基于第二代小波的杆、梁单元构造研究

王旱祥,刘延鑫,丁国栋

(中国石油大学机电工程学院,山东青岛 266580)

基于第二代小波的杆、梁单元构造研究

王旱祥,刘延鑫,丁国栋

(中国石油大学机电工程学院,山东青岛 266580)

针对第二代小波尺度函数无显式表达式的缺点,提出采用PsdVoigt2函数进行拟合的方法,根据小波有限元及第二代小波理论,利用第二代小波尺度函数取代传统有限元多项式插值函数,通过转换矩阵将小波插值系数转换到物理空间,构造出形函数,并利用该方法构造一系列杆、梁单元。通过不同算例对构造的第二代小波杆、梁单元进行精度验证。计算结果表明,构造的第二代小波单元在求解变形和应变时精度较高,丰富了小波有限元单元库。

第二代小波;小波有限元;一维单元;单元构造

小波目前主要应用于信号分析、图片处理、故障诊断等许多学科[1-2]。由于小波具有多尺度、多分辨的特性,被应用于有限元法即小波有限元方法,能够提供多种具有分辨性能的基函数作为有限元插值函数,弥补了传统有限元只以多项式作为插值函数的不足,对于解决传统有限元法难以解决的奇异性等问题具有诱人的前景[3]。一般的小波有限元方法多采用Daubechies小波尺度函数及区间B样条小波尺度函数作为插值函数,且多用于平面内梁单元和板单元。Lilliam等[4]提出了基于Daubechies小波的梁单元,周又和等[5]利用Daubechies小波,从伽辽金法出发构造了小波梁单元和板单元,何正嘉、马星军等[6-8]利用区间B样条小波构造了小波梁单元和薄板单元。对于第二代小波,何正嘉等[9]构造了基于第二代小波的细长梁单元,但不能基于该种梁单元进一步构造平面刚架单元和空间梁单元。针对上述问题,笔者基于第二代小波及小波有限元理论构造一系列杆梁单元。

1 第二代小波

第二代小波(SGW小波),通常可表示为SGWN,N为预测系数个数。第二代小波变换不依赖Fourier变换,具有算法简单,信号分解运算速度快,占用内存少,可以完全重构,分析任意长度信号的优点。理论上,任何离散小波都可以用提升格式来实现。若已知原始信号X={x(k),k∈Z},数据长度为L,基于插值细分的第二代小波变换的分解算法为:

(1)剖分。将信号分成奇样本序列λo={λo(k) =x(2k),k∈Z}和偶样本序列λe={λe(k)=x(2k+ 1),k∈Z}。

(2)预测。用偶样本λe预测奇样本,采用相邻的N个偶样本(N=2D,D为正整数),预测值误差为细节信号,记为γ={γ(k),k∈Z},即

式中,P(·)为预测函数或预测器,称之为N点预测器。

如图1所示为基于插值细分的第二代小波尺度函数φ(x)数值计算方法[10]。设定初始信号c= [,0,0,1,0,0,],细节信号d=[,0,0,0,0,0,]。

图1 SGW尺度函数计算方法Fig.1 Calculation method of scaling function SGW

由于SGW小波无显示表达式,用于有限元计算时会带来很多问题。为解决该问题,何正嘉等[9]提出采用三次样条插值方法计算第二代小波尺度函数和小波函数的表达式,但是,采用该方法进行计算时,函数表达式是分段函数,在进行有限元计算时会使计算极为繁琐。经过大量计算,本文中提出采用Origin软件中的PsdVoigt2函数对其拟合,拟合函数表达式为

式中,y0、A、mu、wL、xc、wG为系数。

在构造一维单元时,采用了SGW4小波以及SGW6小波,其拟合函数系数及拟合图分别如表1和图2所示,拟合相关系数分别为0.99796、0.99482。

表1 SGW小波尺度函数拟合函数系数Table 1 SGW scaling function and fitting function coefficient

图2 第二代小波尺度函数拟合图Fig.2 Fitting figures of SGW scaling functions

2 第二代小波单元构造

2.1 轴力杆与扭转杆单元

用第二代小波尺度函数构造单元,尺度函数支撑区间为[－N+1,N－1]。将杆结构离散为有限个单元,当采用SGWN小波构造轴力杆单元时,每个单元被分成n=2N－3个部分,其单元节点总数为n+1,节点位移为其划分结构如图3所示。

图3 小波轴力杆单元Fig.3 Wavelet axial bar element

式中,x为该单元中任意一点的坐标,其取值范围为[x1,xn+1];x1、xn+1分别为该单元左端点和右端点的位置;le为单元长度;ξ为任意一点实际坐标的映射值,显然,ξ∈[0,1]。

单元内位移函数由尺度函数插值得到,即

引进定义变换公式:

式中,φ(ξ)为第二代小波尺度函数;ai为待求系数。

式(5)又可写成矩阵形式:

式中,EA为抗压刚度;a、b分别为单元第一个和最后一个节点的坐标;le为单元长度。

同样可得分布载荷列阵

式中,f(ξ)为分布载荷。

集中载荷列阵

式中,Pj为集中载荷。

扭转杆与轴力杆类似,本文不再赘述。为验证所构造轴力杆单元的正确性,采用算例1进行了计算。

算例1图4所示为一等截面直杆,沿轴线均布载荷为f(x)=1。

图4 两端固定直杆Fig.4 Straight bar with two ends fixed

采用1个SGW4小波杆单元进行计算,并与理论解进行对比,结果如表2所示。由表2可以看出,在计算点处,位移和应变的最大相对误差分别为0.059%、0.6%,可见所构造轴力杆单元在计算变形时有很高的计算精度。计算应变时精度稍低,这是由拟合函数与原函数之间误差引起的。

表2 SGW4小波杆单元求解结果及其精度Table 2 Results and its accuracy of SGW4 wavelet element

2.2 Euler-Bernoulli梁单元

在构造SGWN Euler-Bernoulli梁单元时,单元求解域被等间隔分成n=2N－6个部分,其单元节点总数为n+1,节点总自由度数为n+4,构造的单元如图5所示。

图5 小波Euler-Bernoulli梁单元Fig.5 Wavelet Euler-Bernoulli beam element

单元位移函数可表示为

在梁弯曲问题分析中,不仅要求相邻单元公共节点位移相同,还要求公共节点处截面转角相同,为便于与轴力杆、扭转杆构造平面刚架、空间梁单元,对于第2、n个节点也有转角自由度,对于Euler-Bernoulli梁,截面转角等于位移的导数,即

式中,Mk为集中弯矩。

为验证所构造的Euler-Bernoulli梁单元的精度,采用算例2及算例3进行了计算。

算例2长度为L的等截面梁,抗弯刚度为EI,两端简支,受分布载荷q(x)=1,如图6所示。

图6 两端简支等截面Euler梁Fig.6 Constant section Euler beam with simply support of both ends

采用1个建立的SGW6 Euler-Bernoulli梁单元进行计算,结果见表3。

表3 两端简支等截面梁位移分析Table 3 Displacement analysis of constant section beam with simply support of both ends

算例3若将上述算例中边界条件改为左端固定,右端自由,采用1个SGW6 Euler-Bernoulli梁单元的计算值与理论值如表4所示。

从表3可以看出,在计算点处,位移和转角的最大相对误差分别为1.3×10－3%、2.0×10－2%,从表4可以看出,在计算点处,位移和转角的最大相对误差分别为5.7×10－4%、1.5×10－2%,可见所构造SGW6 Euler-Bernoulli梁单元有较高的计算精度。

2.3 平面刚架单元

SGW小波平面刚架单元由一个SGW4轴力杆单元和一个SGW6 Euler-Bernoulli梁单元组成,单元节点数为6,轴力杆对应的自由度为ui,xoy平面的梁单元对应的自由度为wi、θi,编号为1、2、5、6的节点处有3个自由度:ui、wi、θi,其余节点有2个自由度:ui、wi,每个单元共有16个自由度,如图7所示。

图7 平面刚架单元节点排列及局部和整体坐标系Fig.7 Plane frame element node arrangement and local and global coordinate system

由于刚架内各单元的局部坐标方向各不相同,分析时需要将单元特性矩阵转换到统一的整体坐标系才能按单元叠加,单元局部坐标与整体坐标之间的关系为

式中,α为单元坐标系x轴与整体坐标系X轴之间的夹角。

算例4如图8所示平面刚架,各杆件面积A= 76.3 cm2,惯性矩I=15 760 cm4,弹性模量E=200 GPa。均布载荷q=60 kN/m作用在水平杆BC上。

图8 受分布力作用的平面刚架Fig.8 Force distribution of plane rigid frame

用传统刚架单元对该问题进行了分析[13],本文采用3个SGW小波刚架单元进行分析,B、C两节点位移见表5。

表5 平面刚架位移分析Table 5 Plane frame displacement analysis

由表5可以看出,本文中构造的第二代小波单元刚架单元具有很高的精度,用来进行平面刚架分析是非常有效的。

2.4 空间梁单元

SGW小波空间梁单元由SGW4轴力杆单元、SGW4扭转杆单元和SGW6 Euler-Bernoulli梁单元组成,单元节点数为6,轴力杆对应的自由度为ui,扭转杆对应的自由度为θix,xoy平面梁单元对应的自由度为vi、θiy,xoz平面梁单元对应的自由度为wi、θiz,在单元中1、2、5、6节点有6个自由度:ui、vi、wi、θix、θiy、θiz,其余节点有4个自由度:ui、vi、wi、θix,每个单元共有32个自由度,如图9所示。

由于空间梁内各单元的局部坐标方向各不相同,分析时须将单元特性矩阵转换到统一的整体坐标系才能按单元叠加,在进行矩阵转换之前采用凝聚自由度的方法将θ3x、θ4x去掉。

图9 SGW空间梁单元Fig.9 SGW space beam element

单元局部坐标与整体坐标之间的关系为

式中,lxX、lxY、lxZ为局部坐标x与整体坐标X、Y、Z的3个方向余弦;lyX、lyY、lyZ和lzX、lzY、lzZ分别为局部坐标系y、z与整体坐标X、Y、Z的三个方向余弦。

算例5图10所示为一空间刚架结构。该刚架由12个梁组成,横截面面积为0.01×0.01 m2,梁的弹性模量为210 GPa,质量密度为7860 kg/m3,在刚架上部7节点沿y方向作用有－1 kN的横向载荷,并受到－1 000 N·m的扭矩。分别用608个普通梁单元[9]和12个SGW空间梁单元进行了计算,计算结果如表6、7所示。

图10 空间刚架结构示意图Fig.10 Schematic diagram of space frame structure

表6 空间刚架小波单元计算结果Table 6 Results of calculation of space frame structure with wavelet element

表7 空间刚架普通单元计算结果Table 7 Results of calculation of space frame structure with traditional element

由表6、7可以看出,构造的SGW小波空间梁单元与普通空间梁单元计算结果相近,从而说明所构造的SGW小波梁单元计算精度是相当高的。通过新方法进行处理,进行有限元计算时具有较高的精度,同时也避免了繁琐的计算。

3 结 论

(1)针对第二代小波无显式表达式的缺点,提出了采用PsdVoigt2函数进行拟合,从相关系数以及构造的单元的计算精度来看,利用该方法进行拟合是合理的。

(2)构造的第二代小波杆梁单元计算精度较高,丰富了小波有限元法单元库。

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(编辑 沈玉英)

Study on construction of SGW-based bar-beam elements

WANG Hanxiang,LIU Yanxin,DING Guodong
(College of Mechanical and Electronic Engineering in China University of Petroleum,Qingdao 266580,China)

PsdVoigt2 function was used to fit SGW function,and a series of bar beam elements based on the theory of SGW and wavelet finite element were constructed.Traditional finite element polynomial interpolation was replaced by the SGW scaling function,and transformation matrix was utilized to transform wavelet interpolation coefficients to physical space,then the shape function and a series of bar beam elements were constructed.The precision of constructed bar beam elements using SGW scale function as the interpolation function was verified by a series of calculation cases.The calculation results show that the SGW-based element has good precision in calculating the deformation and strain.The SGW-based bar beam element enriches the element library of wavelet-finite element method.

SGW;wavelet-finite element;one-dimensional element;construction of elements

O 242.21

A

1673-5005(2014)05-0135-07

10.3969/j.issn.1673-5005.2014.05.019

2013－11－01

国家重大科技专项(2011ZX05038);中央高校基本科研业务费专项资金(12CX06063A)

王旱祥(1967－),男,教授,博士,主要从事石油钻采设备与工艺、煤层气排采工艺研究工作。E－mail:wanghx1899@163.com。

王旱祥,刘延鑫,丁国栋.基于第二代小波的杆、梁单元构造研究[J].中国石油大学学报:自然科学版, 2014,38(5):135-141.

WANG Hanxiang,LIU Yanxin,DING Guodong.Study on construction of SGW-based bar-beam elements[J].Journal of China University of Petroleum(Edition of Natural Science),2014,38(5):135-141.