半潜钻井平台辐射问题的高精度算法研究

王科，贺大川，陈彧超，施鹏飞（大连理工大学工业装备与结构分析国家重点实验室，工程力学系，辽宁大连116024）

半潜钻井平台辐射问题的高精度算法研究

王科，贺大川，陈彧超，施鹏飞
（大连理工大学工业装备与结构分析国家重点实验室，工程力学系，辽宁大连116024）

附加质量和阻尼力是决定半潜式钻井平台运动响应的重要参数，该研究采用直交边界边配置多重节点的新方法去除积分边界的奇异性。研究中同时应用了高阶边界单元方法近似真实的空间三维复杂结构，依据波浪与结构物相互作用的辐射和绕射理论建立边界元积分方程，对ISSC型半潜式平台（Semi-Submersible）的附加质量和阻尼力进行了分析研究。研究表明多重节点与高阶边界元相结合的方法对复杂结构的水动力计算具有很高的精度。

半潜式钻井平台；附加质量；阻尼力；双重和多重节点配置方法；高阶边界元

1 引言

半潜式钻井平台（Semi-Submersible）可以用于3 000m水深石油资源的勘探和开发。这种型式的钻井平台甲板面积大，性价比高，转移安装方便，能适应极端海况条件。随着石油开采越来越走向深海，研究和开发适应深海石油勘探的新型半潜式钻井平台是海洋工程界关注的热点。半潜式钻井平台是由立柱和浮筒组成的大型海工结构物，长度、宽度和深度三个方向的比尺适中，无法象FPSO系统以迎浪状态工作。半潜式钻井平台必须直接承受各方向波浪的入射作用，这种工作方式一大缺点是垂荡运动过大，为了减小垂荡运动，增加平台的附加质量和阻尼力，是方法之一。这也使得对三维实体钻井平台的附加质量和阻尼力的研究提出了很高的计算精度要求。

在半潜式钻井平台早期的研究过程中，限于当时的计算条件，通常把半潜平台简化为圆柱和浮筒的简单组合形式，同时浮筒也简化为一种水平横置的水下圆柱。具有三维复杂的空间结构形式的半潜平台的附加质量和阻尼力可以用多个独立圆柱结构的附加质量和阻尼力来近似。由此针对这种相对简单的结构形式发展了一系列的理论。代表性的工作有：当圆柱的直径相对于波长较小时，可以忽略波浪绕射的影响，圆柱的波浪力可以用Morison等人[1]的公式计算。对于相对尺度较大的圆柱，Yeung[2]采用特征值展开法，研究了有限水深下直立圆柱的辐射问题。Garrison[3]用三维边界元法研究了水面直立圆柱的辐射问题及运动响应。

随着计算方法和计算理论的提高，许多波浪与结构物相互作用的研究工作都是基于求解格林函数的边界元方法，而且这种趋势在求解大型复杂结构方面的优势越来越明显。例如Chakrabarti等[4]同时应用波浪绕射理论和Morison方程的方法对桁架浮筒型半潜平台的平板结构对附加质量的影响进行了研究；肖丽娜和索双武[5]应用挪威船级社（DNV）的SESAM软件计算作用在深水半潜平台上的波浪载荷；杨立军，肖龙飞，杨建民[6]应用HydroD软件对半潜式平台垂向运动的低频响应性能进行了分析；，Matos等人[7]应用WAMIT软件对深吃水的半潜平台结构的二阶奇模态共振运动响应进行了数值分析和物理模型试验验证。上述理论算法或者商用软件的核心是边界元或者面元方法和有限水深格林函数的结合，其中典型的面元方法有常数元方法（Hess和Smith[8]），线性元方法（Webster[9]）,以及高阶边界元方法（Lee，Newman[10]；Teng等[11]）。

线性元和常数元由于对物体的形状采用面元来近似，对于复杂的结构需要的节点和单元数量都很多，限于边界元法形成的矩阵为满阵的特点，对于复杂结构计算速度慢，精度差，实际上已不适用。高阶边界元由于其形函数能精确的近似真实的物体几何形状，因此其所用的节点和单元数量都少，同时物理变量也可以采用与几何近似一致的形状函数。目前典型的高阶边界元方法主要有两类，一类是采用样条单元（Lee，Newman[10]），一个单元的几何形状和物理量由临近单元的样条函数组合逼近而成。另一类高阶单元是采用在三角形单元或者四边形单元上布置6个节点或者8个节点，形成只跟本单元节点有关的多节点高阶等参单元（Teng等[11]）。

由于复杂的空间结构存在大量的由直交边界面形成的直角边，这类边界在数值计算中存在着几何奇异性，如何正确地处理这类奇异性，是高阶边界元方法能否准确预测海工结构物水动力特性的关键。这类边界一个共同的特征是边界物理量的法向导数不连续，样条高阶边界元方法（Lee，Newman[10]）处理直角边的措施是在极小的范围内应用特殊样条函数对直角边进行光滑处理，实际上是用数学意义上逼近的虚拟边界近似真实的几何边界。这种方法的主要优点是通过模型边界平滑方法去除了几何奇异性，缺点是模型中的几何形状不是真实的几何形状，而是由样条函数逼近而成的。高阶等参单元（Teng等[11]）方法由于单元各节点的物理量仅跟本单元有关，因此不存在把直角边进行光滑处理的问题，其处理直角边物理量的方法是将位于同一位置但属于不同单元直角边节点上的物理量取算术平均值。高阶等参单元的一个主要缺点是对于复杂结构由于本身计算法向导数的误差会在直角边节点物理量取平均值的过程中不断累积，使得几何奇异性的特征在局部没有得到有效改善，造成即便增加网格单元密度，也对计算精度提高不大的情况出现。

在本研究中，我们在高阶等参单元的基础上引进了一个新的改进方法-多重节点匹配方法，很好地缓解了复杂结构水动力计算的直角边几何奇异性问题，而且由于该方法是直接针对海工结构物的有限元模型进行处理，具有很好的工程应用前景。通过对ISSC型半潜平台的有限元模型进行附加质量和阻尼力的计算分析，表明与常数单元方法相比，该方法计算精度更高，完全可以解决复杂的半潜平台的水动力问题。

本文第二章阐述了应用三维有限水深格林函数求解波浪与结构物相互作用的辐射问题的基本理论和数值离散方法，阐述了多重节点方法的具体应用。第三章计算了ISSC型半潜钻井平台的附加质量和阻尼力,并对相关的影响因素进行了定量分析和讨论，得到了具有参考价值的结果，结论及建议在第四章给出。

图1 计算示意图Fig.1 Calculation sketch

2 基本方程及公式

2.1 控制方程与边界条件

一个任意形状的三维物体位于水深为h的流体域内，定义笛卡尔坐标系如图1所示，该坐标系相对于无扰动的自由表面和物体处于静止状态，原点取在自由表面上，x轴和y轴沿水平面方向，z轴垂直向上为正。在研究物体的辐射问题时，假定物体在静平衡位置附近作频率为ω的微幅振动并且产生向外传播的波浪，物体的这种运动也称为辐射运动。此时物体周围的流体运动可由线性波浪理论描述。这样所有的需要考虑的动力学变量均可表示为A e-iωt的实部，这里A（x,y,z）为复数幅值。物面上任一点,y, z）处的法向向量幅值Vn可写成：

假定流体为无粘性、不可压缩并且运动是无旋的理想流体，则物体作辐射运动时，周围流体的运动可表示为辐射速度势Φ=Re｝的梯度，即▽Φ。复数辐射势φ满足的流体运动控制方程可写成如下形式：

并且满足以下边界条件：

φz-Kφ=0,z=0在自由表面上

（3）式中K=ω2/g为深水波数，g为重力加速度。

总辐射势φ可分解为由纵荡、横荡、垂荡、横摇、纵摇和首摇6个运动模态产生的辐射速度势之和，即：

其中：ξj，j=1,2,…,6为物体的第j个方向运动的复数振幅分量，φj为单位振幅辐射势，对应于物体的第j个运动模态。将方程（4）代入到方程（3）中可得辐射势φj满足的物面条件：

上述关于物体表面的辐射速度势的边界值问题（1-5）可通过格林定理在物面边界上建立积分方程式的方法求解。其中物面上的辐射势φj满足的积分方程为：

式中：J0（）为零阶贝塞尔函数，在公式（7）的积分中，积分变量k的积分路径为k值在实轴上的实根上半部分，这样的积分路径使格林函数满足波浪的远场辐射条件。积分方程（6）可有效去除浮在水面上的物体波浪力计算中出现的不规则频率现象（Lee，Newman和Zhu[12]），格林函数的计算方法可参照（Newman[13-14]）。

由物体的辐射运动模态引起的作用在物体上的总的流体力可由物面上各点压力积分求得，物面上各点的水动压力P由Bernoulli方程计算：

这里aij定义为附加质量力，bij定义为阻尼力。

2.2 数值求解

数值求解时，首先将物体表面进行离散化处理，积分方程（6）在物面上的积分可近似为在物面上一系列离散单元上的积分，这里的物面包括物体表面和内域水线面。在高阶边界元方法中，离散单元可采用6节点三角形单元（图2）或者8节点四边形单元（图3），其形函数可表示为：

图2 六节点形函数Fig2 6 node shape function

图3 八节点形函数Fig.3 8 node shape function

则上述单元中任意一点的物理量及其导数，例如速度势φ，可由单元节点值表示如下：

这里s表示单元上的节点数目，s=6或者8。则积分方程式（6）离散如下：

2.3 直角边的多重节点配置方法

很多商用软件例如ANSYS和GAMBIT等专业建模软件能很好地构建精细而复杂的三维真实空间结构模型，并成功地应用在结构分析和强度计算中。但这种建模软件提供的有限元数据模型不能直接为边界元所用，一个重要原因是有限元模型中提供的直交物面形成的直角边上的控制节点处，各物理量的法向导数不连续，边界积分方程在该处存在几何奇异性。高阶等参边界元方法如果直接应用有限元数据模型，通常方法是在直角边控制节点处的物理量采用具有同一节点但不同单元数值结果的平均值。这种方法对于简单形状例如圆柱等，计算误差较小，但对于半潜平台这样极为复杂的空间正交结构，直角边的空间几何奇异性非常明显，靠取平均值和加密直角边附近的网格单元，对计算精度提高不大。特别是当存在复杂空间曲面相交时，空间曲面法向导数由于网格质量剖分不佳而引起的计算误差会导致计算错误。为解决上述问题，本研究提出了一种直角边的双重或者多重节点配置方法可完全去除积分边界的几何奇异性，提高计算结果的准确性。其主要思路是通过对半潜平台的边界积分方程进行整体分析，首先对具有直角边的相交曲面进行合理分类，其次对有限元模型数据进行重新编号使得在原来直角边上具有同一位置但属于不同物面的任一个控制点处进行双重或者多重节点配置，同时不同的重节点属于唯一的高阶单元，其方向导数也由该单元唯一确定。以直交圆柱为例，圆柱侧面与底面相交直角边，其上控制点原来的法向导数为侧面与底面法向导数的平均值，大小和方向如图4a所示，配置双重或者多重节点后，相交直角边上重节点的法向导数如图4b所示。图4c为配置多重节点的半潜平台法向导数局部放大图，其中相交直角边包括立柱侧面与底面相交线和浮箱侧面与上下底面相交线。配置双重节点实际上也增加了控制点数量，但由于重节点数量占整体节点比例不大，计算速度影响不明显但却显著地提高了计算的精度。

图4 a圆柱侧面与底面相交直角边控制点原法向导数方向Fig.4a Original normal vector along sharp edge between cylinder body and bottom surface

图4 b配置双重节点后相交直角边上控制点新法向导数方向Fig.4b New normal vector along sharp edge between cylinder body and bottom surface

图4 c配置双重节点后半潜平台法向导数局部分布图Fig.4c Local view of normal vector distribution on Semi-Submersible based on new nodes relocationmethod

3 附加质量与阻尼力计算结果分析

图5 ISSC型半潜平台计算视图Fig.5 Calculation views of ISSC type Semi-Submersible

应用上述格林函数理论和双重及多重节点配置技术对半潜平台的附加质量和阻尼力进行了研究。半潜平台的附加质量和阻尼力受波浪的频率和物体的形状影响很大，本文以ISSC型半潜平台为例研究该型平台的附加质量和阻尼力，为波浪荷载及运动响应设计提供依据。该型式半潜平台的空间模型结构及计算网格如图5所示，半潜平台基本参数如表1所示。在网格剖分中，采用6节点和8节点混合单元进行剖分。其中两端立柱侧面有228个节点，104个单元；中间立柱侧面有224个节点，102个单元；圆筒顶面有874个节点，364个单元；浮筒侧面有1 032个节点，416个单元；浮筒底面有861个节点，380个单元；合计共3 895个节点，1 674个单元。

表1 半潜平台基本参数Tab.1 Basic parameters of Sem i-Submersible

图6至图13为半潜式采油平台附加质量和阻尼力计算结果值，其中图6至图11为附加质量和阻尼系数阵主对角线上的值。图12、13为考虑耦合运动时，横荡—横摇，纵荡—纵摇附加质量和阻尼力的值。图中横坐标为深水波浪频率ω，纵坐标为附加质量和阻尼力aij，bij。当半潜平台作平动时，由图6、7、8可见，在波浪频率趋于零时，纵荡、垂荡和横荡的附加质量都趋于不同的有限值，但此时垂荡的附加质量最大；随着波浪频率的增加，纵荡、垂荡和横荡的附加质量都出现不同程度的波动，其中以纵荡波动最大，垂荡波动最小。由图6可以看出，当波浪频率ω<0.6时，纵荡附加质量几乎不变，而当波浪频率增加到ω=1.0附近时，纵荡附加质量会出现大幅度的波动，说明纵荡附加质量对ω=1.0附近的波浪频率比较敏感。横荡附加质量先是在ω<0.6范围内小幅度波动，但是当波浪频率进一步增加时，横荡附加质量迅速增加，达到极大值1.68×105kg，然后又快速减小，变化幅度较大，当ω=0.9时=7.0×104kg。垂荡方向的附加质量相对变化较小，随着波浪频率的增加，呈波动式变化，当ω= 0.9时a33min=1.6×105kg。就阻尼力而言，纵荡、横荡和垂荡的阻尼力变化趋势与各自的附加质量类似，但达到各自极值的频率不同。当ω=0.95时7.0×104kg/s，当ω=0.8时，=7.0×104kg/s，当ω=0.9时3.0×104kg/s。但在ω→0和ω→∞时三者都趋于零。这主要是因为ω→0时物体不可能产生向外传播的波浪，物体周围流体的能量无法被波浪带走，而阻尼力与物体向远方传播的波浪能量有关。

图6 纵荡运动附加质量与阻尼力Fig.6 Added mass and damping for surge

图7 横荡运动附加质量与阻尼力Fig.7 Added mass and damping for sway

图8 垂荡运动附加质量与阻尼力Fig.8 Added mass and damping for heave

图9 横摇运动附加质量与阻尼力Fig.9 Added mass and damping for roll

图10 纵摇运动附加质量与阻尼力Fig.10 Added mass and damping for pitc

图11 艏摇运动附加质量与阻尼力Fig.11 Addedmass and damping for yaw

图12 横荡—横摇耦合运动附加质量与阻尼力Fig.12 Added mass and damping for coupled sway-roll

图13 纵荡—纵摇耦合运动附加质量与阻尼力Fig.13 Added mass and damping for coupled surge-pitch

横摇、纵摇运动时附加质量与垂荡运动的变化类似，都呈逐步震荡下降的趋势，但纵摇附加质量受垂荡运动影响更明显。阻尼系数都是在ω<0.3时很小，近似为0值，随着ω逐渐增加，阻尼系数出现不同程度的波动，ω=0.6x=5.0×107kg/s，ω=0.85，=1.2×108kg/s。需要特别注意的是艏摇时附加质量和阻尼力的变化。在ω<0.4时，附加质量a66变化不大，大小为8.0×108kg·m2。随着波浪频率的进一步增加，附加质量迅速上升，在ω=0.75时达到极大值=1.05×109kg·m2，随后在0.9<ω<1.05的区间，a66振动下降，在ω=1.0时，4.0×108kg·m2。艏摇的阻尼系数在ω<0.65范围内变化很小，尤其是在ω<0.4时阻尼系数几乎为0。当波浪频率ω>0.7时，阻尼系数迅速增加，当ω=0.85时4.1×108kg/s。当0.85<ω<1.0时，阻尼系数振荡下降。艏摇时附加质量和阻尼系数在ω较大的时候会出现振荡变化，说明在艏摇时高频短波对这种结构形式影响明显。

图12为横荡—横摇耦合运动的附加质量a42和阻尼力b42。由图可以看出，当波浪频率ω较小的时候，波浪频率的变化对附加质量和阻尼系数的影响不大，但是当ω>0.3时，附加质量和阻尼系数变化剧烈，这种强烈波动是由于入射波浪与半潜平台中间水体相互作用的结果。

图13为纵荡—纵摇耦合运动的附加质量和阻尼力。由图可以看出，附加质量和阻尼系数随波浪频率变化趋势基本相同，但是阻尼系数的变化相对于附加质量的变化有些滞后。ω<0.25时，阻尼系数为0值，当ω继续增加时，阻尼系数呈振荡式变化，分别在ω=0.45和ω=0.85产生两个极大值。附加质量在ω<0.4范围内小幅度变化，随着ω逐步增加，附加质量也会出现剧烈波动，在ω=0.75时达到最大值4.2×106kg·m。ω=0.6和ω=1.0时≐2.0×106kg·m。

4 结论

本文对深海石油开采中的重要装备:半潜式钻井平台的附加质量和阻尼力进行了计算分析，获得了具有实际参考价值的荷载数据。研究发现：

（1）由于半潜式钻井平台空间三维几何比尺适中，平动和转动六个方向的附件质量和阻尼力受波浪的影响均很明显。附件质量比阻尼力对半潜平台的影响大。

（2）在求解速度势的过程中，采用在直交的边界边布置双重和多重节点的方法，消除了速度势法向导数的几何奇异性，能更准确地描述速度势场的变化规律，节省了计算时间，提高了计算精度。

（3）采用高阶边界元方法和新的积分方程，消除了波浪不规则频率的影响，计算结果具有很好的收敛性。

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An efficient algorithm to study radiation problem of ISSC type Sem i-Submersible

WANG Ke,HE Da-chuan,CHEN Yu-chao,SHIPeng-fei
(State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment,Departmentof Engineering Mechanics, Dalian University of Technology,Dalian 116024,China)

Addedmass and damping are critical for hydrodynamic response of Semi-Submersible.This paper employs a new double ormultiple nodes relocationmethod on sharp edges to remove geometrical singularity. High order boundary elementmethod is utilized to approximate real three dimensional complicated structure, the added mass and damping of ISSC Semi-Submersible are investigated based on linear wave radiation and diffraction theory.It is found that the new algorithm combingmultiple node relocationmethod and high order boundary elementmethod is efficient for hydrodynamic problem of complicated structure.

Semi-Submersible;addedmass;damping;double and multiple nodes relocationmethod;higher-order boundary elementmethod

U674.38+1

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2014.10.006

1007-7294（2014）10-1204-09

2014-04-21

国家重点基础研究发展计划资助（2013CB036101）；大连理工大学基础科研费资助（DUT10LK43）

王科（1970-），男，大连理工大学工程力学系副教授，E-mail:kwang@dlut.edu.cn；贺大川（1986-），男，博士研究生。