矩阵空间一类保持矩阵的秩1且保持体积不变的线性变换

陈荣群

（莆田学院基础教育学院，福建莆田351200

矩阵空间一类保持矩阵的秩1且保持体积不变的线性变换

陈荣群

矩阵体积是矩阵行列式绝对值的推广，也是向量长度的推广.在理解矩阵体积定义的基础上，研究了矩阵空间一类保持矩阵的秩1且保持体积不变的线性变换所满足的条件.

矩阵体积；保持秩1；线性变换；矩阵代数

矩阵体积的定义是在1992年由Adi Ben-Israel第一次提出，文[1]提出了每个矩阵都有相应的体积，并且应用矩阵体积来解决广义逆中的一些问题；在文[2-3]中利用矩阵体积的概念来处理各类曲线、曲面积分的计算问题，并给出了其在推广勾股定理、n维球面面积的计算以及概率中的应用．

线性保持问题主要是刻画保持一些不变量的线性算子的形式，在文[4-6]中，涉及到线性保持问题.现在来考虑保持矩阵体积不变的问题.那么对任意一个矩阵是否存在一个保持它的体积不变的线性变换？本文探讨矩阵空间一类保持矩阵的秩1且保持体积不变的线性变换所具备的形式.

1 预备知识

首先介绍矩阵体积及其相关的一些概念与符号.

设A∈Rm×nr（表示秩为r的m×n矩阵），r>0，约定：

Qr，m={I={i1，…，ir}∶1≤i1

I∈Qr,m∶rankAI*=r表示A中最大的行线性无关集合的指标集．表示A中最大的列线性无关集合的指标集．表示A中最大的非退化子矩阵集合的指标集记Eij为（i，j）位置为1，其他位置均为0的n阶基本矩阵．Mn（F）是域上所有n阶矩阵构成的F一代数.定义1设矩阵的体积volA定义为：若r=0，volA=0；若r>0，则，约定.即表示A的所有非零r阶子式的平方和[1].定义2设（表示秩为r的复m×n矩阵集合），矩阵A的体积volA定义为：若r=0，则volA=0；若r>0，为了方便，约定.即表示A的所有非零r阶子式及其共轭乘积的和.

引理1对特征为0的代数封闭域C上矩阵代数Mn（C），如果φ是保持秩1的线性映射，那么任意一个矩阵A∈Mn() C，都存在可逆矩阵P,Q∈Mn() C，使或（A′是A的转置矩阵）[6].

假设n是正整数n1，n2，…，nt也是正整数，使得n1+n2+…+nt=n，则称C={n1，n2，…，nt}是n的一个分解．

设F是一个域，对于n的每一个分解C，都对应着F中一个具有如下形式的n阶分块三角矩阵，这样的矩阵可构成一个F一代数Ω（C）：

其中Aij是ni×nj矩阵块．

设C={n1，n2，…，nt}是n的一个分解，令C={nt，nt-1，…，n1}.如果σ是下标集合{1，2，…，t}的一个置换，令σ（C）={nσ（1），nσ（2），…，nσ（t）}．

引理3设C={n1，n2，…，nt}，分别为n，m的分解，φ：分块三角矩阵Ω() C→Ω() C′是一个保持秩1的线性满射，那么n=m并且下列两种情况之一成立：

（2）C=σ（C+）且，其中，其中

（a）A，B是Ω（C）中的满秩矩阵；

（b）J是次对角线位置上的元素全是1，其它位置上的元素全是0的n阶矩阵；

（c）σ是下标集合{1，2，…，t}满足下列条件的一个置换：σ（1）=1，σ（t）＝t，nσ（i）=ni；

（d）Dσ是由n确定的一个由t×t个矩阵块构成的n阶分块矩阵，其第σ（i）行第i列的块是一个nσ（i）阶单位矩阵，i=1，2，…，t，其余的块是零矩阵[6]．

2 主要结论及证明

定理1若φ是特征为0的代数封闭域C上矩阵代数Mn（C）的保持秩1的线性映射，则存在非奇异矩阵P,Q∈Mn() C，且P，Q满足两个条件：（1）P的每一列元素的平方和与Q的每一行元素的平方和的积都等于1；或P的每一行元素的平方和与Q的每一列元素的平方和的积都等于1；（2）P的任意不同的两列（行）的内积都等于0.使下面命题成立：

（1）对任意的矩阵A∈Mn() C，有φ（A）=PAQ且volA=vol（PAQ）或φ（A）=PA′Q且volA=vol() PA′Q.

（2）φ∶Mn（C）→Mn（C），A↦PAQ或A↦PA′Q是保持体积不变的线性变换．

证明（1）由引理1得：对矩阵代数Mn（C），如果φ是保持秩1的线性映射，那么任意一个矩阵A∈Mn() C,存在非奇异矩阵P,Q∈Mn() C,使φ（A）= PAQ或φ（A）=PA′Q.

下面对φ（A）=PAQ的情况进行讨论，对φ（A）= PA′Q的情况利用矩阵的性质也可得到相应的结论.

一方面，设

则易知P，Q不为零矩阵.由于rank（PAQ）=rank（A）= 1，令A=Eij，所以

另一方面，

故

上面只对矩阵的行式的情况进行讨论，利用矩阵列式的性质也可得到相应的结论.

将（1）用线性变换来刻画，即得到（2）．

所以上述命题成立.证毕.

推论若φ是域C上n阶上三角矩阵空间Tn（C）的保持秩1的线性变换，则上述结论对n阶上三角矩阵空间Tn（C）也成立．

定理2设φ是分块三角矩阵Ω() C→Ω() C′是一个保持秩1的线性满射，对任意的分块三角矩阵T∈Ω() C，volT=1，则存在非奇异矩阵A,B∈Ω() C且A，B满足两个条件：

（1）Aii的每一列元素的平方和与Bii的每一行元素的平方和的积都等于1；或Aii的每一行元素的平方和与Bii的每一列元素的平方和的积都等于1；

（2）Aii的任意不同的两列（行）的内积都等于0（1，2，…，t）；当n=m时，下面命题成立.

证明（1）由引理3得：若φ是矩阵代数Ω（C）的保持秩1的线性映射，则对任意的分块三角矩阵T∈Ω() C，存在非奇异矩阵A,B∈Ω() C，使φ（T）=或

一方面，设

则易知A，B不为零矩阵．

其中Dii是ni×ni单位矩阵块，即其

中Tii是ni×ni矩阵块.

由于

由定理1得，Aii与Bii必须满足两个条件（1）Aii的每一列元素的平方和与Bii的每一行元素的平方和的积都等于1；（2）Aii的任意不同的两列的内积都等于0；

上面只对矩阵的行式的情况进行讨论，利用矩阵列式的性质也可得到相应的结论.

将（1）用线性变换来刻画，即得到（2）．

所以上述命题成立.证毕.

[1]Ben-Israel A.A volume associated withmatrices[J].Lin⁃ear Algebra and its Applications,1992（167）:87-111.

[2]Ben-Israel A. The change of variables formula using matrixvolume[ J ]. SIAM. J. Matrix Analysis,1999（21）:300-312.

[3]Ben-Israel A. An application of the matrix volume in proba⁃bility[ J ]. Linear Algebra and its Applications,2001（321）:9-25.

[4]Ben- Israel B. Generalized inverses:theory and applications[M]. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag,2002.

[5]Botta P. Linear maps preserving rank less than or equal toone[ J ]. Linear and Muhilinear Algebra,1987,20:197-201．

[6]黄冲,曹佑安. 一类分块三角矩阵代数的保持秩1 的线性满射[ J ]. 湘潭大学学报:自然科学版,2003,25(3):6-11.

[7]李明,方宜. 矩阵的体积及其应用[ J ]. 西北师范大学学报:自然科学版,2005,41(6):86-90.

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责任编辑：毕和平

The Linear Transformation of Preserving Matrix Rank One and Constant Volume on Matrix Space

CHEN Ronqun
（College of Basic Education，Putian University，Putian 351200，China）

The volume of matrix is a generalization of the determinant,also a generalization of the vector length.Based on the understanding of the definition of the matrix volume,the linear transformation with the conditions of preserving matrix rank 1 and constant volume is studied on matrix space.

volume of matrix；preserving matrix rank 1；linear transformation；matrix of algebra

O 151.21

A

1674-4942（2014）04-0373-04

2014-06-19