张金荣 李有福
(个旧市第一高级中学 云南 红河 661000)
在高考试题中,学生经常会接触到与物体下落的深度成正比或者与物体的速度成正比的线性阻力,即形如f=-ky(式中y是物体下落的深度,k为比例系数)或者f=-kv(式中v是物体运动的速度,k为比例系数).那么在这些力的作用下,物体的运动遵循哪些常见的规律,现就此问题展开分析,并举例应用.
情形1:f=-ky
形如f=-ky的情形在考题中经常会碰到,常见的题型场景如锤子打木桩过程中,木桩所受的阻击与深度近似成正比;再如,圆柱形物体浸没液体过程中,所受浮力f=-ρ液gV排=-ρgSy也与浸入的深度y成正比;以及物体与弹簧接触时所受的弹簧阻力f=-kx(x此时指形变量)等等.下面是线性阻力f=-ky中常用的几个规律.
规律1:某段时间内,阻力f所做的功
式中y1,y2分别表示始、末位置的坐标,若y1=0,则阻力f所做的功为
证明:由f=-ky绘制出f-y图,如图1所示.若物体开始时位置坐标为y1,经时间Δt后变为y2,根据图与横轴所围成的面积表示力所做的功,可得
图1
规律2:若物体初速度为v0,且仅受阻力f作用,则物体下落深度y与时间关系式满足
物体停止所用时间为
证明:由-ky=ma可得
移项并积分
最后求出关系式
至于停止所用时间,可先由动能定理求出物体停止时的深度
代入下落深度与时间的关系式,求出停止所用时间
【例1】如图2所示,在光滑水平面上劲度系数为κ=10 N/m的轻质弹簧一端固定,一端与质量为m=100 g的木块相连,木块起始位置为弹簧的自由伸展位置A,现给木块一水平向右的初速度v0=10 m/s,求木块将弹簧压缩至最短位置B所用时间.
图2
证明:设每次做功为W0,则
W0∶(2W0)∶(3W0)∶…∶(nW0)
故
Δy1∶Δy2∶Δy3∶…∶Δyn=
(1)若以后每次都使铁锤从同一高度下落,则钉子全部钉入须锤击多少次;
解析:(1)由克服阻力做功相同时
可得
故
(2)要使钉子每次钉入的深度相同则需克服阻力做功之比为1∶3∶5,故每次铁锤锤击钉子前的速度之比为
规律4:若物体运动中除受到阻力f作用还受到恒驱动力F0(F0可以为几个力的合力)作用,且初速度为零,则物体停止时必满足
f=-2F0
深度为
【例3】打桩机锤的质量为m=10 t,将质量M=24 t,横截面积S=0.25 m2(正方形截面),长l=38.5 m的钢筋混凝土桩打入地层,单位面积上所受的泥土阻力为K=2.65×104N·m-2.问:
(1)桩依靠自身重能下沉多少?
(2)在桩稳定后,将锤提升至离桩顶面1 m处让其自由下落击桩,假定锤与桩发生完全非弹性碰撞,第一锤能使桩下沉多少?
解析:(1)桩底面边长为0.5 m,设桩下沉了y,则桩所受到的泥土阻力为f=-2Ky=-ky,其中
k=2K,依据规律4桩下沉的深度为
代入数据得
y=8.88 m
(2)锤子碰桩前速度为v,则
(1)
锤与桩发生完全弹性碰撞后共同速度为v同,有
mv=(M+m)v同
(2)
设桩依靠自身重力下沉了y1,锤子击后又下沉了Δy,则由规律1得
(3)
将y1=y=8.88 m,以及式(1)、(2)带入式(3)求得
Δy=0.2 m
情形2:f=-kv
对于f=-kv的题型学生在高中经常会碰到.例如,根据斯托克斯公式,当物体在流体(气体或液体)中运动时,都会受到流体的阻力作用,一般说来,流体阻力的大小与物体的尺寸、形状、速率以及流体的性质有关,且当速率不太大时,对于球形物体,所受粘滞阻力为f=-6πrηv=-kv(η为粘滞系数)[1].再如,如图3所示,水平光滑的平行金属导轨上跨着质量为m的金属棒,两导轨间距为L,金属棒电阻为R,现将该装置置于通有垂直纸面向里的匀场磁场中,磁感应强度为B,给金属棒一初速度为v0,则金属棒会受到安培力的作用,且安培力为
图3
下面是线性阻力f=-kv中常用的几个规律.
若还受到恒驱动力F0(F0可以为几个力的合力),则速度与时间的关系式为
(4)
此式中若取初速度为零,则
图4
利用MATLAB绘制v-t图像如图5所示.
图5
由图5可以看出当t→时,这时物体的速度达到极限值实际上,一般认为当时,物体的速度已经达到极限值速度了.
【例3】跳水运动员从高于水面H的跳台自由落下,运动员的质量为m,其体形可等效为长度为l,直径为d的圆柱体,略去空气阻力,运动员在水中所受的阻力大小为kv,其中k为常量.若当运动员完全浸没时,瞬时速度为v1,求:
(1)此过程中水的阻力所做的功;
解析:(1)跳水运动员接触水面时的速度为v0,有
(5)
运动员在浸没过程中受到重力G,浮力F及阻力f的作用,设运动员浸入水里深度为y,则
(6)
将式(5)代入式(6)即可求出
(2)运动员完全浸没后受到的浮力为恒力
规律2:若物体初速度为v0且仅受f作用,位移与时间的关系式为
积分
【例5】如图6所示,由两光滑平行金属导轨所构成的轨道分为两部分,倾角为θ的斜面轨道与长为d的水平轨道,导轨间距都为L,导轨上端与电动势为ε,内阻为r的电源相连,整个轨道都处在竖直向上,磁感应强度为B的匀场磁场中,当在斜面轨道上垂直导轨放一质量为m,电阻为R的金属棒ab后,发现金属棒向下运动.求:
(1)金属棒在斜轨上所能获得的最大速率vm与最大电流im;
图6
解析:(1)金属棒从静止开始向下运动后,在磁场中运动切割磁感线产生的感应电动势与电源的电动势的方向在回路中是一致的,设某时刻t回路中的电流为i,金属棒获得的速度为v,由于金属棒切割磁感线的有效速度为vcosθ,故E感=BLvcosθ,由牛顿第二定律及欧姆定律得
mgsinθ-BiLcosθ=ma
(7)
(8)
把式(8)带入式(7)并化简得
式中
由规律1可知
将F0,k代入得
此时对应
式中
求出
将vm与k代入上式得
参考文献
1 马文蔚.物理学.北京:高等教育出版社,1999.48~49