解析几何中的数学思想

李文生

解析几何的本质是用代数的方法研究几何问题，解几知识中，蕴含着深刻的数学思想，对解几本质的考查往往通过对其思想应用的考查得以体现。首先是由解几本质特征所决定的函数与方程思想，数形结合思想，其次是研究几何问题常用到的化归与转化的思想方法，分类与整合的思想方法，一般与特殊的思想方法等。

一、数形结合思想

解析几何的基本思想就是数形结合，因为数与形是数学中最古老、最基本的研究对象，在解题中要善于将数形结合的数学思想运用于对圆锥曲线和平面几何性质以及相互关系的研究，即通过“以形辅数”“以数解形”“数形结合”将抽象的数学问题与直观的几何图形相结合，从而达到优化解题的途径。

二、函数与方程的思想

函数思想与方程思想之间，相辅相成。函数问题与方程问题可以相互转化解决、函数与方程之间的辩证关系形成了函数与方程思想，函数与方程思想就是用动静结合，相互转化的观点看待问题，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想。在解析几何中应用函数思想就是用运动、变化、联系的观点，分析问题中的数量关系、构造函数来解决问题。

评析：本题需通过方程的联立，函数的构造以及方程的解与函数零点的关系转化问题。

解析几何是一门以代数方法研究几何问题的学科，主要涉及函数与方程等知识，因此是考查函数与方程思想的良好素材。所以，考生若能真正领会函数与方程思想，就能克服对解析几何解答题的畏难情绪。

而解析几何的题目都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此，把直线与圆锥曲线的相交问题利用韦达定理进行整体处理，以及直线方程思想的应用，都可以大大简化解题过程。

三、化归与转化思想

数学对象的内部或者不同的数学对象之间，往往会以某种形式相互联系，在一定的条件下能够相互转化，针对面临的数学问题，实施或转化问题的条件，或转化問题的结论或转化问题的内在结构，或转化问题的外部表现形式等行动策略去解决有关的数学问题，能促进问题的解决，可以说，数学解题的过程就是不断化归与转化的过程。

在解析几何中主要是研究直线、圆、圆锥曲线这些图形的位置关系及其几何性质。对于一时难以解决的问题，可运用转化与化归思想经过观察、分析、类比、联想等思维过程，运用恰当的数学方法进行变换，将原问题化归为一类已经能解决或者比较容易解决的问题。

变与不变是一对辨证的矛盾，它们相互依存且可以在一定条件下相互转化，要注意寻找数和形的不变量。如：方程的解、点的坐标、角的大小、线段的长度、定点、定值等，在解析几何中，若有意识寻求蕴含其中的不变量或不变的性质（如公其的对称轴、公共的点、不变的斜率、不变的截距、不变的离心率等），便能认清问题的本质，通过恒等转化、合理化归、便能实现将复杂问题化归为简单的问题。

总之，在数学学习中，若不研究数学思想的应用，所谓的解题方法就无基础，解题的过程只不过是简单的机械活动，而数学思想犹如一盏为船只指明航向的明灯，只要能自觉应用它指导解题，思路就能豁然开朗，解题自然就成为一种享受。

（作者单位 福建省连城县第一中学）