具有集值约束的弱Nash平衡问题解的存在性

帅维成

(四川民族学院数学系，四川康定 626000)

具有集值约束的弱Nash平衡问题解的存在性

帅维成

(四川民族学院数学系，四川康定 626000)

利用不动点定理证明了一类具有集值约束的弱Nash平衡问题解的存在性，推广了以往文献的结果。

非线性标量化函数;自然拟凸;集值映射

现代博弈论的基础是由J.Nash于1950年和1951年所发表的两篇论文奠定的。目前，多目标博弈均衡解的存在性是博弈论研究的热点［1－4］。文献［5］研究了一类对称向量拟平衡问题解的存在性，文献［6］研究了一类关于集值映射的广义对称向量拟平衡问题解的存在性。注意到文献［5］和文献［6］的模型是本文所研究集值约束的弱Nash平衡问题模型的特殊情况，本文研究了这类模型解的存在性，从而推广了相关文献的结果。

1 预备知识

假设I是一个有限指标集，任取i∈I，Zi是一个拓扑向量空间，Xi是Hausdorff拓扑线性空间。令对任意x∈X，令xi与xi分别表示x的第i个坐标和x在Xi上的投影。因此，x又可表示为x=(xi)i∈I=(xi，xi)。对任意i∈I，令Pi是Zi的一个内部非空的尖闭凸锥，Fi:Xi×Xi→2Zi，以及Si:Xi→2Xi。考虑以下具有集值约束的弱Nash平衡问题:

注:

1)如果对每个i∈I，设Fi是一个单值函数，Zi=R并且Si(X)=Xi，(CWNEP)退化为经典的Nash平衡问题［7］。

2)如果I={1，2}，Fi是向量值函数，(CWNEP)退化为对称向量拟平衡问题［6］。

3)如果I={1，2}，Fi是集值映射，(CWNEP)退化为关于集值映射的广义对称向量拟平衡问题［5］。

定义1设X和Y是2个拓扑空间。F:X→2Y是一个集值映射。

1)称F在点x∈X处是上半连续的，如果对任意开集U⊃F(x)，存在x的一个邻域V满足Ux∈VF(x):=F(V)⊂U。如果F在X的每一个点都是上半连续的，则称F是上半连续的。

2)称F在点x∈X处是下半连续的，如果对任意y0∈F(x0)和任意y0的一个邻域U，存在x0的一个邻域V，使得对∀x∈V满足F(x)∩U≠ø。如果F在X的每一点都是下半连续的，称F是下半连续的。

3)称集值映射F是闭的当且仅当对任意序列{xn}，xn→x，和任意序列{yn}满足yn∈F(xn)，yn→y有 y∈F(x)。

4)称集值映射F是连续的，如果集值映射F既是上半连续的又是下半连续的。

定义2假设X是Hausdorff拓扑空间和Z是一个实拓扑向量空间。E是X的一个非空凸子集，F:E→2Z是一个集值映射，假设P⊂Z是int P≠φ的闭凸尖锥。若对每个x1，x2∈E，λ∈0，[1]存在μ∈ [0，1]，使得

则称F为E上的自然拟凸函数。

定义3设Z是一个实拓扑向量空间，P⊂Z是一个闭凸尖锥，e∈int P。非线性标量化函数ξe:Z→R定义为:

引理1［8］设Z是一个实拓扑向量空间，P⊂Z是一个闭凸尖锥，e∈int P。非线性标量化函数具有以下主要性质:①非线性标量化函数是凸的连续函数;②∀y1，y2∈Z，ξe(y1+y2)≤ξe(y1)+ξe(y2);③若y1－y2∈int P，则有ξe(y1)＞ξe(y2)。

2 解的存在性

假设Ei(i∈I)是实的局部凸Hausdorff拓扑向量空间，Zi是实Hausdorff拓扑向量空间。令Xi是Zi上的非空紧凸子集。令Pi⊂Zi是一个闭凸尖锥，ei∈int Pi。假设Si:X→2Xi是一个紧凸的连续集值映射，Fi:Xi×Xi→2Zi是一个紧连续集值映射，令ξei(Fi(x，y))=∪ui∈Fi(x，y)ξei(ui)。

引理2［9］设E是局部凸Hausdorff拓扑空间X的一个非空紧凸子集。假如G:E→2E是上半连续的，并对每个x∈E，G(x)是一个非空闭凸子集，则存在一个¯∈E使得¯∈G(¯)。

定理1若以下条件成立:①Si:X→2Xi是紧凸连续的;②Fi:Xi×Xi→2Zi是连续和紧值的;③对每个固定xi∈Xi，Fi(·，xi)是自然拟凸函数，则存在¯∈X为(CWNEP)的解。

证明定义一个集值映射Ai:Xi→2Xi:

［1］Blackwell O.An Analog of the Minimax Theorem for Vector Payoffs［J］.Pacific Journal of Mathematics，1956，6:1－8.

［2］Ghose D，Prasad U R.Solution Concepts in Two－Persons Multicriteria Games［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，1989，63:167－188.

［3］Fernandez F R，Hinojosa MR，Puerto J.Gameswith Vector Payoffs［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，2002，112:331－360.

［4］Corley HW.Gameswith Vector Payoffs［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，1985，42:491－498.

［5］张文燕，陈纯荣，李声杰.集值映射的广义对称向量拟平衡问题［J］.运筹学学报，2006，10(3):24－32.

［6］Fu JY.Symmetric Vector Quasi－Equilibrium Problems［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2003，285:708－713.

［7］Nash J，Noncooperative Games，Ann［J］.Math，1951，54:286－295.

［8］Gerth C，Weidner P.Nonconvex Separation Theorems and Some Applications in Vector Optimization［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，1990，67:297－320.

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［10］Aubin JP，Ekeland I.Applied Nonlinear Analysis［M］.New York:John Wiley and Sons，1984.

(责任编辑 刘舸)

Existence of Weak Nash Balance Problem with Set-valued Constraints

SHUAIWei－cheng
(School of Mathematics，Sichuan University for Nationalities，Kangding 626000，China)

The fixed point theorem was used to prove the existence of a type of weak Nash balance problem，which extended the results of past literature.

nonlinear quantitative function;natural quasi－convex;set－valued mapping

O224

A

1674－8425(2014)09－0139－04

10.3969/j.issn.1674－8425(z).2014.09.029

2014－07－20

国家自然科学基金天元基金资助项目(11226231)

帅维成(1977—)，男，四川康定人，硕士，讲师，主要从事运筹学及其应用研究。

帅维成.具有集值约束的弱Nash平衡问题解的存在性［J］.重庆理工大学学报:自然科学版，2014(9):139－142.

format:SHUAIWei－cheng.Existence of Weak Nash Balance Problem with Set－valued Constraints［J］.Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science，2014(9):139－142.