平面向量问题的常规解法

单鹏

摘 要： 平面向量是高中数学的重要内容，是解决数学问题的很好的工具，是联系代数与几何的桥梁，是江苏高考的必考内容，其中向量的数量积还是高考的C级要求，同时也是学生比较感兴趣且有一定难度的一类问题.那么向量问题有哪些常规解法呢？本文就此问题作探讨.

关键词： 平面向量 常规解法 高中数学教学

平面向量是高中数学的重要内容，是解决数学问题的很好的工具，是联系代数与几何的桥梁，是江苏高考的必考内容，其中向量的数量积还是高考的C级要求，同时也是学生比较感兴趣而又有一定难度的一类问题.那么向量问题有哪些常规解法呢？我结合教学体会小结如下.

一、合理拆分法

例1：已知O为△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则■·■的值等于多少？

分析：只要把向量■拆分为■+■，然后根据外心定义及一个向量■在■与■上的投影即可解决.答案为5.

例2：在平面上，■■⊥■■，|■■|=|■■|=1，■=■■+■■.若|■|<■，则|■|的取值范围是？摇 ？摇.

分析：只要把已知向量与所求向量转化成以O点为起点的向量即可解决问题.

解：∵■■⊥■■，

∴■■·■■=（■■-■）·（■■-■）=■■·■■-■■·■-■·■■+■■=0，

∴■■·■■-■■·■-■·■■=-■■.

∵■=■■+■■.

∴■-■=■■-■+■■-■，

∴■=■■+■■-■.

∵|■■|=|■■|=1，

∴■■=1+1+■■+2（■■·■■-■■·■-■■·■）=2+■■+2（-■■）=2-2■■.

∵|■|<■，∴0≤|■|■<■，∴0≤2-■■<■，

∴■<■■≤2，即|■|∈（■，■].

二、数形结合，建立坐标系法

例3：

如图，若a=■，b=■，a与b夹角为120°，|a|=|b|=1，点P是以O为圆心的圆弧■上一动点，设■=x■+y■（x，y∈R），求x+y的最大值.

分析：建立适当的坐标系可以把向量的运算转化成坐标运算.

解：以O为原点，OD为x轴建立直角坐标系，

则D（1，0），E（-■，■）.

设∠POD=α（0≤α≤■），则P（cosα，sinα）.

由■=x■+y■，得cosα=x-■y，sinα=■y，

所以y=■sinα，x=cosα+■sinα，

所以x+y=cosα+■sinα=2sin（α+■）.

又0≤α≤■，故当α=■时，x+y的最大值为2.

利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等向量坐标相同这一原则，通过列方程（组）进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标.

三、两边平方或同时点乘同一个向量法

例3的解法二：设∠POD=α（0≤α≤■），由■·■=x■·■+y■·■，■·■=x■·■+y■·■，

可得cosα=x-■y，cos（■-α）=-■x+y.

于是x+y=2[cosα+cos（■-α]=2sin（α+■）.

又0≤α≤■，故当α=■时，x+y的最大值为2.

例4：（2013·湖南改编）已知a，b是单位向量，a·b=0，若向量c满足|c-a-b|=1，则|c|的取值范围是？摇 ？摇.

分析：对条件|c-a-b|=1两边平方，这样可以很顺利地打开解题思路，

解：∵a·b=0，且a，b是单位向量，∴|a|=|b|=1.

又∵|c-a-b|■=c■-2c·（a+b）+2a·b+a■+b■=1，

∴2c·（a+b）=c■+1.

∵|a|=|b|=1且a·b=0，∴|a+b|=■，

∴c■+1=2■|c|cosθ（θ是c与a+b的夹角）.

又-1≤cosθ≤1，∴0

∴c■-2■|c|+1≤0，

∴■-1≤|c|≤■+1.

如正弦定理的证明就是用的两边同时点乘一个向量的方法，余弦定理的证明就是用的两边平方法，两种证法参见苏教版必修五课本.

四、基底法（运用平面向量基本定理、平行向量定理）

例5：（2012·湖州模拟）如图，在△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB，AC于M，N两点，若■=x■，■=y■，试问：■+■是否为定值？请证明你的结论.

分析：以不共线的两个向量■、■为一组基底，把其他向量用这个基底线性表示.

解：■+■为定值，证明如下：

设■=a，■=b，则■=xa，■=yb，

■=■■=■（■+■）=■（a+b），

所以■=■-■=■（a+b）-xa=（■-x）a+■b，

■=■-■=yb-xa=-xa+yb.

因为■与■共线，所以存在实数λ，使■=λ■，所以（■-x）a+■b=λ（-xa+yb）=-λxa+λyb，又因为a与b不共线，所以■-x=-λx■=λy，

消去λ，得■+■=4为定值.

方法总结：

1.如果题目中已知两个不共线的向量的模与夹角，一般都是以这两个不共线的向量为一组基底，其他向量用它线性表示，这样问题就可得以解决.

2.平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，又可以由向量共线求参数.利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点.

3.对于向量的线性运算，不但要掌握几何法则，还要掌握坐标运算法则，使二者有机结合.

参考文献：

[1]江苏省考试说明.

[2]步步高二轮专题复习与增分策略.

[3]创新设计.

摘 要： 平面向量是高中数学的重要内容，是解决数学问题的很好的工具，是联系代数与几何的桥梁，是江苏高考的必考内容，其中向量的数量积还是高考的C级要求，同时也是学生比较感兴趣且有一定难度的一类问题.那么向量问题有哪些常规解法呢？本文就此问题作探讨.

关键词： 平面向量 常规解法 高中数学教学

平面向量是高中数学的重要内容，是解决数学问题的很好的工具，是联系代数与几何的桥梁，是江苏高考的必考内容，其中向量的数量积还是高考的C级要求，同时也是学生比较感兴趣而又有一定难度的一类问题.那么向量问题有哪些常规解法呢？我结合教学体会小结如下.

一、合理拆分法

例1：已知O为△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则■·■的值等于多少？

分析：只要把向量■拆分为■+■，然后根据外心定义及一个向量■在■与■上的投影即可解决.答案为5.

例2：在平面上，■■⊥■■，|■■|=|■■|=1，■=■■+■■.若|■|<■，则|■|的取值范围是？摇 ？摇.

分析：只要把已知向量与所求向量转化成以O点为起点的向量即可解决问题.

解：∵■■⊥■■，

∴■■·■■=（■■-■）·（■■-■）=■■·■■-■■·■-■·■■+■■=0，

∴■■·■■-■■·■-■·■■=-■■.

∵■=■■+■■.

∴■-■=■■-■+■■-■，

∴■=■■+■■-■.

∵|■■|=|■■|=1，

∴■■=1+1+■■+2（■■·■■-■■·■-■■·■）=2+■■+2（-■■）=2-2■■.

∵|■|<■，∴0≤|■|■<■，∴0≤2-■■<■，

∴■<■■≤2，即|■|∈（■，■].

二、数形结合，建立坐标系法

例3：

如图，若a=■，b=■，a与b夹角为120°，|a|=|b|=1，点P是以O为圆心的圆弧■上一动点，设■=x■+y■（x，y∈R），求x+y的最大值.

分析：建立适当的坐标系可以把向量的运算转化成坐标运算.

解：以O为原点，OD为x轴建立直角坐标系，

则D（1，0），E（-■，■）.

设∠POD=α（0≤α≤■），则P（cosα，sinα）.

由■=x■+y■，得cosα=x-■y，sinα=■y，

所以y=■sinα，x=cosα+■sinα，

所以x+y=cosα+■sinα=2sin（α+■）.

又0≤α≤■，故当α=■时，x+y的最大值为2.

利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等向量坐标相同这一原则，通过列方程（组）进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标.

三、两边平方或同时点乘同一个向量法

例3的解法二：设∠POD=α（0≤α≤■），由■·■=x■·■+y■·■，■·■=x■·■+y■·■，

可得cosα=x-■y，cos（■-α）=-■x+y.

于是x+y=2[cosα+cos（■-α]=2sin（α+■）.

又0≤α≤■，故当α=■时，x+y的最大值为2.

例4：（2013·湖南改编）已知a，b是单位向量，a·b=0，若向量c满足|c-a-b|=1，则|c|的取值范围是？摇 ？摇.

分析：对条件|c-a-b|=1两边平方，这样可以很顺利地打开解题思路，

解：∵a·b=0，且a，b是单位向量，∴|a|=|b|=1.

又∵|c-a-b|■=c■-2c·（a+b）+2a·b+a■+b■=1，

∴2c·（a+b）=c■+1.

∵|a|=|b|=1且a·b=0，∴|a+b|=■，

∴c■+1=2■|c|cosθ（θ是c与a+b的夹角）.

又-1≤cosθ≤1，∴0

∴c■-2■|c|+1≤0，

∴■-1≤|c|≤■+1.

如正弦定理的证明就是用的两边同时点乘一个向量的方法，余弦定理的证明就是用的两边平方法，两种证法参见苏教版必修五课本.

四、基底法（运用平面向量基本定理、平行向量定理）

例5：（2012·湖州模拟）如图，在△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB，AC于M，N两点，若■=x■，■=y■，试问：■+■是否为定值？请证明你的结论.

分析：以不共线的两个向量■、■为一组基底，把其他向量用这个基底线性表示.

解：■+■为定值，证明如下：

设■=a，■=b，则■=xa，■=yb，

■=■■=■（■+■）=■（a+b），

所以■=■-■=■（a+b）-xa=（■-x）a+■b，

■=■-■=yb-xa=-xa+yb.

因为■与■共线，所以存在实数λ，使■=λ■，所以（■-x）a+■b=λ（-xa+yb）=-λxa+λyb，又因为a与b不共线，所以■-x=-λx■=λy，

消去λ，得■+■=4为定值.

方法总结：

1.如果题目中已知两个不共线的向量的模与夹角，一般都是以这两个不共线的向量为一组基底，其他向量用它线性表示，这样问题就可得以解决.

2.平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，又可以由向量共线求参数.利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点.

3.对于向量的线性运算，不但要掌握几何法则，还要掌握坐标运算法则，使二者有机结合.

参考文献：

[1]江苏省考试说明.

[2]步步高二轮专题复习与增分策略.

[3]创新设计.

摘 要： 平面向量是高中数学的重要内容，是解决数学问题的很好的工具，是联系代数与几何的桥梁，是江苏高考的必考内容，其中向量的数量积还是高考的C级要求，同时也是学生比较感兴趣且有一定难度的一类问题.那么向量问题有哪些常规解法呢？本文就此问题作探讨.

关键词： 平面向量 常规解法 高中数学教学

平面向量是高中数学的重要内容，是解决数学问题的很好的工具，是联系代数与几何的桥梁，是江苏高考的必考内容，其中向量的数量积还是高考的C级要求，同时也是学生比较感兴趣而又有一定难度的一类问题.那么向量问题有哪些常规解法呢？我结合教学体会小结如下.

一、合理拆分法

例1：已知O为△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则■·■的值等于多少？

分析：只要把向量■拆分为■+■，然后根据外心定义及一个向量■在■与■上的投影即可解决.答案为5.

例2：在平面上，■■⊥■■，|■■|=|■■|=1，■=■■+■■.若|■|<■，则|■|的取值范围是？摇 ？摇.

分析：只要把已知向量与所求向量转化成以O点为起点的向量即可解决问题.

解：∵■■⊥■■，

∴■■·■■=（■■-■）·（■■-■）=■■·■■-■■·■-■·■■+■■=0，

∴■■·■■-■■·■-■·■■=-■■.

∵■=■■+■■.

∴■-■=■■-■+■■-■，

∴■=■■+■■-■.

∵|■■|=|■■|=1，

∴■■=1+1+■■+2（■■·■■-■■·■-■■·■）=2+■■+2（-■■）=2-2■■.

∵|■|<■，∴0≤|■|■<■，∴0≤2-■■<■，

∴■<■■≤2，即|■|∈（■，■].

二、数形结合，建立坐标系法

例3：

如图，若a=■，b=■，a与b夹角为120°，|a|=|b|=1，点P是以O为圆心的圆弧■上一动点，设■=x■+y■（x，y∈R），求x+y的最大值.

分析：建立适当的坐标系可以把向量的运算转化成坐标运算.

解：以O为原点，OD为x轴建立直角坐标系，

则D（1，0），E（-■，■）.

设∠POD=α（0≤α≤■），则P（cosα，sinα）.

由■=x■+y■，得cosα=x-■y，sinα=■y，

所以y=■sinα，x=cosα+■sinα，

所以x+y=cosα+■sinα=2sin（α+■）.

又0≤α≤■，故当α=■时，x+y的最大值为2.

利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等向量坐标相同这一原则，通过列方程（组）进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标.

三、两边平方或同时点乘同一个向量法

例3的解法二：设∠POD=α（0≤α≤■），由■·■=x■·■+y■·■，■·■=x■·■+y■·■，

可得cosα=x-■y，cos（■-α）=-■x+y.

于是x+y=2[cosα+cos（■-α]=2sin（α+■）.

又0≤α≤■，故当α=■时，x+y的最大值为2.

例4：（2013·湖南改编）已知a，b是单位向量，a·b=0，若向量c满足|c-a-b|=1，则|c|的取值范围是？摇 ？摇.

分析：对条件|c-a-b|=1两边平方，这样可以很顺利地打开解题思路，

解：∵a·b=0，且a，b是单位向量，∴|a|=|b|=1.

又∵|c-a-b|■=c■-2c·（a+b）+2a·b+a■+b■=1，

∴2c·（a+b）=c■+1.

∵|a|=|b|=1且a·b=0，∴|a+b|=■，

∴c■+1=2■|c|cosθ（θ是c与a+b的夹角）.

又-1≤cosθ≤1，∴0

∴c■-2■|c|+1≤0，

∴■-1≤|c|≤■+1.

如正弦定理的证明就是用的两边同时点乘一个向量的方法，余弦定理的证明就是用的两边平方法，两种证法参见苏教版必修五课本.

四、基底法（运用平面向量基本定理、平行向量定理）

例5：（2012·湖州模拟）如图，在△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB，AC于M，N两点，若■=x■，■=y■，试问：■+■是否为定值？请证明你的结论.

分析：以不共线的两个向量■、■为一组基底，把其他向量用这个基底线性表示.

解：■+■为定值，证明如下：

设■=a，■=b，则■=xa，■=yb，

■=■■=■（■+■）=■（a+b），

所以■=■-■=■（a+b）-xa=（■-x）a+■b，

■=■-■=yb-xa=-xa+yb.

因为■与■共线，所以存在实数λ，使■=λ■，所以（■-x）a+■b=λ（-xa+yb）=-λxa+λyb，又因为a与b不共线，所以■-x=-λx■=λy，

消去λ，得■+■=4为定值.

方法总结：

1.如果题目中已知两个不共线的向量的模与夹角，一般都是以这两个不共线的向量为一组基底，其他向量用它线性表示，这样问题就可得以解决.

2.平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，又可以由向量共线求参数.利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点.

3.对于向量的线性运算，不但要掌握几何法则，还要掌握坐标运算法则，使二者有机结合.

参考文献：

[1]江苏省考试说明.

[2]步步高二轮专题复习与增分策略.

[3]创新设计.