体会定积分在物理上的应用

彭鲁

通过定积分这一章的学习，我们越来越对积分思想的渊源感兴趣，怎么会想到用无限小的过程计算特殊形状的面积、体积和曲线长呢？

其实求面积和体积问题自古以来都是数学家们感兴趣的课题.首先，积分学的起源最早可以追溯到古希腊伟大的数学家、力学家阿基米德，他使用了平衡法推导球体积，但没有使用极限的方法，而是创造了微元法分析问题.我国魏晋时候杰出的数学家刘徽提出“割圆术”，用思想无限分割方法推导出许多平面图形的面积与一些立体图形的体积.文艺复兴时期，天文学的发展激发了积分学的研究兴趣，法国数学家费马首次以和式极限讨论了曲线下面积的方法.只有牛顿和莱布尼茨把这个问题上升到一般概念，认为这是一种不依赖于任何几何或物理背景的结构性运算，给予命名——微积分.

定积分的分析思想和解决实际问题是非常重要的，北师大高中选修2-2要求解决一些简单的几何问题，主要在这个过程中熟悉定积分的求法，感受微积分的魅力，但对于定积分解決物理问题涉及简单的做功问题和物理运动问题，由此有必要多了解定积分在物理上的其他重要应用，拓宽视野.

为了更好地分析问题，这里简单理解定积分的分析方法——微元法.

①根据问题的具体情况，选取一个变量例如为积分变量，并确定它的变化区间[a，b]；

②设想把区间[a，b]分成个小区间，取其中任一小区间并记为[x，x+dx]，求出相应于这小区间的部分量VU的近似值.如果VU能近似地表示为[a，b]上的一个连续函数在x处的值f（x）与dx的乘积，则把f（x）dx称为量的元素且记作dU，即dU=f（x）dx；

③以所求量U的元素f（x）dx为被积表达式，在区间[a，b]上作定积分，得U=？蘩■■f（x）dx，即为所求量U的积分表达式.这个方法通常叫做元素法.

一、变力沿直线所做的功

例1：半径为r的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重为1，现将这球从水中取出，需做多少功？

解：建立如图所示的坐标系：