Laplace变换在解微分方程中的应用研究

陆求赐

（武夷学院 人文与教师教育学院， 福建 武夷山 354300）

Laplace变换在解微分方程中的应用研究

陆求赐

（武夷学院 人文与教师教育学院， 福建 武夷山 354300）

本文阐述了Laplace变换在常微分方程与偏微分方程求解方面的应用，并对Laplace变换的应用进行了总结.

Laplace变换；常微分方程；偏微分方程

1 引言

与 Fourier变换法[4]一样，Laplace变换也是一种很重要的积分变换，它在工程技术、电路分析、天线、信号处理甚至天文学等方面都有重要的应用[1-3].同时 Laplace变换在 求解常微分方程、偏微分方程以及广义积分、反常积分等方面也都有着重要的应用[5-8].

我们在求解常微分方程时，可以利用 Laplace变换消去对自变量的求导运算，从而将常微分方程化成关于像函数的代数方程，然后再解出代数方程，最后求出 Laplace逆变换即可得出原常微分方程的解.这种方法也可用在求解偏微分方程的过程中，对于含有两个自变量的偏微分方程，在方程两端对其中一个自变量取 Laplace变换(一般为时间 t)，可得到像函数关于另一个自变量的常微分方程，解出此方程，最后取逆变换，得到原问题的解，可极大地降低解题的难度.

本文首先给出 Laplace变换的定义与存在条件；文章第二部分说明如何利用 Laplace变换来求解常微分方程；第三部分通过例子说明如何利用 Laplace变换来求解偏微分方程；最后对 Laplace变换在求解微分方程中的应用进行总结.

下面先给出 Laplace变换的定义、存在定理与常用性质：

引理 1(Laplace变换存在定理) 如果函数 f(t)满足下面两个条件：(1)在 t≥0的任一有限区间上分段连续；(2)存在常数 M>0及 c≥0，使得 |f(t)|≤Mect(0≤t<+∞)成立；那么，f(t)的拉普拉斯变换在半平面 Re(s)>c内一定存在，且是解析的.

性质 1(微分性质)

性质 2(卷积性质)

若 L{f(t)}=F(s),L{g(t)}=G(s)，则

2 Laplace 变换在解常微分方程中的应用

利用 Laplace变换求解常微分方程的关键在于消去对自变量的求导运算，从而将常微分方程化成关于像函数的代数方程，在求 Laplace逆变换时可以按定义计算或者查Laplace变换表.下面说明如何利用 Laplace变换来求解一阶、二阶、k阶常微分方程.

2.1 一阶常微分方程的解法

这里只要结合 Laplace变换的微分性质及初始条件（2），式（1）可化为，则有

式（3）即为式（1）满足初始条件（2）的解的表达式.例1 解初值问题：

2.2 二阶常微分方程的解法

其中 y=y(t)为未知函数，f(t)为已知函数，p1,p2为常数.

这里只要结合 Laplace变换的微分性质及初始条件（5），式（4）可化为

其中式（6）中，H(S)=S2+p1S+p2,H0(S)=C1(S+p1)+C2，式（6）即为式（4）满足初始条件（5）的解的表达式.

2.3 阶常微分方程的解法

其中 y=y(t)为未知函数，f(t)为已知函数，p1,p2,L,pn为常数.

这里只要结合 Laplace变换的微分性质及初始条件(8)，可得式(7)的解为

从以上的求解过程可以看出，利用 Laplace变换来求解常微分方程要比直接求解简单易行，而且在求 Laplace逆变换时可以查 Laplace变换表，这也极大简化了计算过程.另外，若是求解常微分方程组，也可类似地对每个常微分方程进行 Laplace变换，得到一个像函数的方程组，然后对每个方程取 Laplace逆变换即可[5].

3 Laplace 变换在解偏微分方程中的应用

Laplace变换可用来求解含时间变量的偏微分方程定解问题.比如含有变量 x和 t两个变量的偏微分方程定解问题，经过对时间变量 t进行变换后，就变为常微分方程(变量为 x)的定解问题了.然后利用 Laplace变换对此常微分方程(变量为 x)进行求解，并得到解的像函数，再对其进行反演，则可得到原问题的解.下面通过一个例子来进行说明：

例3 求无界杆的热传导问题

解 首先说明一下这里的边界 u|t=0=0，-∞

此式为关于变量 x的常微分方程，根据文[2]例 11.11的结果，可以得到

再根据 Laplace变换的反演公式得，

最后再根据卷积定理，可得到原方程的解

从以上的求解过程可以看出，用 Laplace变换求解偏微分方程的定解问题，除了减少自变量的数目以外，某些已知函数的像函数(例如方程的非齐次项，它的形式可能很复杂)甚至都不必具体求出，在求反演时只需应用卷积定理即可.

综上可知，用 Laplace变换求解偏微分方程的步骤可归纳为：(1)对方程施行 Laplace变换，这一变换把初始条件也一并考虑了；(2)从变换后的方程解出像函数；(3)对求出的像函数进行反演，此时也可以查阅 Laplace变换表，所求的原函数就是原来方程的解.

4 小结

Laplace变换在解决常微分方程问题时，常微分方程经过变换，变成了代数方程，解出代数方程，再进行反演就能得到原常微分方程的解.在解决偏微分方程问题时，偏微分方程经过变换，变成了常微分方程，解出常微分方程，再进行反演就得到了原来偏微分方程的解.用 Laplace变换求解偏微分方程定解问题还有一个优点，就是不必将非齐次边界条件齐次化.

〔1〕潘祖梁，陈仲慈.工程技术中的偏微分方程[M].杭 州：浙江大学出版社，1995.139—150.

〔2〕吴崇试.数学物理方法[M].北京:北京大学出版社,1999.

〔3〕[美]罗纳德·N·布雷斯韦尔.傅里叶变换及其应[M].西安：西安交通大学出版社，2005.8.1-4.

〔4〕陆求赐.Fourier变换在求解半无界空间上波动方程中的应用[J].武夷学院学报，2014,33(2):50-53.

〔5〕施晓红.Laplace变换在求解线性微分及积分方程中的应用[J].昆明理工大学学报(理工版)，2009，34(3)：121-124.

〔6〕胡轶.浅析Laplace变换应用于初值问题[J].太原教育学院学报，2007，25(2).88-91.

〔7〕张洁萍，李俊林.关于Laplace变换及其性质的应用研究[J].太原科技大学学报，2010，32(3)：249-251.

〔8〕唐妍霞.利用Laplace变换求解一维波动方程的定解问题[J].河北北方学院学报(自然科学版)，2010，26(3)：16-19.

O175

A

1673-260X（2014）08-0003-02

武夷学院校科研基金资助项目(XL1204)