奇妙的斐波那契数列

于海杰

（赤峰学院 初等教育学院，内蒙古 赤峰 024000）

奇妙的斐波那契数列

于海杰

（赤峰学院 初等教育学院，内蒙古 赤峰 024000）

斐波那契数列在各领域都有广泛的应用.本文简单介绍了斐波那契数列的由来，斐波那契数列的简单应用及自然界中的斐波那契数.

斐波那契数列；通项公式；性质；应用

1 问题的提出

定理 若 n∈N，

所以 a，b是方程 x2-x-1=0的两个根，

则 a2=a+1，b2=b+1，所以

同理 bn+1=bn+bn-1.从而有

即 f(n)=f(n-1)+f(n-2)，n≥2.

于是 f(0)=1，f(1)=1，f(2)=f(0)+f(1)=2，f(3)=f(2)+f(1)=3，……都是正整数，定理得证.

从上述定理的证明不难看出：这是一个由自然数构成的数列，通项公式竟然是用无理数表示的；并且这个数列，前两项都为 1，从第三项起，每一项都是前两项之和，这个数列就是有名的斐波那契数列，又称黄金分割数列.

2 斐波那契数列的由来

13世纪意大利数学家斐波那契在他的《算盘书》的修订版中增加了一道著名的兔子繁殖问题.问题是这样的:如果每对兔子（一雄一雌）每月能生殖一对小兔子（也是一雄一雌，下同），每对兔子第一个月没有生殖能力，但从第二个月以后便能每月生一对小兔子.假定这些兔子都没有死亡现象，那么从第一对刚出生的兔子开始，12个月以后会有多少对兔子呢？解释说明为：一个月：只有一对兔子；第二个月：仍然只有一对兔子；第三个月：这对兔子生了一对小兔子，共有 1+1=2对兔子.第四个月：最初的一对兔子又生一对兔子，共有 2+1=3对兔子.则由第一个月到第十二个月兔子的对数分别是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……，后人为了纪念提出兔子繁殖问题的斐波纳契，将这个兔子数列称为斐波那契数列，即把 1，1，2，3，5，8，13，21，34…这样的数列称为斐波那契数列.

3 斐波那契数列的通项公式

由斐波那契数列的定义，可以知道斐波那契数列的各项之间有如下的关系：

通过上面定理的证明可以得出斐波那契数列的通项公式为

注意：这个公式又叫“比内公式”，正如前面所说这是用无理数表示有理数的一个范例.

4 斐波那契数列的性质

性质1若数列{Fn}为斐波那契数列，则；其中为黄金分割比.

性质 2

斐波那契数列还有许多其他性质，可参考相关研究文献[3-5].

5 斐波那契数列的简单应用

例 1(爬楼梯问题) 某人爬有 n个台阶的楼梯，规定每一步只能跨迈一个或两个台阶，问这个人有多少种不同的爬楼方法？

解 设爬 n个台阶有 an种方法.登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……

1，2，3，5，8，13……

考虑最后一步：若最后一步迈一个台阶，则前 n-1个台阶有 an-1种方法；若最后一步迈两个台阶，则前n-2个台阶有an-2种不同的方法.于是，由加法原理得：an=an-1+an-2，可知其初值a1=1，a2=2，从而an=Fn+1(n>2).

例2比较a与b的大小关系，已知

所以 a=b

例3现有长为150cm的铁丝，要截成n(>1)段，每段的长为不小于1cm的整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段（第17届江苏省初三数学竞赛题）.

解 欲使 n尽可能的大，则每段长应该尽可能的小，又由每段的长不小于1cm，所以应从1开始分截，假定含有1的起始三段长为1,b,c，且1≤b≤c，为了使这三段都不能构成三角形，则1+b≤c，又要满足b,c尽可能的小，故取b=1,c=2，于是这n段可分截如下：

1,1,2,3,8,13,ΛΛ，这就是斐波那契数列，

又因为 1+1+2+3+5+8+13+21+34+55<150，

而 1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89>150，

故 n的最大值为 10，将长为 150cm的铁丝分成满足条件的10段共有如下7种方式：

⑴1、1、2、3、5、8、13、21、35、61

⑵1、1、2、3、5、8、13、21、36、60

⑶1、1、2、3、5、8、13、21、37、59

⑷1、1、2、3、5、8、13、21、34、62

⑸1、1、2、3、5、8、13、22、35、60

⑹1、1、2、3、5、8、13、22、36、59

⑺1、1、2、3、5、8、14、22、36、58

6 自然界中的斐波那契数

斐波那契数列中的任意一个数，都叫斐波那契数.斐波那契数是大自然的一基本模式，可以出现在许多场合.

6.1 树木生长中的斐波那契数

一棵树在一年后长出一个新枝，休息一年后再长出一个新枝，以后每个树枝都遵循这样的规律，于是第一年只有一个主干，第二年有两个枝，第三年三个，第四年五个，以此类推，便构成了斐波那契数列.这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”.

6.2 花瓣数中的斐波那契数

大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波那契数.如兰花、茉利花、百合花都是 3个花瓣，毛茛属的植物有 5个花瓣，翠雀属植物有 8个花瓣，万寿菊属植物有 13个花瓣，紫菀属植物有 21个花瓣，雏菊属植物有 34、55或 89个花瓣.

6.3 向日葵花盘内葵花子排列的螺线数

向日葵花盘内，种子是按对数螺线排列的，有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线.两组螺线的条数往往构成相继的两个斐波那契数，一般是34和55，大向日葵是89和144，还曾发现过一个更大的向日葵有144和233条螺线，它们都是相继的两个斐波那契数.

目前关于斐波那契数列的相关研究比较多，主要研究斐波那契数列的性质以及在各领域的应用，如斐波那契数列在数学、物理、化学甚至金融等领域的应用.美国数学会1960年出版了《斐波那契数列》季刊，专门发表有关斐波那契数列新发现和新用途的文章.可见，今后对于斐波那契数列的研究依旧前景广阔.

〔1〕课程教材研究所数学课程教材研究开发中心.初等数论[M].北京：人民教育出版社，2003.

〔2〕于海杰.论连分数的应用[J].赤峰学院学报，2014（2）.

〔3〕凌晓牧.有趣的斐波那契数列[J].江苏教育学院学 报，2011（10）.

〔4〕王君行．斐波那契数列的一些有趣的性质[J]．数学通报，2009（48）．

〔5〕林喜季．关于斐波那契数列的性质探讨[J]．福建商业高等专科学校学报，2006（12）．

〔6〕李文林．数学史概论［M］.北京:高等教育出版社，2000．

〔7〕凌晓牧.有趣的斐波那契数列[J].江苏教育学院学 报，2011（10）.

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1673-260X（2014）08-0001-02