版了《数学的发现》等一系列关于解题研究的著作，正是对数学解题的研究推动了波利亚对数学“问题解决”教学模式的形成．

波利亚对数学“问题解决”教学的研究主要表现在以下两方面：

第一，重视数学“问题解决”的研究．首先，他提出了数学“问题解决”教学的教学模式，即“怎样解题表”．其次，他认为：解决一个问题是智力的特殊成就，而智力乃是人类的天赋，因此解题可以认为是人的最富有特征性的活动[10]．数学在发展学生的智力方面恰恰是“具有最大的可能性”，所以数学教师在数学教学中要尽一切可能发展学生解决数学问题的能力．

第二，强调数学“问题解决”要注重“启发法”．波利亚在“问题解决”方面的工作主要集中于“启发法”，他的“怎样解题表”中的问题和建议就是“启发法”的核心．

3 借古视今

1922年以后，中国的数学教育从单纯学习日本转向学习美国，大量译介美国数学教科书和教学法著作．“问题解决”教学法的思想逐渐在各种教学法研究中被渗透，虽然没有查到在全国实施的情况，但从该时期课程标准“教法要点”中可以看出其中的变化，如《初级中学算学课程标准》（1936年）中就“教法要点”中关于“练习题之选择”，应注意（甲）多选实际问题，少选抽象问题；（乙）多选常态生活问题，少选假设疑难问题．《六年制中学数学课程标准》（1941年）中，强调“几何证题宜尽量使用启发法、逆证法，以明思考之途径，并应就定理间关系，组织系统……庶学生得提纲挈领，运用自如……”[11]其中在数学教育、教学中的变化主要体现在以下几方面：

第一，该时期随着教授法向教学法的转化，教学过程注重以教师的教为中心转换为以学生的学为中心．

在课程设置方面，开始考虑到学生的需要、已有知识结构和学生的主观兴趣等．

教学过程方面，更加注重教授的艺术，由以往的直接讲授改为暗示、启发与问题相关的方法，让学生自行解决问题．

第四，更加强调培养学生运用数学知识解决实际问题的能力．

总之，民国时期“问题解决”教学法在与各种教学法的结合应用与研究中，从教学步骤及建议等方面进行研究，对改善当时的教学法要求起到了重要的作用，更是对数学教育的发展有着特殊的意义．

目前，“问题解决”作为数学教学的新方向，已经被国内外的专家学者所认可，许多数学教育家、心理学家对其进行了大量系统的研究，主要涉及“问题解决”概念的界定、本质的分析、要素的整理、过程的解释等，并对其教学模式及心理机制、思维策略等的研究基础上提出了相应的教学策略．纵观民国至今关于“问题解决”教学的研究，现今的研究是在以往的基础上发展起来的，如波利亚对“问题解决”教学的研究对当今的数学教育改革仍具有借鉴作用，但现今的研究较民国时期关于“问题解决”教学的研究具有涉及范围广、实践性强等特点．

[1]郑毓信．问题解决与数学教育[M]．南京：江苏教育出版社，1994．

[2]施高德．问题教授法[J]．钱智修译．教育杂志，1919，（10）：10．

[3]太玄．算术上应用问题之初步教授[J]．教育杂志，1916，（6）：109．

[4]代钦．我国近现代数学教学法发展研究[J]．内蒙古师大学报，2000，（2）：158．

[5]Douglass H R．问题教学法[J]．蒋励材译．安徽教育，1930，（19）：62．

[6]Westaway F W．科学方法论[M]．徐韋曼译．上海：商务印书馆，1935．

[7]Holder．算学丛书·数理方法论[M]．上海：商务印书馆，1937．

[8]代钦，韩斌．纪念波利亚《怎样解题》中文版60周年[J]．内蒙古师范大学学报，2009，（5）：599．

[9]Polya．怎样解题[M]．周佐严译．上海：中华书局，1948．

[10]乔治·波利亚．数学的发现——对解题的理解、研究和讲授[M]．刘景麟译．北京：科学出版社，2001．

[11]课程教材研究所．20世纪中国中小学课程标准·教学大纲汇编（数学卷）[M]．北京：人民教育出版社，2001．