一种利用范数性质的无约束盲均衡准则

王大磊， 杨 宾， 吴 瑛， 王秀秀

(1. 信息工程大学 信息系统工程学院，河南 郑州 450002；2. 西安电子科技大学 综合业务网理论及关键技术国家重点实验室，陕西 西安 710071)

在数字通信中，作为克服码间干扰(Inter-Symbol Interference，ISI)的重要手段，均衡技术受到广泛研究[1]．由于盲均衡方法无需训练序列，可以节省带宽资源，且适合多点通信和非协作接收等场合，因此，涌现出了大量的盲均衡方法．典型的有Bussgang类型，如恒模(CMA)算法[2]、多模算法[3-4]和混合算法[5]等．此类算法基于某种非最小均方误差(MSE)的代价函数，采用随机梯度法求极值，计算量小，实现简单．然而，由于这类代价函数大都为非凸的，往往会局部收敛，导致不能充分消除ISI．

Shtrom和Fan依据向量范数的性质，提出了一类迫零盲均衡算法Shtrom-Fan算法(SFA)[6]，此类代价函数在信道与均衡器联合响应域不存在假峰，能够保证全局收敛．然而，SFA算法需要固定均衡器的某一个系数或对其归一化约束，致使均衡器输出与发送信号的增益比不为1，需要自动增益控制，且这种约束方法对均衡器收敛性能的影响并没有严格的数学证明．之后，Abrar等[7]同样利用向量范数性质，结合星座图特点，提出了一种自适应的盲均衡算法βCMA．然而，该算法的参数是依据Bussgang的特性得到的，只反映了信号的部分统计特征，致使算法收敛后的稳态误差较大．基于以上考虑，笔者依据向量范数性质，结合文献[8]中将约束方程转换为无约束方程的方法，给出了一种新的无约束盲均衡准则，证明了在无噪声情况下，在代价函数的局部最优解处可实现理想均衡，且能够实现发送信号幅值的恢复．可采用批数据处理和在线自适应迭代两种方法更新均衡器系数，无需自动增益控制，实现简单，同时稳态误差更小．

1 系统模型

2 新的无约束盲均衡准则

2.1 SFA算法及βCMA算法

其中，γ为发送符号的最大幅值．然后，通过拉格朗日乘子法将约束条件引入到目标函数，得出一种自适应的迭代算法βCMA，即

wn+1=wn+μφ(yn)*xn，

(1)

其中，φ(yn)为误差函数，可依据Bussgang特性求得．当|yn|<γ时，φ(yn)=yn；当 |yn|=γ时，φ(yn)=0；当 |yn|>γ时，φ(yn)=-βyn，β由发送信号的平均能量以及星座图决定．尽管该算法能够恢复发送信号的幅值，但由于其参数是依据Bussgang特性得到的，只反映了信号的部分统计特征，致使算法收敛后的稳态误差较大．

2.2 新的无约束盲均衡准则

其中，p，q和ζ为实数，且0

(2)

其中，f: [0，∞]→R1，为一个分段连续实函数；g(x)=x2+f(x)，是在0≤x<1区间内单调递增，在x>1 区间单调递减的函数，并在x=1 处取得最大值．代价函数建立后，需要考察它的收敛性和极值点的分布问题．下面给出关于该代价函数收敛性的两个定理．

定理1 当且仅当{si}序列中只有1个非零元素，且幅度为1，即s=δ(i-k) exp(jθ)时，J(s)取得最大值．

证明 由向量范数性质可得

定理2J(s)不存在假峰，即任何局部极大值解均对应理想均衡条件．

证明J(s)的平稳点满足

(3)

式(3)的解为具有M个相同幅度元素的向量，且幅度aM满足

2aM+f′(MaM)=0 ．

(4)

式(5)中，当α≠0时，不等式严格成立．因此，sM在M≥2时，不是局部极大值点．

因此，sM在M≥2时，也不是局部极小值点．从而这些点都是鞍点．综上，J(s)平稳点中只有解向量集s1是局部极值点，同时也是全局最优解．证毕．

定理1保证了代价函数能够取得最大值，定理2保证了代价函数的收敛性，采用随机梯度法时能够寻找到最大值．

为得到算法的具体形式，考虑一个二次函数，g(x)=-a(x-1)2+a，a>0，该函数满足 0≤x<1 区间内单调递增，x>1 区间单调递减的性质．此时，代价函数为

(7)

由于该代价函数是定义在s域的，而s不能直接得到，要想将代价函数应用于盲均衡，必须将代价函数转换为均衡器输出{yn}的函数．在无噪声情况下，有

(8)

(9)

其中，γ=max{|an|}．将式(8)和式(9)代入式(7)中，得到

(10)

该代价函数同大多数盲均衡算法[6，8，10]一样，是在理想的无噪声情况下得到的．然而实际中信道噪声是存在的，对该代价函数的优化不能保证实现完全均衡．下面对有噪声情况下算法的性能进行讨论．由于s=wHH，则wH=sH-1，此时，式(8)修正为

(11)

(12)

3 算法实现

算法的两种具体实现方式: 基于一段数据的批处理方法和在线自适应迭代方法．

3.1 批数据处理方法

采用随机梯度下降法更新均衡器权值:

(14)

(15)

将式(16)和式(17)代入方程式(15)，得到

(18)

归结起来，批数据处理算法步骤如下:

步骤1 收集一段长度为N的信道输出数据，计算均衡器输入向量的协方差矩阵的期望E[Xn]，并初始化均衡器．

步骤2 计算均衡器输出序列{yn}．

步骤3 根据式(14)和式(18)计算新的均衡器权值，重复迭代直至收敛．

将式(14)和式(18)组成的批数据处理方法命名为批数据处理的无约束盲均衡算法(Batch Processing Unconstrained Equalization Algorithm，BP-UEA)．

3.2 在线自适应处理方法

(19)

(20)

其中，误差函数Φ(yn)为

(21)

(22)

(23)

将式(14)、式(20)和式(23)组成的自适应迭代方法称为简化的自适应无约束盲均衡算法(Simplified Adaptive Processing Unconstrained Equalization Algorithm，SAP-UEA)．

4 仿真与分析

为了验证文中算法的性能，可选取同样基于向量范数性质的βCMA和SFA算法进行性能对比．在仿真中，如未特殊说明，条件统一设置如下: 均衡器输入信号的叠加噪声为高斯白噪声，信噪比为 30 dB；均衡器阶数为15阶，初始化时中心抽头为1，其他系数为0；AP-UEA和SAP-UEA算法中的参数p和a分别设为10和1，实验次数为100次．

4.1 算法有效性的验证

对文中算法的3种实现方法BP-UEA、AP-UEA和SAP-UEA的有效性进行了仿真验证．信道采用文献[12]中图2所示的语音通信信道，信号采用16QAM调制的独立同分布信号源．图1(a)为BP-UEA算法的剩余ISI随迭代次数的变化曲线，在步长相同时，N越大，收敛速度越快，稳态误差越小．图1(b)为AP-UEA算法和SAP-UEA算法剩余ISI随迭代次数的变化曲线．可以看出，两种自适应算法的性能几乎无差别．相比自适应方法，批数据处理算法BP-UEA需要的样点个数少，适合短时、数据量少的场合．

图1 BP-UEA，AP-UEA和SAP-UEA算法的剩余ISI曲线

为验证不同的初始化条件对均衡器性能的影响，对3种处理算法BP-UEA、AP-UEA及SAP-UEA进行如下仿真: 仿真条件同上，均衡器系数初始化为1的位置依次改变，得到剩余ISI随不同初始化位置改变的曲线如图1(c)所示．可以看出，尽管均衡器系数初始化为1的位置不同，使得稳态ISI不一致，但均衡器均能收敛．

为验证算法在中等信噪比下的性能，以SAP-UEA算法为例进行如下仿真: 仿真条件同上，信噪比分别设为 15 dB，20 dB，25 dB，经过 6 000 次迭代，纠正相偏后的均衡输出结果如图2所示．

图2 SAP-UEA均衡输出星座图

从图2可以看出，随着信噪比的降低，算法性能逐渐下降．然而，在中等至较高信噪比条件下，能够得到较理想的均衡输出结果．

4.2 与βCMA算法的性能比较

对自适应算法SAP-UEA与βCMA算法进行比较与分析．信号为8APSK调制的独立同分布信号源，信道仍采用文献[12]中的复信道．图3为剩余ISI随迭代次数的变化曲线．可以看出，SAP-UEA算法相比βCMA算法具有更低的稳态误差，其原因可以从两者的误差函数Φ(yn)及φ(yn)看出．图4为两者的误差函数曲线，其中，γ=2．当 |yn|≫γ时，|Φ(yn)|≫ |φ(yn)|．因此，SAP-UEA算法具有更快的收敛速度；当 |yn|=γ，|Φ(yn)|=0 时，φ(yn)的符号会随机变化，导致βCMA算法的稳态误差较大．

4.3 与SFA算法的性能比较

对SAP-UEA算法与SFA算法的性能进行对比．发射信号为独立同分布的16QAM调制信号，信道采用在文献[13-14]所用的复信道，其脉冲响应如图5所示．图6为剩余ISI随迭代次数变化的曲线．可以看出，SAP-UEA算法相比SFA算法的稳态误差更小．这是由于SFA算法采用了均衡器中心抽头系数固定为1的约束所造成的，这种约束在避免代价函数收敛至0的同时，也限制了均衡器系数的调整．而SAP-UEA算法的代价函数对均衡器没有约束，在均衡器系数的更新过程中，都可以使其向最优方向调整．

图3 SAP-UEA与βCMA算法的剩余ISI曲线图4 误差函数曲线

图5 信道的脉冲响应图6 SAP-UEA与SFA算法的剩余ISI曲线

5 结 束 语

基于向量范数的性质，给出了一种新的无约束盲均衡代价函数．并对代价函数的收敛性，极值点的分布进行了分析和讨论；证明了在无噪声情况下，在代价函数的每个局部最优解处可实现理想均衡，保证了采用随机梯度法迭代时能够使代价函数收敛；并给出了适应不同场合的批数据处理和在线自适应处理两种方法．通过分析和仿真实验说明，该方法在收敛速度和稳态误差等方面优于文献[6-7]中的方法．

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