数学概念教学中存在的问题及优化策略

金力飞

一、存在的问题

1.情境创设——重情境、轻问题。在概念教学中创设情境，能引起对数学意义的思考的是情境中的数学问题，而不是情境本身，可见数学问题是情境的核心。但“重情境、轻问题”，甚至“为情境而情境”的现象却普遍存在于各种概念教学的课堂中。

2.概念构建——重结果、轻过程。在以往的教学中，“一个定义三项注意”式的教学很常见，许多教师采用直接向学生“抛”出概念，再强调一些注意事项的方式进行概念教学。他们不愿意在概念教学上多花时间，认为让学生多做题目才是最实在的。当前，新课程下的数学概念教学表面上是“注重过程，揭示背景”，其实质并没有让学生经历概念形成的过程。

3.问题设计——重分解、轻思维。不少教师对“问题串”设计的理解存在偏差，在问题设计的时候过多地关注细节，追求面面俱到，将一个具有丰富数学思维的问题分解成若干个小问题，以小问题的解决“替代”数学思维过程。

4.例题选择——重技巧、轻思想。例题的讲解与示范不仅有助于进一步理解概念的内涵与外延的作用，还担负着把知识转化为能力的重要使命。但在例题选择上存在的问题是：与当前内容脱节，题目太难，技巧太强，不重视数学思想。

5.课堂小结——重形式、轻升华。课堂小结往往会被一些教师所忽视，或者很少精心准备，或者流于形式，或者由于时间安排不当草草收场。

二、优化概念教学的策略

1.创设有效情境，激活学生思维

在概念教学中创设情境的目的是从熟悉的背景出发，利用学生原有的知识经验，激发由情境引起的数学意义的思考，从而抽象出数学概念，并经历概念的形成过程。显然，有效的问题情境应该基于学生的“最近发展区”，创设的目的是提出问题，激发探求新知的欲望，激活学生的数学思维。

案例1：“直线的倾斜角”概念的引入

问题1：对于平面直角坐标系内的一条直线，它的位置由哪些条件确定？

问题2：我们知道两点确定一条直线。一点能确定一条直线的位置吗？已知直线 经过点P，直线 的位置能确定吗？

问题3：过一点P可以作无数条直线l1，l2，l3……它们都经过点P（组成一个直线束），这些直线的区别在哪里呢？

问题4：容易看出，它们的倾斜程度不同。我们可以怎样描述直线的倾斜程度呢？

概念引入的必要性明显——“这些直线区别在哪里呢？”“怎样描述直线的倾斜程度呢？”引导学生参与到概念的定义过程有很大的开放性。学生可以提出自己的方案——“再创造”。那么，概念教学怎样引入更自然，更能激发学生的思维？应尽可能提供学生熟悉的实例，在对实例所反映的特征的观察、比较基础上进行概括；也可以设置认知冲突，让学生感受概念产生的必要性，参与概念的定义过程；也可以从数学知识、方法之间的联系引入，等等。

2.经历概念形成，注重学生感悟

由于数学高度抽象的特点，要注意体现基本概念的来龙去脉。在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质。概念形成的教学通常围绕着概念的核心展开，实际上是掌握同类事物的共同、关键属性的过程，因此，需要有一个从外到内、由表及里的过程。

案例2：“函数”概念的形成

问题1：同学们在初中已学过“函数”，请你举几个函数的例子。

设计意图：通过举例来回顾“变量说”，教师根据学生所举例子，引导学生明确分别用解析式、图像、表格表示对应关系的函数。

问题2：判断举出的例子是否能够表示一个函数，并要求说明理由。

例1：如图2中的曲线记录的是某天的气温变化曲线图，这是一个函数吗？为什么？

例2：下面是某位学生在上学期各次数学考试中，考试序号与数学成绩的对应表：

成绩是序号的函数吗？为什么？

追问：“如果这位学生生病了，没参加第五次数学考试，那还表示函数吗？”

问题3：（追问举例的同学）你凭什么说自己举的例子表示一个函数？其他同学也思考一下，他们所举的是函数的例子吗？为什么？

设计意图：让学生用概念解释问题，了解他们对函数本质的理解状况。

要注意突出“两个变量x,y”，对于变量x的“每一个”确定的值，另一个变量y有“唯一”确定的值与之对应，所以“y是x的函数”。特别要求学生指出对应关系是什么？x取哪些数？即取值范围，感受数集A的存在，y值的构成情况，为引入两个数集做准备。

问题4：前面我们学习了“集合”，你能用“集合”和对应的语言描述函数概念吗？

设计意图：引导学生把初中学过的函数概念与高一刚学的集合知识联系起来，用集合的观点解释已有概念，获得对函数概念的新认识。

3.优化问题设计，引导思维参与

学生的有效思维量是数学课堂效率的体现，一个好的“问题串”可以持续地引导学生思考，从而可以起到使学生对原有的知识、技能进行再认识、再加工，进一步深化提高；可以把学生头脑中已有的相关认知能力调动起来，积极参与到新的学习活动中来，为构建新知识做准备。

案例3：在“向量的概念及表示”一课中设计以下“问题串”的用来引导学生抽象概括一系列“向量”的概念。

问题1：你能否举出一些既有方向，又有大小的量？

设计意图：激活学生的已有相关经验。

追问1：生活中有没有只有大小，没有方向的量？请你举例。

设计意图：形成区别不同量的必要性，概念抽象需要典型丰富的实例。让学生举例可以观察到他们对概念属性的领悟，形成对概念的初步认识，为进一步抽象概括做准备。

问题2：怎样把你所举例子中的向量表示出来呢？

设计意图：让学生先尝试向量的表示方法，自觉接受用带有箭头的线段（有向线段）来表示向量。

追问2：以前AB与BA表示同一线段，现在可以表示同一向量吗？为什么？

问题3：实数中有0,1这两个特殊数字，向量中哪些向量较特殊？（学生普遍认为零向量、单位向量是特殊的。）

设计意图：引导学生学会观察一组对象。面对一组对象，首先注意特殊对象是自然的。

追问3：大家为什么认为它们最特殊？你是怎么想的？

设计意图：挖掘结果背后的思维过程。企图引导学生把向量集合与实数集类比。

问题4：观察正六边形 ，在图中的一些线段加上箭头表示向量，请说说你所标注的向量之间的关系。（举例）

设计意图：不是先给出相等向量、平行向量、共线向量、相反向量的定义，再做练习巩固，而是让学生参与概念的定义过程，使概念成为学生观察、归纳、概括之后的自然产物。

问题5：你画了哪几个向量？你认为它们有怎样的关系？

设计意图：不仅关注结果，更要关注过程，尤其要挖掘学生用向量概念思维的过程。

问题6：由相等向量的概念知道，向量完全由它的方向和长度确定。由此，你能说说数学中的向量与物理中的矢量的异同吗？另外，向量的平行、共线与线段的平行、共线有什么联系与区别？

设计意图：让学生注意把向量概念与物理背景、几何背景明确区分，真正抓住向量的本质特征，完成“数学化”的过程。

4.精心选择例题，聚焦概念核心

一个好的例题往往承载着概念的本质，蕴含着丰富的数学思想。在形成一个新的数学概念之后，精心选择有助于概念理解的例题，是概念的“精致”过程中不可替代的环节。

案例4：在学习了椭圆的概念后可以选择这样的例题来帮助学生深化概念。

例1：已知椭圆的两个焦点的坐标分别是并且经过点 求其标准方程。

变式1：已知椭圆的两个焦点的坐标分别是椭圆上一点P到两焦点的距离之和为8，求该椭圆的标准方程。

变式2：已知椭圆的两个焦点之间的距离为4，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为8，求其标准方程。

例题1是教学内容的“最佳原型”。它包含了椭圆的定义、标准方程、a,b,c的关系等知识内容，包括了待定系数、解析思想、数形结合等数学思想方法，也示范了解题的程序和格式。在此基础上，再完成两个变式。例题及变式聚焦于概念的理解和应用，只要理解了概念就能解答，而不是给学生设置陷阱，在与椭圆概念没有太大关系的问题上制造麻烦。这类例题有助于学生养成运用概念思维的习惯，有助于学生理解概念的本质。

5.创新小结形式，体现螺旋上升

课堂小结应围绕本节课的核心，抓住概念的本质，设计巧妙的课堂小结是对整个课堂教学的整合、拓展和提高，是一个具有“画龙点睛”之效的环节。

案例5：演绎推理的小结

师：到现在为止，我们学习了两种推理方式——合情推理与演绎推理，那么它们之间有什么区别与联系呢？请完成表格（楷体字部分）。

学生讨论（教师参与其中）完成表格，同时，老师指出演绎推理是证明数学结论、建立数学知识体系的重要思维过程。但数学结论、证明思路的发现，主要靠合情推理。通过一个表格，使学生理解了几个推理的联系与区别，加深了理解，不会再混淆。