让学生主动地探索数学

莫维平

学习数学较理想的状态是能够从有限的例题出发举一反三，同时让学生体验自行编题的乐趣，培养学生的创新意识和学习能力，真正达到“授人以渔”的目的.这里笔者以在上课时讲授的一道例题为例，谈谈如何让学生尝试发现问题和解决问题.

在选修2-1第2章的复习课上，我举了如下例题：

例1：已知过抛物线y■=2px（p>0）焦点F的直线l交抛物线于M，N两点，B（-■，0），求证：直线BM与直线BN的斜率互为相反数.

解：设直线的方程为x=my+■，M（x■，y■），N（x■，y■）

则k■+k■=■+■=■+■

=■

联立方程组x=my+■y■=2px

则y■-2pmy-p■=0

∵2my■y■+p（y■+y■）=2m（-p■）+p■pm=0

∴k■+k■=0，即直线BM与直线BN的斜率互为相反数.

一般情况下，到此一些数学教师认为已完成了学习任务，失去了继续探索的机会.

此题一出，接下去便是见证学生数学学习能力与创新能力的时候了.

让学生思考：你可以编出怎样的题目？此时有同学提出如下问题，这里我们记为推广1.

推广1：已知过抛物线y■=2px（p>0）焦点F的直线交抛物线于M，N两点，是否在平面上能找一定点B，使直线BM与直线BN的斜率互为相反数.若存在，求出B的坐标；若不存在，请说明理由.

解：如果存在，根据对称性，该点一定在对称轴（即轴）上，设B（a，0）

设直线的方程为x=my+■，M（x■，y■），N（x■，y■）

则k■+k■=■+■=■+■=0

∴2my■y■+（■-a）（y■+y■）=0

联立方程组x=my+■y■=2px

则y■-2pmy-p■=0

∴-2mp■+2pm（■-a）=0，对任何实数m恒成立；即a=-■，

即存在一定点B（-■，0），使直线BM与直线BN的斜率互为相反数恒成立.

完成此题的解答后，思维开始活跃，有的同学认为此题也可以推广为下列命题：

推广2：已知抛物线y■=2px（p>0），点M为抛物线的对称轴与其准线的交点，过点M作斜率互为相反数两直线l■，l■与抛物线分别相交于A、B、C、D四个点，其中A、C两点的横坐标相同，求证直线AD经过一定点.

解答可得直线AD必定经过此抛物线的焦点.

到此有的同学已经非常满意这样的结论与推广，但有同学立刻提出这样的想法，上述过焦点的直线是否可以改成过对称轴上定点A（a，0），（a>0），上述的性质是否也存在？经过思考的确具有同样的结论.

推广3：已知抛物线y■=2px（p>0），过点A（a，0），（a>0）直线l交抛物线于M，N两点，点B为点A关于原点对称的点，求证：直线BM与直线BN的斜率互为相反数.

推广4：已知过抛物线y■=2px（p>0），过点A（a，0），（a>0）直线l交抛物线于M，N两点，是否在x轴上能找一点B，使直线BM与直线BN的斜率互为相反数.若存在，求出B的坐标；若不存在，请说明理由.

此题可求得B（-a，0）.

推广5：已知抛物线y■=-2px（p>0），点m（-a，0），（a>0），过点M作斜率互为相反数两直线l■，l■与抛物线分别相交于A、B、C、D四个点，其中A、C两点的横坐标相同，求证直线AD经过一定点.

解答可得直线AD必定经过（a，0）.

到此似乎非常完美了，但有学生提出在椭圆或双曲线也有类似结论，答案是肯定的，的确存在类似结论，下面以椭圆为背景推广之.

例2：已知过椭圆■+■=1（a>b>0）的右焦点F的直线l交椭圆于M，N两点，B（■，0），其中（c=■），求证：直线BM与直线BN的斜率互为相反数.

解：设直线的方程为x=my+c，M（x■，y■），N（x■，y■）

x=my+c■+■=1得（a■+b■m■）y■+2mcb■y-b■=0

∴y■+y■=-■

∴y■·y■=■

则k■+k■=■+■

∵y■·（x■-■）+y■·（x■-■）=2my■y■+（c-■）（y■+y■）

=2m·■-■（-■）=0

∴k■+k■=0

即命题得证.

完成此题的解答后，学生思维第2次开始活跃，有的同学认为此题也可以推广为下列命题：

推广6：已知过椭圆■+■=1（a>b>0）的右焦点F的直线l交椭圆于M，N两点，是否在x轴上能找一点B，使直线BM与直线BN的斜率互为相反数.若存在，求出B的坐标；若不存在，请说明理由.

结论同样成立.

此题的解法可结合例2及推广1即可证明，存在B（■，0）.

以下推广7和8均可自行证明，这里不再证明.

推广7：已知椭圆■+■=1（a>b>0），点M为椭圆的对称轴与其右准线的交点，过点M作斜率互为相反数两直线l■，l■与椭圆分别相交于A、B、C、D四个点，其中A、C两点的横坐标相同，求证直线AD经过一定点.

推广8：已知椭圆■+■=1（a>b>0），过点A（m，0）（m>0）直线l交椭圆于M，N两点，是否可以在x轴上能找一点B，使直线BM与直线BN的斜率互为相反数.若存在，求出B的坐标；若不存在，请说明理由.

推广9：已知椭圆■+■=1（a>b>0），过点M（m，0）（m>a）作斜率互为相反数的两直线l■，l■与椭圆分别相交于A、B、C、D四个点，其中A、C两点的横坐标相同，求证：直线AD经过一定点.

解：设直线l■：y=k（x-m），由y=k（x-m）■+■=1

得（b■+a■k■）x■-2ma■k■x+a■k■m■-a■b■=0

设A（x■，y■），B（x■，y■），则根据对称性C（x■，-y■），D（x■，-y■）

∴x■+x■=■

x■·x■=■

直线AD若过定点，根据对称性，则定点在轴上，不妨设点为N（n，0）.

则有k■=k■，对所有适合题意的实数k均成立.

则■=■，∴-k（k■-m）（x■-n）=k（x■-n）=k（x■-m）（x■-n）

即2x■x■-（m+n）（x■+x■）+2mn=0

∴2（a■k■m■-a■b■）-（m+n）·2ma■k■+2mn（b■+a■k■）=0

得n=■则直线AD经过一定点（■，0）.

由此可知上述推广7即为此推广的特例.

当然还可以作进一步推广，如在双曲线中是否也有此类性质，等等；探究发现这些性质均具备，有兴趣的同学可自行操作.限于篇幅，本文不再对双曲线中有关的性质作推广.

课后同学们意犹未尽，纷纷作出各种尝试，得出不少新的结论与推广，这对于提高数学学习的自觉性和实践性等大有益处.有利于学生树立正确的价值观，并让学生学以致用，并真正体会数学是自然的，以上这些是自然而然的推广而已.endprint

学习数学较理想的状态是能够从有限的例题出发举一反三，同时让学生体验自行编题的乐趣，培养学生的创新意识和学习能力，真正达到“授人以渔”的目的.这里笔者以在上课时讲授的一道例题为例，谈谈如何让学生尝试发现问题和解决问题.

在选修2-1第2章的复习课上，我举了如下例题：

例1：已知过抛物线y■=2px（p>0）焦点F的直线l交抛物线于M，N两点，B（-■，0），求证：直线BM与直线BN的斜率互为相反数.

解：设直线的方程为x=my+■，M（x■，y■），N（x■，y■）

则k■+k■=■+■=■+■

=■

联立方程组x=my+■y■=2px

则y■-2pmy-p■=0

∵2my■y■+p（y■+y■）=2m（-p■）+p■pm=0

∴k■+k■=0，即直线BM与直线BN的斜率互为相反数.

一般情况下，到此一些数学教师认为已完成了学习任务，失去了继续探索的机会.

此题一出，接下去便是见证学生数学学习能力与创新能力的时候了.

让学生思考：你可以编出怎样的题目？此时有同学提出如下问题，这里我们记为推广1.

推广1：已知过抛物线y■=2px（p>0）焦点F的直线交抛物线于M，N两点，是否在平面上能找一定点B，使直线BM与直线BN的斜率互为相反数.若存在，求出B的坐标；若不存在，请说明理由.

解：如果存在，根据对称性，该点一定在对称轴（即轴）上，设B（a，0）

设直线的方程为x=my+■，M（x■，y■），N（x■，y■）

则k■+k■=■+■=■+■=0

∴2my■y■+（■-a）（y■+y■）=0

联立方程组x=my+■y■=2px

则y■-2pmy-p■=0

∴-2mp■+2pm（■-a）=0，对任何实数m恒成立；即a=-■，

即存在一定点B（-■，0），使直线BM与直线BN的斜率互为相反数恒成立.

完成此题的解答后，思维开始活跃，有的同学认为此题也可以推广为下列命题：

推广2：已知抛物线y■=2px（p>0），点M为抛物线的对称轴与其准线的交点，过点M作斜率互为相反数两直线l■，l■与抛物线分别相交于A、B、C、D四个点，其中A、C两点的横坐标相同，求证直线AD经过一定点.

解答可得直线AD必定经过此抛物线的焦点.

到此有的同学已经非常满意这样的结论与推广，但有同学立刻提出这样的想法，上述过焦点的直线是否可以改成过对称轴上定点A（a，0），（a>0），上述的性质是否也存在？经过思考的确具有同样的结论.

推广3：已知抛物线y■=2px（p>0），过点A（a，0），（a>0）直线l交抛物线于M，N两点，点B为点A关于原点对称的点，求证：直线BM与直线BN的斜率互为相反数.

推广4：已知过抛物线y■=2px（p>0），过点A（a，0），（a>0）直线l交抛物线于M，N两点，是否在x轴上能找一点B，使直线BM与直线BN的斜率互为相反数.若存在，求出B的坐标；若不存在，请说明理由.

此题可求得B（-a，0）.

推广5：已知抛物线y■=-2px（p>0），点m（-a，0），（a>0），过点M作斜率互为相反数两直线l■，l■与抛物线分别相交于A、B、C、D四个点，其中A、C两点的横坐标相同，求证直线AD经过一定点.

解答可得直线AD必定经过（a，0）.

到此似乎非常完美了，但有学生提出在椭圆或双曲线也有类似结论，答案是肯定的，的确存在类似结论，下面以椭圆为背景推广之.

例2：已知过椭圆■+■=1（a>b>0）的右焦点F的直线l交椭圆于M，N两点，B（■，0），其中（c=■），求证：直线BM与直线BN的斜率互为相反数.

解：设直线的方程为x=my+c，M（x■，y■），N（x■，y■）

x=my+c■+■=1得（a■+b■m■）y■+2mcb■y-b■=0

∴y■+y■=-■

∴y■·y■=■

则k■+k■=■+■

∵y■·（x■-■）+y■·（x■-■）=2my■y■+（c-■）（y■+y■）

=2m·■-■（-■）=0

∴k■+k■=0

即命题得证.

完成此题的解答后，学生思维第2次开始活跃，有的同学认为此题也可以推广为下列命题：

推广6：已知过椭圆■+■=1（a>b>0）的右焦点F的直线l交椭圆于M，N两点，是否在x轴上能找一点B，使直线BM与直线BN的斜率互为相反数.若存在，求出B的坐标；若不存在，请说明理由.

结论同样成立.

此题的解法可结合例2及推广1即可证明，存在B（■，0）.

以下推广7和8均可自行证明，这里不再证明.

推广7：已知椭圆■+■=1（a>b>0），点M为椭圆的对称轴与其右准线的交点，过点M作斜率互为相反数两直线l■，l■与椭圆分别相交于A、B、C、D四个点，其中A、C两点的横坐标相同，求证直线AD经过一定点.

推广8：已知椭圆■+■=1（a>b>0），过点A（m，0）（m>0）直线l交椭圆于M，N两点，是否可以在x轴上能找一点B，使直线BM与直线BN的斜率互为相反数.若存在，求出B的坐标；若不存在，请说明理由.

推广9：已知椭圆■+■=1（a>b>0），过点M（m，0）（m>a）作斜率互为相反数的两直线l■，l■与椭圆分别相交于A、B、C、D四个点，其中A、C两点的横坐标相同，求证：直线AD经过一定点.

解：设直线l■：y=k（x-m），由y=k（x-m）■+■=1

得（b■+a■k■）x■-2ma■k■x+a■k■m■-a■b■=0

设A（x■，y■），B（x■，y■），则根据对称性C（x■，-y■），D（x■，-y■）

∴x■+x■=■

x■·x■=■

直线AD若过定点，根据对称性，则定点在轴上，不妨设点为N（n，0）.

则有k■=k■，对所有适合题意的实数k均成立.

则■=■，∴-k（k■-m）（x■-n）=k（x■-n）=k（x■-m）（x■-n）

即2x■x■-（m+n）（x■+x■）+2mn=0

∴2（a■k■m■-a■b■）-（m+n）·2ma■k■+2mn（b■+a■k■）=0

得n=■则直线AD经过一定点（■，0）.

由此可知上述推广7即为此推广的特例.

当然还可以作进一步推广，如在双曲线中是否也有此类性质，等等；探究发现这些性质均具备，有兴趣的同学可自行操作.限于篇幅，本文不再对双曲线中有关的性质作推广.

课后同学们意犹未尽，纷纷作出各种尝试，得出不少新的结论与推广，这对于提高数学学习的自觉性和实践性等大有益处.有利于学生树立正确的价值观，并让学生学以致用，并真正体会数学是自然的，以上这些是自然而然的推广而已.endprint

学习数学较理想的状态是能够从有限的例题出发举一反三，同时让学生体验自行编题的乐趣，培养学生的创新意识和学习能力，真正达到“授人以渔”的目的.这里笔者以在上课时讲授的一道例题为例，谈谈如何让学生尝试发现问题和解决问题.

在选修2-1第2章的复习课上，我举了如下例题：

例1：已知过抛物线y■=2px（p>0）焦点F的直线l交抛物线于M，N两点，B（-■，0），求证：直线BM与直线BN的斜率互为相反数.

解：设直线的方程为x=my+■，M（x■，y■），N（x■，y■）

则k■+k■=■+■=■+■

=■

联立方程组x=my+■y■=2px

则y■-2pmy-p■=0

∵2my■y■+p（y■+y■）=2m（-p■）+p■pm=0

∴k■+k■=0，即直线BM与直线BN的斜率互为相反数.

一般情况下，到此一些数学教师认为已完成了学习任务，失去了继续探索的机会.

此题一出，接下去便是见证学生数学学习能力与创新能力的时候了.

让学生思考：你可以编出怎样的题目？此时有同学提出如下问题，这里我们记为推广1.

推广1：已知过抛物线y■=2px（p>0）焦点F的直线交抛物线于M，N两点，是否在平面上能找一定点B，使直线BM与直线BN的斜率互为相反数.若存在，求出B的坐标；若不存在，请说明理由.

解：如果存在，根据对称性，该点一定在对称轴（即轴）上，设B（a，0）

设直线的方程为x=my+■，M（x■，y■），N（x■，y■）

则k■+k■=■+■=■+■=0

∴2my■y■+（■-a）（y■+y■）=0

联立方程组x=my+■y■=2px

则y■-2pmy-p■=0

∴-2mp■+2pm（■-a）=0，对任何实数m恒成立；即a=-■，

即存在一定点B（-■，0），使直线BM与直线BN的斜率互为相反数恒成立.

完成此题的解答后，思维开始活跃，有的同学认为此题也可以推广为下列命题：

推广2：已知抛物线y■=2px（p>0），点M为抛物线的对称轴与其准线的交点，过点M作斜率互为相反数两直线l■，l■与抛物线分别相交于A、B、C、D四个点，其中A、C两点的横坐标相同，求证直线AD经过一定点.

解答可得直线AD必定经过此抛物线的焦点.

到此有的同学已经非常满意这样的结论与推广，但有同学立刻提出这样的想法，上述过焦点的直线是否可以改成过对称轴上定点A（a，0），（a>0），上述的性质是否也存在？经过思考的确具有同样的结论.

推广3：已知抛物线y■=2px（p>0），过点A（a，0），（a>0）直线l交抛物线于M，N两点，点B为点A关于原点对称的点，求证：直线BM与直线BN的斜率互为相反数.

推广4：已知过抛物线y■=2px（p>0），过点A（a，0），（a>0）直线l交抛物线于M，N两点，是否在x轴上能找一点B，使直线BM与直线BN的斜率互为相反数.若存在，求出B的坐标；若不存在，请说明理由.

此题可求得B（-a，0）.

推广5：已知抛物线y■=-2px（p>0），点m（-a，0），（a>0），过点M作斜率互为相反数两直线l■，l■与抛物线分别相交于A、B、C、D四个点，其中A、C两点的横坐标相同，求证直线AD经过一定点.

解答可得直线AD必定经过（a，0）.

到此似乎非常完美了，但有学生提出在椭圆或双曲线也有类似结论，答案是肯定的，的确存在类似结论，下面以椭圆为背景推广之.

例2：已知过椭圆■+■=1（a>b>0）的右焦点F的直线l交椭圆于M，N两点，B（■，0），其中（c=■），求证：直线BM与直线BN的斜率互为相反数.

解：设直线的方程为x=my+c，M（x■，y■），N（x■，y■）

x=my+c■+■=1得（a■+b■m■）y■+2mcb■y-b■=0

∴y■+y■=-■

∴y■·y■=■

则k■+k■=■+■

∵y■·（x■-■）+y■·（x■-■）=2my■y■+（c-■）（y■+y■）

=2m·■-■（-■）=0

∴k■+k■=0

即命题得证.

完成此题的解答后，学生思维第2次开始活跃，有的同学认为此题也可以推广为下列命题：

推广6：已知过椭圆■+■=1（a>b>0）的右焦点F的直线l交椭圆于M，N两点，是否在x轴上能找一点B，使直线BM与直线BN的斜率互为相反数.若存在，求出B的坐标；若不存在，请说明理由.

结论同样成立.

此题的解法可结合例2及推广1即可证明，存在B（■，0）.

以下推广7和8均可自行证明，这里不再证明.

推广7：已知椭圆■+■=1（a>b>0），点M为椭圆的对称轴与其右准线的交点，过点M作斜率互为相反数两直线l■，l■与椭圆分别相交于A、B、C、D四个点，其中A、C两点的横坐标相同，求证直线AD经过一定点.

推广8：已知椭圆■+■=1（a>b>0），过点A（m，0）（m>0）直线l交椭圆于M，N两点，是否可以在x轴上能找一点B，使直线BM与直线BN的斜率互为相反数.若存在，求出B的坐标；若不存在，请说明理由.

推广9：已知椭圆■+■=1（a>b>0），过点M（m，0）（m>a）作斜率互为相反数的两直线l■，l■与椭圆分别相交于A、B、C、D四个点，其中A、C两点的横坐标相同，求证：直线AD经过一定点.

解：设直线l■：y=k（x-m），由y=k（x-m）■+■=1

得（b■+a■k■）x■-2ma■k■x+a■k■m■-a■b■=0

设A（x■，y■），B（x■，y■），则根据对称性C（x■，-y■），D（x■，-y■）

∴x■+x■=■

x■·x■=■

直线AD若过定点，根据对称性，则定点在轴上，不妨设点为N（n，0）.

则有k■=k■，对所有适合题意的实数k均成立.

则■=■，∴-k（k■-m）（x■-n）=k（x■-n）=k（x■-m）（x■-n）

即2x■x■-（m+n）（x■+x■）+2mn=0

∴2（a■k■m■-a■b■）-（m+n）·2ma■k■+2mn（b■+a■k■）=0

得n=■则直线AD经过一定点（■，0）.

由此可知上述推广7即为此推广的特例.

当然还可以作进一步推广，如在双曲线中是否也有此类性质，等等；探究发现这些性质均具备，有兴趣的同学可自行操作.限于篇幅，本文不再对双曲线中有关的性质作推广.

课后同学们意犹未尽，纷纷作出各种尝试，得出不少新的结论与推广，这对于提高数学学习的自觉性和实践性等大有益处.有利于学生树立正确的价值观，并让学生学以致用，并真正体会数学是自然的，以上这些是自然而然的推广而已.endprint