SISO线性定常系统中求取传递函数的两种基本方法

张萍

摘 要： 对任意一个控制系统进行分析和设计的基本前提是系统的数学模型，而在单输入单输出线性定常系统中常用的三种数学模型分别是微分方程、传递函数和方块图。由于微分方程的直接求解比较困难，因此又引入了传递函数的概念。本文主要介绍两种最基本的求取传递函数的方法，一种是利用微分方程法求取，另一种是利用复阻抗法求得，以供参考。

关键词： 传递函数 拉氏变换 微分方程法 复阻抗法

引言

无论是对控制系统进行分析还是设计，都要设法先建立起较精确的生产过程数学模型，然后以数学模型为研究对象，应用经典或现代控制理论所提供的方法分析它的性能并研究改进系统性能的途径。在此基础上，再应用这些研究成果和结论指导对实际系统的分析和改进。因此，建立系统的数学模型是分析和研究自动控制系统的出发点。

系统的数学模型就是指描述系统或元件的输入量、输出量，以及内部各变量之间关系的数学表达式。而要建立系统或环节的数学模型，通常要选用合适的数学工具和方法，还常常要忽略系统的一些固有特性，特别是在考虑非线性特性的线性化、分布参数的集中处理时，得到的模型也不可避免地具有一定的近似性，但只要它能反映系统的运动本质并具有一定的精度，就可以认为是合适的。

SISO（Single Input Single Output单输入单输出）线性定常系统中常用的三种数学模型是微分方程、传递函数和结构图。使用微分方程分析系统时，在给定外作用及初始条件下，求出系统的输出响应。这种方法比较直观，特别是借助现代电子设备可以迅速准确地求得结果。但是如果系统的参数改变或结构变化时，就要重新列写并求解微分方程，这样不但麻烦还不便于对系统不同时刻性能的分析。而且随着微分方程阶次的升高，计算越来越复杂。因此，仅仅用微分方程分析设计系统就比较困难，从而引入了以拉普拉斯变换为基础得到的传递函数，它能把时域中以线性微分方程对系统进行描述的数学模型转化为控制系统在复频域的数学模型，不仅可以表征系统的动态性能，还可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响，且比微分方程更简单明了，运算更方便。求取传递函数的方法很多，比如用微分方程经过拉普拉斯变换就可求得，也可使用方块图的化简求得，还可以通过画信号流图应用梅逊公式求得。本文主要介绍两种最基本的求取传递函数的方法，一种是利用微分方程经过拉普拉斯变换求得，另一种是利用复阻抗的方法求得。

1.拉普拉斯变换

在利用微分方程求取传递函数的过程中，常会用到拉普拉斯变换的几个定理：①线性定理。线性定理包含线性比例和线性叠加定理。线性比例定理是指常数与函数乘积的拉氏变换等于常数乘以函数的拉氏变换；线性叠加定理是指函数相加的拉氏变换等于各个函数拉氏变换之和。②微分定理。微分定理是指一个函数求导后取拉氏变换，等于这个函数的拉氏变换乘以参数s再减去这个函数的初值。③积分定理。积分定理是指一个函数积分后取拉氏变换，等于这个函数的拉氏变换除以参数s。微分定理和积分定理都可以推广至多重微分和多重积分的情形中使用。

2.传递函数

传递函数一般是复变函数，最常用的形式是有理分式形式。在使用传递函数分析或设计系统时，有几点需要说明的地方：①传递函数是复变量s的有理真分式函数，分子的阶次一般低于或等于分母的阶次，且所有系数均为实数。②传递函数与微分方程有相通性，可经简单置换而转换，且传递函数只适用于线性定常系统。③一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，所以传递函数只适用于单输入单输出系统的描述，而且传递函数不能反映系统内部中间变量的变化情况。④传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于相对静止状态。因此，传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律。

3.传递函数的求取

3.1微分方程法

采用微分方程法求取SISO线性定常系统的传递函数，具体步骤是：

（1）列写出系统的微分方程或微分方程组；

（2）在零初始条件下求各微分方程的拉氏变换，将它们转换为s域的代数方程组；

（3）消去中间变量，从而得到系统的传递函数。

3.2复阻抗法

3.3举例说明

例：已知一RLC电路，如图1所示，试求该电路的传递函数。

结语

显然，利用复阻抗法求取单输入单输出线性定常系统的传递函数要比利用微分方程法简单、快速。本文只讨论了针对单输入单输出线性定常系统求取传递函数两种最基本的方法，还有利用方块图的化简求取传递函数及通过画信号流图结合梅逊公式求取传递函数等方法，有兴趣的学生或同行可以通过参考书籍获取相关知识，本文不再赘述。

参考文献：

[1]胡寿松.自动控制原理（第五版）.科学出版社，2007.

[2]侯卓生.自动控制原理及应用.中国电力出版社，2013.

[3]叶明超.自动控制原理与系统.北京理工大学出版社，2008.

[4]张志刚，卢晓.自动控制原理.中国电力出版社，2011.

[5]姜春瑞，刘丽，槐春晶.自动控制原理与系统.北京大学出版社，2011.