等差数列前n项和公式的变形及应用

代琼霞

【摘要】正等差数列有5个量:首项a1,公差d,项数n,第n项an，前n项和Sn，已知其中三个量,通过对等差数列前n项和公式的变形，可轻松求出其他的量。

【关键词】等差数列求和公式性质推导

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）06-0141-01

等差数列是职业高中数学的一项重要内容，其重点是通项公式与前n项和公式。透彻理解并掌握他们的相关性，能使我们的解题简洁方便。下面我们就等差数列前n项和公式作进一步探讨。

一、Sn=na1+■d的结构特征

若a1，d是确定的，那么Sn=na1+■d=■n2+（a1-■）n

设A=■，B=a1-■，上式可写成Sn=An2+Bn

若A≠0,即（d≠0）时，Sn是关于n的二次式且缺常数项

分析等式的结构特征，并未强调该等式一定是个一元二次函数，因此我们分两种情况讨论：

①当A=0时，该等式是一个常数值数列，即an=c

②当A≠0时，该等式是一个没有常数项的一元二次函数，其中：A=■，B=a1-■

（一）对该特征的应用：判断函数是否为等差数列，求等差数列的通项公式。

例1：数列{an}是等差数列的一个充要条件是（ B ）

A. Sn=an2+bn+c B. Sn=an2+bn

C. Sn=an2+bn+c（a≠0） D. Sn=an2+bn（a≠0）

分析：利用我们前面的结构特征分析，即可选（B）。

例2:已知数列{an}的前n项和Sn=5n2-n,求数列{an}的通项公式

解：∵■=5，a1-■=-1 ∴d=10， a1=9

an=9+（n-1）10=10n-1

例3：已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+2n，则d=__________

分析：■=3， d=6

（二）利用公式求最大值及最小值

a1，d是确定的，那么Sn=na1+■d=■n2+（a1-■）n，发现这个式子是一个关于n的一元二次函数。

所以：①当d＞0时，有最小值；

②当d＜0时，有最大值。

例4：在等差数列{an}中，a10=230，a25=-220

①求a1和d

②n为何值时，Sn取最大值，并求出最大值

解：（1）∵d=■=■=-30

又a1+9d=a10=230

∴a1=230-9d=230-9×（-30）=500

∴d=-30，a1=500

（2）∵Sn=■n2+（a1-■）n=■n2+（500-■）n=-15n2+515n

即当n=-■=17■

∴当n=17时，Sn取最大值

S17=-15×172+515×17=4420

∴当n=17时，Sn取最大值，最大值为4420

例5：在等差数列{an}中，a1=-33，d=6，前n项和Sn取最小值时求n

解∵Sn=■n2+（a1-■）n=■n2+（-33-■）n=3n2-36n

∴当n=■=6

即当n=6时，Sn取最小值

二、Sn=■的结构特征

（一）设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sn=■经过变形

①当n=2k（k∈N*）时，S2k=k（ak+ak+1）

②当n=2k-1（k∈N*）时，S2k-1=（2k-1）a2k-1

当n=2k（k∈N*）时，S2k=k（ak+ak+1）

例6：（97年8）已知{an}是等差数列，且a5+a17=4，那么它的前21项之和等于（A）

（A）42 （B）40.5 （C）40 （D）21

解：S21=21a11=21（■）=21×2=42

例7：（98年4）已知等差数列{an}的前21项之和为42，那么a11=（B）

（A）1 （B）2 （C） ■ （D）3

解∵S21=21a11=42 ∴a11=2

这样的题型在每年广东省职业高考中属于必考内容，因此需要熟练掌握。

（二）利用该性质，当已知前n项和的比值时，可以轻松求出某两项的比值。

例8：（人教版高中数学第一册上P142第4题）两个等差数列{an}，{bn}，且■=■，求■。

解：设{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，由性质有：S9=9a5，T9=9b5

∴■=■=■=■

例9：已知等差数列{an}的前n项的和为Sn，若■=■，求■

解：由性质：S9=9a5，S5=5a3

∴■=■=■×■=1

三、（人教版高中数学第一册上P12310题）已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，设k∈N*，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等差数列吗？

解：由k，2k，3k成等差数列，据性质可知：■，■，■成等差数列。

则2×■=■+■， ∴3S2k=3Sk+S3k

即2（S2k-Sk）=Sk+（S3k-S2k），故Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等差数列，即等差数列每相隔相同项数的和构成一个新的等差数列。

例10：在等差数列{an}中，前10项的和为20，前20项的和为60，则前30项的和为（ ）

A. 80 B. 100 C. 120 D. 140

解：∵2（S20-S10）=S10+（S30-S20）

∴2（60-20）=20+（S30-60）

S30=120

例11（2002年广东职业高考18）等比数列的前10项和为48，前20项和为60，则这个数列的前30项和为（ C ）

A． 75 B． 68 C． 63 D． 54

等差数列的前n项和公式是学习等差数列的重点内容之一，其公式本身不仅蕴涵着分类讨论的方法,而且給出了特殊数列前n项和的求解方法。针对该公式，我们从特殊角度加以推导,能使学生扩大视野、转换思维，加深对公式的理解，不仅能轻松解题，甚至能够解决生活中具体问题。

参考文献：

高职高考 数学（上册）复习教材 广东省出版集团 广东经济出版社