矩阵的中心化子及其维数

夏卫东，吴月柱

（常熟理工学院 数学与统计学院，江苏 常熟 215500）

1 引言

Mn(C)表示复数域C上所有n×n矩阵的全体.Mn(C)对数与矩阵的乘法及矩阵的乘法构成线性空间.

定义1.1 给定一个n阶方阵A，称C(A)={B ∈Mn(C)BA=AB} 为矩阵 A 的中心化子.

容易验证，C(A)是Mn(C)的一个子空间.本文将确定C(A)，给出C(A)的基及维数.

矩阵的中心化子是有趣的问题，它不仅与古典矩阵对的相似标准形问题密切相关[1-3]，而且在表示论中起着非常重要的作用.在文献[3]中，作者利用Weyr矩阵得到了矩阵中心化子的基底及其维数.本文将在第二节给出Jordan矩阵中心化子的基及维数，在第三节利用相似变换确定一般方阵的中心化子及其维数.

首先回忆Jordan块及Jordan矩阵的定义.

定义2.1 形如的矩阵称为Jordan块，其中λ是复数.

定义2.2 由若干个Jordan块组成的准对角矩阵称为Jordan矩阵，即形如的矩阵，其中为Jordan块.

为确定Jordan矩阵的中心化子及其维数，需要下面的两个引理.

2 Jordan矩阵的中心化子及其维数

引理2.3 设Jn为n阶Jordan块，则

进而dim C(Jn)=n.

证明设 A=(aij)为与Jn交换的任意n阶方阵，即 A Jn=JnA.

计算可得

上式中对应的元素相等，可得：

引理2.4 设Jn、Jm为两个Jordan块，A为m×n矩阵.令S={A-A Jn=JmA}. 则dim S=min{m ,n}.更确切地，

（1）若 m

进而dim S=m.

（2）若 m>n，则

证明设A=()aijm×n为满足 A Jn=JmA 的矩阵

（1）当m

计算可得

上式中对应的元素相等，可得：

记

容易验证 β1(m,n)，β2(m,n)，…，βn(m,n)是S的一组基.所以dim S=m.

（2）当m>n 时，由 Am×nJn=JmAm×n，可得

计算可得

上式中对应的元素相等，可得：

因此

记容易验证 γ1(m,n)，γ2(m,n)，…，γn(m,n)是S的一组基.所以dim S=n.

综上所述，dim S=min{m,n.}

定理2.5 设为Jordan矩阵.则

证明设与J交换.由 XJ=JX，得

即

上式中对应的子块相等，可得

下面分情况确定满足（*）式的Xij.

当i>j，此时 ki

当ikj.由引理2.4得

3 方阵的中心化子及其维数

定义3.1 设 A ，B为n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则称 A 与B相似，记为A～B.

众所周知，复数域C上任一方阵A都与一个Jordan矩阵相似.本节将确定复数域上任意方阵的中心化子及其维数，为此需要下面的引理.

引理3.2 若 A，B相似，即存在可逆矩阵 P ，使得 P-1AP=B.则 P-1C(A) P=C(B).进而dim C(A)=dim C(B).

由上面的引理及定理2.5可得下面的定理.

定理3.3 设 A为复数域上任意n阶方阵.设 P为可逆矩阵满足 A=P-1JP,其中则

（1）C(A)=P-1C(J) P;

[1]徐运阁，马晓静.矩阵对的相似标准形[J].大学数学，2008，24（1）：104-107.

[2]章超.矩阵中心化子[J].湖北大学学报：自然科学版，2009（4）：325-328.

[3]Sergeichuk V V.Canonical matrices for basic matrix problems[J].Linear algebra and its applications,2002,317(1-3):53-102.