矩阵幂级数及其收敛性

宋林锋

摘 要 本文首先给出矩阵幂级数的几个相关概念，然后证明了矩阵幂级数收敛的定理，最后用一个具体的例子讨论了矩阵幂级数的收敛性。

关键词 矩阵幂级数 谱半径 收敛性

中图分类号：O151.21 文献标识码：A

Matrix Power Series and its Convergence

SONG Linfeng

（Department of Mathematics and Information Engineering，

Puyang Vocational and Technical College， Puyang， Henan 457000）

Abstract This paper first gives a matrix power series of several related concepts， and then gives the convergence theorem of matrix power series， and finally with a specific example discussed matrix power series convergence.

Key words Matrix power series； cape radius； convergence property

矩阵理论是数学的一个重要分支，要建立矩阵函数，矩阵幂级数是重要依据，而学习矩阵幂级数自然要讨论其收敛性。本文首先给出了矩阵幂级数的几个相关概念，然后证明了矩阵幂级数收敛性的定理，最后用一个具体例子讨论了幂级数的收敛性。

1 矩阵幂级数的相关概念

定义1 设是复数域上的阶方阵，， = 0，1，2，…

称 = + + + … + + …为矩阵的幂级数。

定义2 矩阵幂级数的前 + 1项的和称为矩阵幂级数的部分和，记为（）。

定义3 若矩阵幂级数的部分和序列{（）}收敛，则称收敛；否则，称发散。当（） = 时，则称为矩阵的幂级数的和矩阵。

定义4 设是复数域上的阶方阵，其全部特征值为，，…，则 = 为的谱半径。

谱半径是证明矩阵幂级数收敛的一个重要概念，特别是谱半径具有一个重要的性质：的谱半径是的任意一种模的下界。

2 矩阵幂级数的收敛定理

定理，设复方阵的谱半径为，复变量的幂级数为，其收敛半径为，则（1）当<时，矩阵幂级数收敛；（2）当>时，矩阵幂级数发散。

证明：若有个互相不相同的特征值，，…，则存在可逆矩阵，使得

其中

于是

这样，矩阵序列{（）}收敛当且仅当每个矩阵块序列（）收敛，而

其中（），表示在 = 处的阶导数，是约当块的阶数。

（1）若<，则∣∣<，此时下列各序列

{（）}，{（）}，…{（）}

都收敛，从而{（）}收敛，进而收敛。

（2）若>，则一定存在某一特征值∣∣>，

于是幂级数发散，从而相应的{（）}发散，进而发散。

说明：定理对>和<时的敛散性给出了判断，对于 = ，定理失效，需用其它方法来判断。

3 矩阵幂级数收敛的一个例子

例题 讨论矩阵幂级数 = + + + … + + …的收敛性；当它收敛时，求它的和矩阵。 分析：由定理知，是否收敛，需求出的谱半径与相应复数的幂级数的收敛半径，当<时，矩阵幂级数收敛，当>时，矩阵幂级数发散，然后在<条件下求出其和函数即可。

解：矩阵幂级数所对应的复变量的幂级数为，很显然其收敛半径 = 1，故当<1时，收敛，进而得到，当的所有特征值的模都小于1时，收敛，只要有一个特征值的模大于1时，发散。

当<1时，1不是矩阵的特征值，有∣∣≠0，进而矩阵可逆，记 = + + … +

又 = （）（ + + … + ）= （）

于是 （）= （ ）=

而 （）= （）=

故 = = 。

参考文献

[1] 华东师范大学数学系.数学分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2] 北京大学数学系.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3] 黄有度，朱士信.矩阵理论及其应用[M].合肥：合肥工业大学出版社，2005.